[양자역학] 1.2 상태 벡터 State Vectors

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1. 물리적 시스템은 inner producr가 정의된 complex vector space의 원소인 vector \(\left| \psi \right\rangle\)로 표현된다. 이 vector를 state vector라고 부른다.

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선형대수학에서 vector space는 몇가지 공리들을 만족하는 집합을 말한다.^[각주:1] 고전역학이나 전자기학에서 vector를 \(\vec{r}\) 또는 \(\mathbf{r}\) 처럼 표현했던 것과는 다르게 양자역학에서는 이 state vector를 \(\left| f \right\rangle\) 와 같이 표현한다. 

Inner product는 vector space에 정의되는 연산이다.^[각주:2] State vector의 inner product를 \(\left\langle f | g\right\rangle\) 처럼 표현한다. 주의할 점은, 선형대수학에서 inner product를 정의할 때 linearity가 첫번째 인수에 정의되지만, 양자역학에서는 두번째 인수에 대하여 linearity가 정의된다.

$$ \left\langle \psi | c \cdot \varphi + \phi \right\rangle = c \cdot \left\langle \psi | \varphi \right\rangle + \left\langle \psi | \phi \right\rangle $$

첫번째 인수와 두번째 인수를 바꾸면 complex conjugate가 되는 성질 (수학에서는 \(c\) 의 complex conjugate를 \(\bar{c}\) 로 표현하고, 물리에서는 \(c^*\)로 표현한다)

$$ \left\langle \psi | \varphi \right\rangle = \left\langle \varphi | \psi \right\rangle ^* $$

을 이용하면, 첫번째 인수에 대해서는

$$ \left\langle c \cdot \psi + \varphi | \phi \right\rangle = c^* \cdot \left\langle \psi | \phi \right\rangle + \left\langle \varphi | \phi \right\rangle $$

를 만족한다.

양자역학에서 1-dimension에서 운동하는 1-particle로 이루어진 물리적 시스템을 기술할 때 다루는 vector space는 다음과 같이 정의된다.

$$ L^2 = \left\{~ f:I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{C} ~\left|~ \int_I |f(x)|^2 ~dx ~\right. \right\} $$

이 집합을 the space of square-integrable functions 또는 L(Lebesgue)-square space라고 부른다.^[각주:3]

여기에서 가장 중요한 것은 이 집합의 원소는 complex-valued function이라는 것이다. 선형대수학에 익숙하지 않을 경우 vector space라고 하면 좌표공간을 떠올리고 vector를 좌표공간 상의 한 점 \((x,y,z)\)로 생각하기 쉬운데 state vector는 함수이다. 예를 들어, 좌표공간 상에서 z축을 중심으로 \(\theta\) 만큼 회전하는 것은

$$ \left( \begin{array}{ccc} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) $$

와 같이 표현하지만 양자역학에서는

$$ \left( \begin{array}{ccc} e^{-\frac{i}{\hbar}\theta} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & e^{\frac{i}{\hbar}\theta} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right) $$

와 같이 전혀 다른 형태로 표현된다. 위의 표현이 당장은 이해되지 않더라도, 중요한 것은 양자역학에서 다루는 vector는 좌표공간 상의 점이 아니고 함수라는 것이다.

다음으로 중요한 것은 일반적인 state vector는 basis vector가 아니라 basis vector의 linear combination이라는 것이다.^[각주:4] 예를 들어, 수소 원자의 전자를 표현하는 wave function

$$ \begin{eqnarray*} \psi _{1,0,0} ~(r,\theta,\phi) & = & \left( \frac{1}{\pi a_0 ^3} \right)^{1/2} ~e^{-r/a_0} \\ \\ \psi _{2,0,0} ~(r,\theta,\phi) & = & \left( \frac{1}{32\pi a_0 ^3} \right)^{1/2} \left(2-\frac{r}{a_0}\right) ~e^{-r/2a_0} \\ \\ & & \vdots \end{eqnarray*} $$

와 같은 함수들이 나오는데, 이 함수들은 일반적인 state vector가 아니라 basis vector라는 것이다. 선형대수학에서 basis는 vector들을 쉽게 표현하고 연산을 쉽게 하기 위해서 구성된 몇 개의 vector들이다. 3차원 공간에서 일반적인 vector \(\vec{v}\)를

$$ \vec{v} = v_x ~\hat{x} + v_y ~\hat{y} + v_z ~\hat{z} $$

처럼 좌표축의 운동으로 분리하기 위해 도입되는 \(\hat{x}\) , \(\hat{y}\) , \(\hat{z}\) 가 basis vector이다. 즉, 위에서 본 \(\psi_{1,0,0}\) , \(\psi_{2,0,0}\) 와 같은 함수들은 \(\hat{x}\) , \(\hat{y}\) 와 같은 역할을 한다는 뜻이다. (물론 그 자체들도 vector이다.) 특히, 양자역학에서는 basis를 orthonormal basis로 구성함으로써 3차원 공간에서 일반적인 vector를 좌표축의 운동으로 분리하여 분석하는 것과 같은 작업을 하게 된다.^[각주:5]

결국 학부 양자역학의 목표는 potential wall, harmonic oscillator 등과 같은 비교적 간단한 물리적 시스템에서 적절한 orthonormal basis를 찾고 이를 이용하여 물리적인 값들을 계산하는 것이라고 볼 수 있다.

1. Vector space의 자세한 내용은 [선형대수학] 1.1 Vector Space 참고 [본문으로]
2. Inner product의 자세한 내용은 [선형대수학] 4.1 Inner Product Space 참고. [본문으로]
3. L-square space의 자세한 내용은 [선형대수학] 5.3 \\(L^2\\) Space 참고. [본문으로]
4. Vector space의 basis에 대한 자세한 내용은 [선형대수학] 1.3 Basis, Dimension 참고. [본문으로]
5. 임의의 (finite) basis를 이용해 orthonormal basis를 얻는 방법에 대한 내용은 [선형대수학] 4.3 Orthogonality, Gram-Schmidt Process 참고. [본문으로]