(선형대수학) 4.6 Isometry, Unitary Operator

Isomorphism은 vector space $V$와 $W$가 vector의 기본 연산인 vector addition과 scalar multiplication의 결과가 그대로 유지되도록 연결시켜주는 linear transformation이다. $T$가 $V$에서 $W$로의 isomorphism이라고 하면, 모든 $V$의 vector ${\mathbf{v}}_1$, ${\mathbf{v}}_2$와 scalar $c$에 대하여

$$T({\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2)=T{\mathbf{v}}_1+T{\mathbf{v}}_2$$

$$T(c{\mathbf{v}}_1)=c(T{\mathbf{v}}_1)$$

즉, $T$로 변환 전 $V$에서의 연산과 변환 후의 ($W$에서의) 연산이 동일하다.

 

새로운 vector들의 연산인 inner product에 대해서도 비슷한 개념을 생각할 수 있다. Inner product space $V$(inner product는 ${⟨\cdot ,\cdot ⟩}_V$로 표시하자. 이하에서 space를 구별할 필요가 없을때는 생략한다)와 $W$에 대하여 linear transformation $T:V\to W$가 모든 $V$의 vector ${\mathbf{v}}_1$, ${\mathbf{v}}_2$에 대하여

$${⟨{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2⟩}_V={⟨T{\mathbf{v}}_1,T{\mathbf{v}}_2⟩}_W$$

즉, $T$로 변환 전의 ($V$에서의) inner product와 변환 후의 ($W$에서의) inner product가 동일한 경우 $T$가 inner product를 보존한다(preserve)고 하고 $T$를 isometry라고 부른다.

 

DEFINITION            Isometry

 

Inner product space $V$와 $W$에 대하여, 함수 $f:V\to W$가 임의의 ${\mathbf{v}}_1$, ${\mathbf{v}}_2\in V$에 대해

$${⟨{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2⟩}_V={⟨f{\mathbf{v}}_1,f{\mathbf{v}}_2⟩}_W$$

이면, $f$를 $V$에서 $W$로의 isometry라고 부른다.

 

 

By Yves Baelde [CC BY-SA 3.0 ], from Wikimedia Commons

 

 

$V$와 $W$가 finite dimension인 경우 $T$가 isometry이고 linear transformation인 경우 $T$는 자연스럽게 isomorphism이 된다. 이에 더해 $T$는 $V$의 orthonormal basis를 $W$의 orthonormal basis로 변환한다. 역으로 linear transformation이 $V$의 orthonormal basis를 $W$의 orthonormal basis로 변환하면 그 transformation은 inner product를 보존하는 isomorphism임이 성립한다. 따라서 finite-dimensional inner product space $V$와 $W$의 dimension이 같다면 반드시 inner product를 보존하는 isomorphism이 존재한다.

 

 

Example

Euclidean space ${\mathbb{C}}^n$의 vector

$$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$$

$$\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots ,y_n)$$

의 inner product는 보통

$${⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩}_{{\mathbb{C}}^n}=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i^{\ast }$$

으로 정의한다. 이 Inner product는 matrix representation으로도 계산할 수 있다. vector $\mathbf{x}$는 standard basis를 이용하여

$$X=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$$

의 행렬로 표현한다. 이러한 $n\times 1$ matrix들의 vector space를 ${\mathbb{C}}_{n1}$이라고 하면 다음과 같이 ${\mathbb{C}}_{n1}$의 inner product를 정의할 수 있다.

$${⟨X,Y⟩}_{{\mathbb{C}}_{n1}}=Y^{\ast }X=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i^{\ast }$$

따라서 matrix representation

$$\mathbf{x}\to X$$

에 추가적으로 ${\mathbb{C}}_{n1}$에 inner product를

$${⟨X,Y⟩}_{{\mathbb{C}}_{n1}}=Y^{\ast }X$$

로 정의하면 matrix representation은 inner product를 보존하는 isomorphism이 된다. 같은 방식으로 finite-dimensional inner product space의 orthonormal basis를 이용한 matrix 표현은 ${\mathbb{C}}^{n1}$로의 inner product를 보존하는 isomorphism이 된다.

 

 

Unitary Operator

 

Inner product space로부터 자기자신으로의 linear transformation인 linear operator가 inner product를 보존하는 isomorphism인 경우 그 operator를 unitary하다고 부른다.

 

DEFINITION            Unitary Operators

 

Inner product space $V$의 linear operator $U$가 임의의 $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}\in V$에 대하여

$$⟨U\mathbf{v},U\mathbf{w}⟩=⟨\mathbf{v},\mathbf{w}⟩$$

을 만족하는 isomorphism인 경우 $U$를 unitary operator라고 부른다.

 

$U$가 unitary이면 반드시 Hermitian adjoint $U^{\ast }$가 존재하고

$$U^{\ast }U=U{U}^{\ast }=I$$

를 만족한다. 경우에 따라 이 조건이 unitary operator의 정의로 사용되기도 하지만 infinite dimensional의 경우 adjoint의 존재가 문제가 될 수 있다. 다만 adjoint의 존재는 space의 정의 문제이므로 위의 조건을 정의로 사용하는 경우가 많다. 주의할 것은 unitary operator는 위의 조건을 만족하는 linear operator라는 것이다. 이 조건을 만족하는 것은 linear operator가 아닌 antiunitary operator도 있다.

 

Unitary operator는 양자역학 이론에서 핵심적인 역할을 한다. 이는 orthonormal basis가 unitary operator에 의해서 새로운 orthonormal basis로 변환되기 때문이다. Finite-dimensional inner product $V$의 orthonormal basis

$$\mathcal{B}=\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n\}$$

은 unitary operator $U$에 의하여

$$⟨U{\mathbf{e}}_i,U{\mathbf{e}}_j⟩=⟨{\mathbf{e}}_i,{\mathbf{e}}_j⟩={\delta }_{ij}$$

이므로

$$\mathcal{C}=\{U{\mathbf{e}}_1,U{\mathbf{e}}_2,\cdots ,U{\mathbf{e}}_n\}$$

는 새로운 orthonormal basis가 된다.

 

이제 임의의 operator $A$가 $\mathcal{B}$에서 matrix 표현이 $[A{]}_{\mathcal{B}}$가 된다면 새로운 orthonormal basis $\mathcal{C}$에서 matrix 표현은 (선형대수학) 2.5 Representations of Linear Transformations에서 본 것과 같이

$$[A{]}_{\mathcal{C}}=U^{-1}[A{]}_{\mathcal{B}}U=U^{\ast }[A{]}_{\mathcal{B}}U$$

가 된다. 이를 행렬의 unitary transformation이라고 부른다. 양자역학에서는 $⟨H\psi ,\varphi ⟩$(물리학과에서 사용하는 표현으로$⟨\varphi \left|H\right|\psi ⟩$)를 계산하는 상황이 많은데 위의 예제에서 본 것과 같이 orthonormal basis에서 matrix 표현을 통하여 계산할 수 있다. 주어진 basis에서 $H$, $\varphi$, $\psi$의 matrix 표현이 복잡하다면 새로운 orthonormal basis에서 unitary transform된 간단한 matrix 표현으로 계산한다.