(선형대수학) 1.3 Basis, Dimension

Vector \( \vec{v}_1 \), \( \vec{v}_2 \), ... , \( \vec{v}_r \)의 linear combination으로 만들 수 있는 모든 vector들의 집합을 set spanned by \( \vec{v}_1 \), \( \vec{v}_2 \), ... , \( \vec{v}_r \)이라고 부르고 \(\mathrm{span}(\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_r\})\)이라고 표현한다.(이 집합은 기존 vector space의 부분 집합이면서 동시에 그 자신이 vector space가 되는데 이러한 경우, 이 집합을 기존 vector space의 subspace라고 부른다.)

 

Basis of Vector Space

 

거의 대부분 vector space들은 무한히 많은 vector들을 가지고 있기 때문에 이들 전부를 각각 다루기보다는 적당히 대표적인 vector들을 이용하여 모든 vector에 대한 분석을 할 수 있으면 좋을 것이다. 이러한 vector들은 vector space 전체를 표현할 수 있어야 하므로,

1. 모든 vector들은 대표적인 vector들의 linear combination으로 나타낼 수 있어야 하고 (spanned set이 vector space 전체가 되어야 하고)

최대한 적은 수의 vector들로 표현하는 것이 유리할 것이므로 linearly dependent한 vector들은 linearly independent한 vector들만 남겨놓는다면,

2. 서로 linearly independent 해야 한다.

이러한 두 가지 조건을 만족하는 vector들의 집합을 basis라고 부른다.

 

DEFINITION            Basis of Vector Space 

 

Vector space \(V\)의 부분 집합 \( \mathcal{B} \)가

 

1. \( \mathrm{span}(\mathcal{B}) =V \)

 

2. \( \mathcal{B} \)의 vector들은 서로 linearly independent

 

하면 \( \mathcal{B} \)를 \(V\)의 basis라고 부른다.

Basis를 구성하는 vector의 수보다 많은 수의 vector들은 linearly dependent이다. 예를 들어, basis가

$$ \left\{ \vec{e}_1, \vec{e}_2, \cdots , \vec{e}_n \right\} $$

이라면, vector \( \vec{v}_1 \), \( \vec{v}_2 \), ... , \( \vec{v}_{n+1} \)은 각각이 basis vector의 linear combination

$$ \vec{v}_i = \sum _{j=1} ^n a_{ij} \vec{e}_j $$

로 표현되고, 만약

$$ \vec{0} = \sum _{i=1} ^{n+1} x_i \vec{v}_i = \sum _{i=1} ^{n+1} \sum _{j=1} ^n x_i a_{ij} \vec{e}_j $$

이라면 basis의 정의에 따라,

$$ \sum _{i=1} ^{n+1} a_{ij} x_i =0 $$

이어야 하는데, 이것은 미지수는 \(n+1\)개 이지만, 식은 \(n\)개 밖에 없는 연립방정식이다. 그러므로 이 연립방정식의 해는 없거나 무한히 많다. 그러나 모든 \(x_i\)가 0인 명백한 해가 존재하므로, 이 연립방정식의 해는 무한히 많다. 그러므로 \( \vec{v}_1 \), \( \vec{v}_2 \), ... , \( \vec{v}_{n+1} \)는 linearly dependent이다.

이러한 이유로 basis의 vector의 개수는 매우 특별한 수라고 하겠다. 이 수를 vector space의 dimension이라고 부른다. 만약 basis의 vector의 수가 유한하다면 그 vector space를 finite dimensional vector space라고 부르고 유한하지 않다면 infinite dimensional vector space라고 부른다.

Basis에서 중요한 점은 basis 선택은 유일하지 않다는 점이다. 단지 임의로 위의 두 조건에 맞게 basis를 구성할 수 있다.

