(선형대수학) 4.7 Normal Operators

학부 양자역학의 주요 주제인 $⟨H\psi ,\varphi ⟩$(bra-ket notation으로는 $⟨\varphi \left|H\right|\psi ⟩$)를 계산하는 전략으로 $\psi$와 $\phi$를 Hermitian operator $H$의 eigenvalue $c_i$ 대한 eigenvector ${\varphi }_i$들로 expansion하여

$$\psi =\sum _i{a}_i{\varphi }_i$$

$$\phi =\sum _j{b}_j{\varphi }_j$$

inner product의 정의를 이용해

$$⟨H\psi ,\phi ⟩=\sum _{i,j}{a}_i{b}_j^{\ast }{c}_i⟨{\varphi }_i,{\varphi }_j⟩$$

그리고 서로 다른 real eigenvalue를 가진 eigenvector들은 서로 orthonormal 하다는 점을 이용해($⟨{\varphi }_i,{\varphi }_i⟩=1$은 eigenvector ${\varphi }_i$를 설정할 때 적당한 상수를 곱함으로써 쉽게 얻어진다)

$$⟨H\psi ,\phi ⟩=\sum _i{a}_i{b}_i^{\ast }{c}_i$$

를 이용해 얻는다. 계수 $a_i$와 $b_j$는 eigenvector들의 orthonormality로부터

$$a_i=⟨\psi ,{\varphi }_i⟩$$

$$b_j=⟨\phi ,{\varphi }_j⟩$$

를 이용해 얻는다. 이러한 전략이 성립하려면 $\psi$와 $\phi$를 $H$의 eigenvector들로 expansion할 수 있어야 한다. 즉, eigenvector들이 basis가 되는 경우에만 이러한 전략이 가능하다. 그렇지 않을 경우 eigenvector들의 linear combination으로 표현할 수 없는 vector들이 존재하게 된다. 이 페이지에서는 linear operator의 eigenvector들이 inner product space의 basis가 되는 특정한 종류의 operator들을 살펴보도록 하겠다. 지금 단계에서는 finite dimensional에서만 살펴본다.

 

DEFINITION            Normal Operators

 

Finite inner product space의 linear operator $N$이

$$N{N}^{\ast }=N^{\ast }N$$

이면 $N$을 normal operator라고 부른다.

 

Hermitian operator와 unitary operator는 normal operator이다. $A^{\ast }=-A$를 만족하는 linear operator(이를 skew-Hermitian operator라고 부른다)도 normal operator이다. 임의의 linear operator $T$에 대하여 $T{T}^{\ast }$ (결과적으로 Hermitian) 역시 normal operator가 된다.

 

Normal operator는 여러 가지 성질을 가지고 있다. Normal operator $N$의 정의로부터

$$⟨N\mathbf{v},N\mathbf{v}⟩=⟨N^{\ast }N\mathbf{v},\mathbf{v}⟩=⟨N{N}^{\ast }\mathbf{v},\mathbf{v}⟩=⟨N^{\ast }\mathbf{v},N^{\ast }\mathbf{v}⟩$$

을 얻을 수 있다. 즉, vector가 $N$으로 변환된 후의 길이와 $N$의 adjoint로 변환된 후의 길이는 같다.

 

또한

$$N=\frac{1}{2}(N+N^{\ast })+i\frac{1}{2i}(N-N\ast )$$

로부터

$$N_1=\frac{1}{2}(N+N^{\ast })$$

$$N_2=\frac{1}{2i}(N-N^{\ast })$$

로 정의하면

$$N_1{N}_2=N_2{N}_1$$

을 만족한다.

 

$N$의 eigenvalue를 $c$라고 하면, $N^{\ast }$의 eigenvalue는 $\bar{c}$가 된다. 위의 세가지 성질들은 역도 성립한다. 즉, linear operator $T$가 위의 성질(들 중 하나)을 만족하면 $T$는 normal operator이다.

 

Normal operator의 가장 중요한 성질은 위에서 언급했듯이 normal operator들의 eigenvector들이 orthonormal basis를 만든다는 것이다.

 

THEOREM            Spectral Theorem (Finite-dimensional, Normal Operator)

 

Finite dimensional complex inner product space $V$의 normal operator $N$은 orthonormal basis가 되는 eigenvector들이 존재한다.

 

이를 증명하는 과정은 normal operator $N$에 대하여 행렬표현이 upper triangular인 orthonormal basis가 존재한다는 것과 $N$이 orthonormal basis에서 upper triangle matrix로 표현된다면 diagonal matrix가 된다는 것을 증명하는 것으로 이루어 진다. Spectral theorem의 결론으로부터 Hermitian operator $H$에 대한 $⟨\phi \left|H\right|\psi ⟩$의 계산을 eigenvector로 전개하여 계산하는 것이 가능해진다.