[선형대수학] PRE. 연립방정식과 행렬 연산

선형대수학에 들어가기 전에 이 페이지에서는 앞으로 자주 사용하게 될 1차 연립방정식을 살펴보겠다. 1차 연립방정식은 \(n\)개의 미지수에 대하여 \(n\)개의 다음과 같은 1차 방정식을 만족하는 해를 구하는 문제이다. \(n\)이 1일 경우에도 상관은 없으나 보통 연립방정식은 \(n\)이 2 이상인 경우를 말한다. 우선 가장 간단한 형태인 \(n\)이 2, 즉 미지수가 2개이고 식도 2개인 다음의 연립방정식을 생각해보자.

$$ 2x+y=4 $$

$$ x+2y=5 $$
이 방정식을 푼다는 것은

$$ x=\mathrm{number} $$

$$ y=\mathrm{number} $$

형태의 식을 얻는 것이다. 연립방정식을 풀기 위한 가장 일반적인 방법은 주어진 식을 이용해서 미지수가 하나씩 제거된 더 간단한 식을 얻는 것이다. 그러기 위해 이 경우 첫번째 식의 양변에 2를 곱하고

$$ 4x+2y=8 $$

$$ x+2y=5 $$

첫번째 식에서 두번째 식을 빼면

$$ 3x=3 $$

을 얻는다. 즉, \(x=1\)을 얻는다. 이제 새로 얻은 식을 기존의 식 중 하나와 교체한다. 여기에서는 두번째 식을 교체하면,

$$ 2x+y=4 $$

$$ x=1 $$

를 얻는다. 지금은 의미 없지만 일단 두 식의 위치를 바꾸도록 하자.

$$ x=1 $$

$$ 2x+y=4 $$

다시 같은 방식으로 새로운 식에 2를 곱해서 남아있는 식을 빼주면 \(-y=-2\), 즉, \(y=2\)를 얻는다. 이 식을 기존 식 대신에 써주면 이 연립방정식의 해가 된다.

$$ x=1 $$

$$ y=2 $$

\(n\)이 3 이상인 경우에도 똑같은 방법으로 연립방정식을 풀 수 있다. 다만 \(n\)이 2인 경우에는 새로 얻은 식으로부터 바로 해를 얻을 수 있지만 3 이상인 경우에는 더 적은 미지수를 가진 연립방정식이 된다는 것이 다르다. 예를 들어,

$$ x+y+z=6 $$

$$ 2x-2y+z=1 $$

$$ 3x-y+z=4 $$

을 풀기 위해 첫번째 식에서 두번째 식을 뺌으로써 \(z\)를 제거한 식을 얻고

$$ -x+3y=5 $$

두번째 식에서 세번째 식을 뺌으로써 \(z\)를 제거한 또 다른 식을 얻으면

$$ -2x+2y=2 $$

를 얻는다. 첫번째 새로운 식과 두번째 새로운 식을 기존의 식에 교체해 주면

$$ -x+3y=5 $$

$$ -2x+2y=2 $$

$$ 3x-y+z=4 $$

가 된다. 이때 첫번째 식과 두번째 식은 \(z\)가 없는 \(n\)이 2인 연립방정식이므로 이전 문제에서 본 것과 같이 풀 수 있다. 그렇게 얻은 \(x\), \(y\)와 세번째 식을 이용해 \(z\)의 해를 구함으로써 미지수가 3개인 연립방정식도 풀 수 있다.

1차 연립방정식의 가장 일반적인 형태는 다음과 같다.