 

Examples

1. 3차원 공간 \( \mathbb{R}^3 \)

일반적으로 \( \mathbb{R}^3 \)의 basis는

$$ \mathcal{B} = \{~(1,0,0)~,~(0,1,0)~,~(0,0,1)~\} $$

로 택한다. 각각의 vector가 일반물리, '기하와 벡터'에서 배운 공간벡터의 x축, y축, z축 단위 벡터이다. 이 집합이 basis임을 확인해보면, 임의의 vector \( (c_0,c_1,c_2) \)는

$$ (c_0,c_1,c_2) = c_0 (1,0,0) + c_1 (0,1,0) + c_2 (0,0,1) $$

처럼 단위 벡터들의 linear combination으로 표현되고, 단위 벡터들은 linearly independent이다.

 

일반물리나 고전역학에서는 단위 벡터들을 일일이 표현하기 보다는 \( \hat{i} \), \( \hat{j} \), \( \hat{k} \)로 대치해서

$$ (c_0,c_1,c_2)=c_0\hat{i} + c_1\hat{j}+c_2\hat{k} $$

로 쓰기도 한다.

By User:Acdx (Self-made, based on Image:Spatial vector.png) [GFDL or CC BY-SA 4.0-3.0-2.5-2.0-1.0], via Wikimedia Commons

위에서도 언급했듯이 basis의 선택은 유일하지 않은데, 예를 들어

$$ \mathcal{B}'=\{~(1,1,0)~,~(0,1,1)~,~(1,0,1)~\} $$

역시 basis가 됨을 확인할 수 있다. 우리가 보통 \( \mathbb{R}^3 \)를 3차원 공간이라고 부르는 것에서 예상할 수 있듯이 이 vector space의 dimension(차원)은 3이다.

​

2. n-dimensional Euclidean space \( \mathbb{R}^n \) 

이름에서부터 예상할 수 있듯이 \( \mathbb{R}^n \)의 dimension은 \(n\)이다. \( \mathbb{R}^n \)의 basis는 3차원 공간에서 basis를 구성한 것과 같은 방식으로

$$ \mathcal{B} = \{~(1,0,0,\cdots,0)~,~(0,1,0,\cdots,0)~,~\cdots~,~(0,\cdots,0,1)~\} $$

로 택한다. 이렇게 한 축의 단위 벡터들로 구성된 basis를 \( \mathbb{R}^n \)의 standard basis라고 부른다.

​

3. The set \( M_{nm} \) of \( n\times m\) real matrics

 

\( M_{nm} \)에 대한 basis는 보통 하나의 성분만 1이고 나머지 성분은 모두 0인 행렬들의 집합으로 구성한다. 예를 들어 \( 2\times 2\)의 경우,

$$ \mathcal{B} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right\} $$

로 택한다. Dimension은 \(nm\)이 된다.

4. The set \( C^0 [0,1] \) of continuous function on [0,1]

이 집합은 대표적인 infinite dimensional vector space이다. 물리학과 학부수준에서는 해석학적 분석에 익숙하지 않으니 basis를 직접 구하기보다는 몇 개의 함수들을 통해 무한한 수의 vector들도 linearly independent할 수 있음을 확인하겠다. 다음과 같은 함수를 생각해보자.

$$ f_n (x) = \begin{cases} (x-\frac{1}{n} ) (x-\frac{1}{n+1} ) & , & \frac{1}{n+1} < x < \frac{1}{n} \\ 0 & , & \mathrm{otherwise} \end{cases} $$

이 함수는 \( \frac{1}{n+1} < x < \frac{1}{n} \)에서만 값을 가지고 다른 곳에서는 0 인 함수이다. \( f_n \)는 다른 \( f_m \)함수를 이용하여 linear combination으로 나타낼 수 없다.(\( n\ne m \) 인 경우 \( \frac{1}{n+1} < x < \frac{1}{n} \)에서 함수값 0) 그러므로 이들은 서로 linearly indepedent한 함수들임을 알 수 있다.