(선형대수학) 1.1 Vector Space

고등학교 교과과정의 '물리2'나 '기하와 벡터', 대학 학부과정의 '대학물리'에서 힘, 속도, 전기장 등과 같이 방향과 크기가 있는 것을 '벡터'라고 부르고 속력, 일, 열량 등과 같이 방향은 없이 크기만 있는 것을 '스칼라'라고 부른다. 벡터에 방향이라는 기하학적인 개념이 들어가 있기 때문에 힘과 같은 벡터들 간의 연산은 기하학적으로 표현된다. 예를 들어 물체에 작용하는 두 힘의 합은 사다리꼴 형태의 연산을 거쳐서 이뤄진다. 고등학교 수학 교과과정의 '기하와 벡터'에서는 이를 좌표공간 상의 한 점인 \( (1,2,3) \)과 같은 형태로 대응시켜서 기하학적인 연산이 아닌 (해석적) 계산이 가능하도록 한다. 이 페이지에서는 이러한 벡터의 개념을 확장시켜 일반적인 벡터에 대해서 알아보도록 하겠다.

 

 

Vector Space

고등학교 교과과정에서 배웠듯이 벡터는 일반적인 숫자와는 다른 여러 가지 성질들도 가지고 있지만, 기본적인 연산들에 있어서는 다음과 같이 일반적인 숫자와 성질이 비슷하다. (숫자끼리의 곱은 스칼라와 벡터의 곱과 비교)

1. 덧셈에 대한 교환법칙

$$ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} $$

2. 덧셈에 대한 결합법칙

$$ ( \vec{a} + \vec{b} ) + \vec{c} = \vec{a} + ( \vec{b} + \vec{c} ) $$

3. 덧셈에 대한 항등원

 

모든 벡터 \( \vec{a} \)에 대하여 \( \vec{a} + \vec{0} = \vec{a} \)를 만족하는 \( \vec{0} \)이 존재

 

4. 덧셈에 대한 역원이 존재

 

각 벡터 \( \vec{a} \)마다 \( \vec{a} + \vec{b} = \vec{0} \)을 만족하는 \( \vec{b} \)가 존재. 이를 만족하는 \( \vec{b} \)를 \( -\vec{a} \)로 표현한다.

 

5. 스칼라곱에 대한 결합법칙

$$ (gh) \cdot \vec{a} = g \cdot ( h \cdot \vec{a} ) $$

6. 스칼라 1과의 연산

$$ 1 \cdot \vec{a} = \vec{a} $$

7. 분배법칙

$$ (g+h) \cdot \vec{a} = g \cdot \vec{a} + h \cdot \vec{a} $$

$$ g \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = g \cdot \vec{a} + g \cdot \vec{b} $$

이 7가지 연산 rule이 벡터의 가장 기본적인 연산방법이다. 하지만 이러한 연산방법이 공간좌표나 힘과 같은 화살표 벡터만 만족하는 것은 아니고 오히려 이러한 연산을 만족하는 수많은 것들 중 하나일 뿐이다. 그러므로 벡터의 개념을 확장하여 굳이 공간좌표가 아니더라도 이 연산 rule을 모두 만족하는 것은 vector라고 한다.

 

DEFINITION            Vector Space

 

어떤 집합 \(V\)가 원소 간의 연산 \(+\) (vector addition이라고 부른다)과 숫자 (scalar라고 부른다)와 원소와의 연산 \( \cdot \) (scalar multiplication이라 부른다)에 대하여 닫혀있고 위의 7가지 rule을 만족한다면 \(V\)를 vector space라고 부르고 그 원소를 vector 라고 부른다.

 

Examples

1. The set of real numbers \( \mathbb{R} \)

실수 집합에 대하여 vector addition을 일반적인 real number간의 덧셈으로, scalar multiplication을 real number간의 곱셈으로 정의한다면, \( \mathbb{R} \)은 vector space가 된다.

2. Euclidean space \( \mathbb{R}^n \)

$$ \mathbb{R}^n = \left\{ (x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) \left| x_i \in \mathbb{R} , 1 \le i \le n \right. \right\} $$ 

의 vector addition을

$$ (x_1, x_2, \cdots , x_n)+(y_1, y_2, \cdots , y_n)=(x_1+y_1, x_2+y_2, \cdots , x_n+y_n) $$

scalar multiplication을

$$ c \cdot (x_1, x_2, \cdots , x_n)=(c x_1, c x_2, \cdots , c x_n) $$

으로 정의하면 \( \mathbb{R}^n \)은 vector space이다. \(n\)이 3인 경우가 바로 고등학교 교과과정의 공간벡터이다. 이 경우 0-vector는 \( (0,0,\cdots,0) \)이 되고 \( (x_1,x_2,\cdots,x_n) \)의 덧셈에 대한 역원은 \( (-x_1,-x_2,\cdots,-x_n) \)임을 쉽게 알 수 있다.

3. The set \( P^n[x] \) of polynomials of degree of \(n\)

$$ P^n[x] = \left\{ c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_n x^n \left| c_0, c_1, \cdots ,c_n \in \mathbb{R} \right. \right\} $$

에 대하여 vector addition과 scalar multiplication을 일반 다항식간의 덧셈과 실수와의 곱셈

$$ (c_0+c_1x+\cdots +c_nx^n)+(d_0+d_1x+\cdots +d_nx^n)=(c_0+d_0)+(c_1+d_1)x+\cdots +(c_n+d_n)x^n $$

$$ k\cdot (c_0+c_1x+\cdots +c_nx^n) = (kc_0)+(kc_1)x+\cdots +(kc_n)x^n $$

으로 정의하면 \( P^n[x] \)는 vector space가 된다.