$$ a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = c_{1} $$

$$ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = c_{2} $$

$$ \vdots $$

$$ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{nn}x_{n} = c_{n} $$

복잡해 보일 수도 있으나 조금만 자세히 보면 많이 복잡하지는 않다. \(x_1\), \(x_2\), ... , \(x_n \)은 \(n\)개의 미지수를 나타낸다. \(a_{11}\), ... , \(a_{nn}\)은 미지수에 곱해진 숫자(계수, coefficient라고 부른다)들이다. 계수들에 있는 첫번째 숫자(첫번째 index라고 부른다. 예를 들어 \(a_{12}\)에서 1)는 그 계수가 몇 번째 식에 있는지를 나타내고, 두번째 index(\(a_{12}\)에서 2)는 몇번째 미지수에 곱해졌는지를 나타낸다. 위에서 본 미지수 3개인 연립방정식,

$$ x+y+z=6 $$

$$ 2x-2y+z=1 $$

$$ 3x-y+z=4 $$

의 경우, \(x\), \(y\), \(z\)를 순서대로 \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\)라고 한다면 \(a_{23}\)는 2번째 식의 \(z\)에 곱해진 1이고 \(a_{31}\)는 같은 방식으로 3이 된다. 위에서 본 바와 같이 이 연립방정식을 푸는 방법은 ① 두 식을 더하거나 뺌으로써 얻은 식으로 기존의 식을 교체하는 것 ② 식의 양변에 숫자를 곱하거나 나눔으로써 얻은 식으로 기존의 식을 교체하는 것 ③ 두 식의 위치를 서로 바꾸는 것을 서로 조합하여 미지수가 적어진 새로운 식을 차례차례 얻어나가는 것이다.

위의 일반적인 1차 연립방정식은 다음과 같은 행렬로도 표현된다.

$$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n} \end{bmatrix} $$

이 행렬들의 식은 위의 연립방정식과 완전히 동일한 의미인데 그것은 행렬의 곱셈 과정에서 연립방정식과 똑같은 식들을 얻게 되기 때문이다. 연립방정식을 푸는 것도 행렬의 연산을 통해서 얻을 수 있는데, 연립방정식을 푸는데 사용된 방법들이 행렬에서는 어떻게 나타나는지 살펴보면 된다. 위에서 본 미지수가 3개인 연립방정식을 예로 생각해보자.

$$ x+y+z=6 $$

$$ 2x-2y+z=1 $$

$$ 3x-y+z=4 $$

이를 행렬로 표현하면

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} $$

로 표현된다. 첫번째 식에서 두번째 식을 뺀 것을 두번째 식과 교체하면,

$$ x+y+z=6 $$

$$ -x+3y=5 $$

$$ 3x-y+z=4 $$

이를 행렬로 표현하면

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{bmatrix} $$

이전 행렬들과 새로 얻은 행렬들을 비교해보자. 이 두 식은 행렬의 두번째 행만 다른데, 새로운 행렬의 두번째 행은 기존 식의 첫번째 행의 숫자들을 두번째 행의 숫자들로 뺀 것과 같다.

 

이를 종합하면, 연립방정식에서

 

① 두 식을 더하거나 뺌으로써 얻은 식으로 기존의 식을 교체하는 것

② 식의 양변에 곱하거나 나눔으로써 얻은 식으로 기존의 식을 교체하는 것

③ 두 식의 위치를 서로 바꾸는 것

 

은 행렬에서

 

① 두 행을 더하거나 뺌으로써 얻은 것으로 기존의 행을 교체하는 것

② 양쪽의 행에 숫자를 곱하거나 나눔으로써 얻은 것으로 기존의 행을 교체하는 것

③ 두 행의 위치를 서로 바꾸는 것

 

과 같다.

 

연립방정식을 푼다는 것은

$$ x_1 = k_1 $$

$$ x_2 = k_2 $$

$$ \vdots $$

$$ x_n = k_n $$

형태의 식을 얻는 것이고 이를 행렬로 표현하면

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{n} \end{bmatrix} $$

이므로 결국 연립방정식을 푸는 것은 처음의 행렬들의 식을 ① ② ③의 방법을 통해 위와 같은 형태로 만드는 것과 같다. 이때 미지수 부분은 행렬에서는 연산과정에서는 상관이 없으므로 빼고 생각하면,

$$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & | & c_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & | & c_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & | & c_n \end{bmatrix} $$

를

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & | & k_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & | & k_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & | & k_n \end{bmatrix} $$

와 같은 형태로 만드는 것이 결국 연립방정식의 해를 구하는 것이다. 

 

① ② ③의 행렬 연산을 행렬의 elementary row operation이라고 부른다.