(선형대수학) 4.6-(2) Some Spaces Isomorphic to 3-dimensional Euclidean Space

다음과 같은 서로 linearly indepedent한 3x3 행렬

$$P=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$

$$Q=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right]$$

$$R=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

의 linear combination ($x_1$, $x_2$, $x_3$는 real number)

$$X=x_{1}P+x_{2}Q+x_{3}R=\left[\begin{array}{ccc}0& -x_3& x_2\\ x_3& 0& -x_1\\ -x_2& x_1& 0\end{array}\right]$$

들로 이루어진 vector space $V$를 생각해보자. $V$에 대하여 inner product를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$${⟨X,Y⟩}_V=\frac{1}{2}\mathrm{tr}(X{Y}^T)$$

$V$의 dimension은 3이므로 ${\mathbb{R}}^3$과 isomorphic하다. 이제 isomorphism $T:{\mathbb{R}}^3\to V$를

$$T(x_1,x_2,x_3)=x_{1}P+x_{2}Q+x_{3}R$$

로 정의하면

$${⟨T(x_1,x_2,x_3),T(y_1,y_2,y_3)⟩}_V=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3={⟨(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)⟩}_{{\mathbb{R}}^3}$$

가 된다. 따라서 $T$는 inner product를 보존하는 isomorphism이다.

 

 

이제 다음과 같은 서로 linearly indepedent한 2x2 행렬

$$H=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

$$E=\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right]$$

$$F=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$

의 linear combination

$$U=u_{1}H+u_{2}E+u_{3}F=\left[\begin{array}{cc}{u}_3& u_1-u_{2}i\\ U_1+u_{2}i& -u_3\end{array}\right]$$

들로 이루어진 vector space $W$를 생각해보자. $W$에 대하여 inner product를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$${⟨U,V⟩}_W=\frac{1}{2}\mathrm{tr}(U{V}^{\ast })$$

예제 2와 마찬가지로 $W$의 dimension은 3이므로 ${\mathbb{R}}^3$과 isomorphic하다. 이제 isomorphism $S:{\mathbb{R}}^3\to W$를

$$S(u_1,u_2,u_3)=u_{1}H+u_{2}E+u_{3}F$$

로 정의하면

$${⟨S(u_1,u_2,u_3),S(v_1,v_2,v_3)⟩}_W=u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3={⟨(u_1,u_2,u_3),(v_1,v_2,v_3)⟩}_{{\mathbb{R}}^3}$$

가 된다. 따라서 $S$는 inner product를 보존하는 isomorphism이다.

 

 

이 예들은 양자역학 이론을 정립하는데 기초가 되는 angular momentum operator들과 관련있다. basis들은

 

$[P,Q]=R$   ,    $[Q,R]=P$   ,    $[R,P]=Q$

 

$[H,E]=F$   ,    $[E,F]=H$   ,    $[F,H]=E$

 

의 관계를 가지는데 이는 양자역학에서 angular momentum operator들의

 

$[L_x,L_y]=i\hslash L_z$   ,    $[L_y,L_z]=i\hslash L_x$   ,    $[L_z,L_x]=i\hslash L_y$

 

관계와 비슷하다. 사실, 위의 basis를 적절히 변형한 basis를 잡음으로써, 예를 들어 $P$, $Q$, $R$에 $i\hslash$를 곱함으로써 같은 관계식을 얻을 수 있다.

 

위의 두 예제는 angular momentum operator가 실제 행렬로 표현되는 여러 방식 중 두가지를 보여준다. 첫번째 예는 $3\times 3$ 행렬이라는 점에서 $3\times 1$ 행렬에 작용하는 angular momentum operator의 표현 방식으로 수소원자의 orbital을 구성하는 spherical harmonics와 연관되어 있고, 두번째 예는 $2\times 2$ 행렬이라는 점에서 $2\times 1$ 행렬에 작용하는 angular momentum operator의 표현 방식으로 spin 1/2의 wave function과 연관되어 있다.

 

하지만 $V$와 $W$는 모두 dimension이 3이므로 isomorphic 즉, vector 관점에서 동등하기 때문에 선형대수의 도구만으로는 이를 확인할 수 없고 다른 개념들이 필요하다. 이에 대한 자세한 내용은 ---(page link)---에서 다룬다.