4. The set \( \mathbb{Q} \) of rational numbers

분수들의 집합은 어떨까? vector addition에 대해서는 문제가 없으나 scalar multiplication에서는 약간 생각해보아야 한다. scalar는 보통은 숫자로 생각하면 되지만 더 자세히는 field라는 집합의 원소로 정의된다. field는 자기 원소들간의 덧셈과 곱셈에 대하여 숫자처럼 좋은 성질들(닫혀있음, 항등원, 역원의 존재, 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙)을 가진 집합을 말한다. 예를 들어 분수들의 집합, 실수 집합, 복소수 집합이 field이다. 그렇기 때문에 scalar를 무엇으로 택하고 연산을 어떻게 정의하느냐에 따라 vector space가 될 수도 있고 아닐 수도 있다. scalar multiplication을 숫자끼리의 곱셈으로 정의한다면, scalar를 실수로 택했을 때 분수와 실수의 곱은 분수가 되지 않을 수 있기 때문에 \( \mathbb{Q} \)는 vector space가 되지 않는다. 그러나 scalar를 분수로 택했을 때는 vector space가 된다. 실수 집합 \( \mathbb{R} \) 역시 scalar를 복소수로 택하면 vector space가 되지 못한다. (이후로는 scalar는 간단히 실수 또는 복소수로 생각하겠다. 실수와 복소수가 서로 다르게 작용할때를 제외하고는 특별히 언급하지 않겠다.)

5. The set \( C^0 [0,1] \) of continuous function on \( [0,1] \)

$$ C^0 [0,1] = \left\{ f:[0,1] \to \mathbb{R} \left| f(0)=f(1)=0,~f~\mathrm{is~continuous}\right. \right\} $$

폐구간 \( [0,1] \)에서 정의되는 함수들 중에서 \( f(0)=f(1)=0 \)을 만족하는 연속인 함수들의 집합에 대하여 vector addition와 scalar multiplicatoin을

$$ (f+g)(x) = f(x) + g(x) $$

$$ (c \cdot f)(x) = c(f(x)) $$

와 같이 정의하면, 연속인 함수들의 덧셈은 결과로 연속인 함수가 되고, 숫자를 곱해도 역시 그러하므로 이 집합은 vector space가 된다.

 

아마 함수와 집합에 익숙하지 않다면, 위의 두 식이 아무 의미 없는 것을 써놓은 것으로 생각할 수 있다. 의미를 이해하기 위해, 우선 함수

$$ f(x)=-x^2 +x $$

를 생각해보자. 이 함수는 \( f(0)=f(1)=0 \)이다. 그럼 집합 \( C^0 [0,1] \)은 \( f(0) \), \( f(1) \) 또는 \( f(x) \)를 원소로 가지는가? 아니다. \( C^0 [0,1] \)는 함수 \( f \) 그 자체를 원소로 가지지 \( f(x) \)와 같은 함수값들을 원소로 가지는 것이 아니다. 집합 \( C^0 [0,1] \)를 vector space로 만들기 위해서는 함수값들이 아니라 함수 그 자체에 대하여 addition과 scalar multiplication을 정의해야 한다. 즉, 첫번째 식의 \( (f+g) \)는 함수 \(f\)와 함수 \(g\) 그 자체를 더한다는 의미이다. \( c\cdot f\)는 함수 \(f\) 그 자체에 scalar multiplication을 한다는 것이다. 다만 그러한 덧셈의 결과로 얻어진 함수가 어떻게 생겼는지를 표현하기 위해, 연산의 결과로 얻은 함수의 함수값이 등호의 오른쪽처럼 되도록 한다는 것이 이 두 식의 의미이다. 예를 들어 위의 함수에 대하여 \( f+f \)는 새로운 함수가 되는데 그 함수는 함수값이 \( x=0 \)에서 \( f(0) + f(0) = 0 \), \( x=0.5 \)에서 \( f(0.5) + f(0.5) = 0.5 \)등의 값을 가진 함수라는 뜻이다. 0-vector는 정의역 전체에서 함수값을 0으로 가지는 함수가 되고 함수 \(f\)의 덧셈에 대한 역원 \(-f\)은 함수값의 부호가 반대인 함수임을 쉽게 확인할 수 있다.

6. The set \( M_{nm} \) of \( n \times m \) real matrices

\( n \times m \)행렬 사이의 addition과 scalar multiplication을 일반적인 행렬 사이의 덧셈과 숫자와의 곱셈

$$ \begin{bmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & a_{ij} & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & b_{ij} & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & a_{ij}+b{ij} & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{bmatrix} $$

$$ c \cdot \begin{bmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & a_{ij} & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & ca_{ij} & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{bmatrix} $$

으로 정의하면 \( M_{nm} \)은 vector space가 된다. 0-vector는 모든 성분이 0인 행렬이고 한 행렬의 덧셈에 대한 역원은 각 성분이 모두 부호가 반대인 행렬이 된다.