(선형대수학) 4.6-(2) Some Spaces Isomorphic to 3-dimensional Euclidean Space

다음과 같은 서로 linearly indepedent한 3x3 행렬

$$ P=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$

$$ Q=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

$$ R=\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

의 linear combination (\(x_1\), \(x_2\), \(x_3\)는 real number)

$$ X=x_1P+x_2Q+x_3R=\begin{bmatrix} 0 & -x_3 & x_2 \\ x_3 & 0 & -x_1 \\ -x_2 & x_1 & 0 \end{bmatrix} $$

들로 이루어진 vector space \(V\)를 생각해보자. \(V\)에 대하여 inner product를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$ \left\langle X,Y \right\rangle _V = \frac{1}{2} \mathrm{tr}(XY^T) $$

\(V\)의 dimension은 3이므로 \(\mathbb{R}^3\)과 isomorphic하다. 이제 isomorphism \(T:\mathbb{R}^3 \to V\)를

$$ T(x_1,x_2,x_3)=x_1P+x_2Q+x_3R $$

로 정의하면

$$ \left\langle T(x_1,x_2,x_3) , T(y_1,y_2,y_3) \right\rangle _V = x_1y_1 +x_2y_2+x_3y_3=\left\langle (x_1,x_2,x_3) , (y_1,y_2,y_3) \right\rangle _{\mathbb{R}^3} $$

가 된다. 따라서 \(T\)는 inner product를 보존하는 isomorphism이다.

 

 

이제 다음과 같은 서로 linearly indepedent한 2x2 행렬

$$ H=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$

$$ E=\begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} $$

$$ F=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$

의 linear combination

$$ U=u_1H+u_2E+u_3F=\begin{bmatrix} u_3 & u_1-u_2 i \\ U_1+u_2i & -u_3 \end{bmatrix} $$

들로 이루어진 vector space \(W\)를 생각해보자. \(W\)에 대하여 inner product를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$ \left\langle U,V \right\rangle _W = \frac{1}{2} \mathrm{tr}(UV^*) $$

예제 2와 마찬가지로 \(W\)의 dimension은 3이므로 \(\mathbb{R}^3\)과 isomorphic하다. 이제 isomorphism \(S:\mathbb{R}^3 \to W\)를

$$ S(u_1,u_2,u_3)=u_1H+u_2E+u_3F $$

로 정의하면

$$ \left\langle S(u_1,u_2,u_3) , S(v_1,v_2,v_3) \right\rangle _W = u_1v_1 +u_2v_2+u_3v_3=\left\langle (u_1,u_2,u_3) , (v_1,v_2,v_3) \right\rangle _{\mathbb{R}^3} $$

가 된다. 따라서 \(S\)는 inner product를 보존하는 isomorphism이다.

 

 

이 예들은 양자역학 이론을 정립하는데 기초가 되는 angular momentum operator들과 관련있다. basis들은

 

\([P,Q]=R\)   ,    \([Q,R]=P\)   ,    \([R,P]=Q\)

 

\([H,E]=F\)   ,    \([E,F]=H\)   ,    \([F,H]=E\)

 

의 관계를 가지는데 이는 양자역학에서 angular momentum operator들의

 

\([L_x,L_y]=i\hbar L_z\)   ,    \([L_y,L_z]=i\hbar L_x\)   ,    \([L_z,L_x]=i\hbar L_y\)

 

관계와 비슷하다. 사실, 위의 basis를 적절히 변형한 basis를 잡음으로써, 예를 들어 \(P\), \(Q\), \(R\)에 \(i\hbar\)를 곱함으로써 같은 관계식을 얻을 수 있다.

 

위의 두 예제는 angular momentum operator가 실제 행렬로 표현되는 여러 방식 중 두가지를 보여준다. 첫번째 예는 \(3\times 3\) 행렬이라는 점에서 \(3\times 1\) 행렬에 작용하는 angular momentum operator의 표현 방식으로 수소원자의 orbital을 구성하는 spherical harmonics와 연관되어 있고, 두번째 예는 \(2\times 2\) 행렬이라는 점에서 \(2\times 1\) 행렬에 작용하는 angular momentum operator의 표현 방식으로 spin 1/2의 wave function과 연관되어 있다.

 

하지만 \(V\)와 \(W\)는 모두 dimension이 3이므로 isomorphic 즉, vector 관점에서 동등하기 때문에 선형대수의 도구만으로는 이를 확인할 수 없고 다른 개념들이 필요하다. 이에 대한 자세한 내용은 ---(page link)---에서 다룬다.