(선형대수학) 4.7 Normal Operators

학부 양자역학의 주요 주제인 \(\left\langle H\psi,\phi \right\rangle\)(bra-ket notation으로는 \(\left\langle \phi \left| H \right| \psi \right\rangle\))를 계산하는 전략으로 \(\psi\)와 \(\varphi\)를 Hermitian operator \(H\)의 eigenvalue \(c_i\) 대한 eigenvector \(\phi_i\)들로 expansion하여

$$ \psi = \sum_i a_i \phi_i $$

$$ \varphi = \sum_j b_j \phi_j $$

inner product의 정의를 이용해

$$ \left\langle H\psi , \varphi \right\rangle = \sum_{i,j} a_ib_j ^* c_i \left\langle \phi_i,\phi_j \right\rangle $$

그리고 서로 다른 real eigenvalue를 가진 eigenvector들은 서로 orthonormal 하다는 점을 이용해(\(\left\langle \phi_i , \phi_i \right\rangle = 1\)은 eigenvector \(\phi_i\)를 설정할 때 적당한 상수를 곱함으로써 쉽게 얻어진다)

$$ \left\langle H\psi, \varphi \right\rangle = \sum_i a_i b_i ^* c_i $$

를 이용해 얻는다. 계수 \(a_i\)와 \(b_j\)는 eigenvector들의 orthonormality로부터

$$ a_i = \left\langle \psi , \phi_i \right\rangle $$

$$ b_j = \left\langle \varphi , \phi_j \right\rangle $$

를 이용해 얻는다. 이러한 전략이 성립하려면 \(\psi\)와 \(\varphi\)를 \(H\)의 eigenvector들로 expansion할 수 있어야 한다. 즉, eigenvector들이 basis가 되는 경우에만 이러한 전략이 가능하다. 그렇지 않을 경우 eigenvector들의 linear combination으로 표현할 수 없는 vector들이 존재하게 된다. 이 페이지에서는 linear operator의 eigenvector들이 inner product space의 basis가 되는 특정한 종류의 operator들을 살펴보도록 하겠다. 지금 단계에서는 finite dimensional에서만 살펴본다.

 

DEFINITION            Normal Operators

 

Finite inner product space의 linear operator \(N\)이

$$ NN^* = N^*N $$

이면 \(N\)을 normal operator라고 부른다.

 

Hermitian operator와 unitary operator는 normal operator이다. \(A^*=-A\)를 만족하는 linear operator(이를 skew-Hermitian operator라고 부른다)도 normal operator이다. 임의의 linear operator \(T\)에 대하여 \(TT^*\) (결과적으로 Hermitian) 역시 normal operator가 된다.

 

Normal operator는 여러 가지 성질을 가지고 있다. Normal operator \(N\)의 정의로부터

$$ \left\langle N\mathbf{v}, N\mathbf{v} \right\rangle = \left\langle N^*N\mathbf{v}, \mathbf{v} \right\rangle=\left\langle NN^*\mathbf{v}, \mathbf{v} \right\rangle = \left\langle N^*\mathbf{v}, N^*\mathbf{v} \right\rangle $$

을 얻을 수 있다. 즉, vector가 \(N\)으로 변환된 후의 길이와 \(N\)의 adjoint로 변환된 후의 길이는 같다.

 

또한

$$ N=\frac{1}{2}(N+N^*)+i\frac{1}{2i}(N-N*) $$

로부터

$$ N_1=\frac{1}{2}(N+N^*) $$

$$ N_2=\frac{1}{2i}(N-N^*) $$

로 정의하면

$$ N_1N_2=N_2N_1 $$

을 만족한다.

 

\(N\)의 eigenvalue를 \(c\)라고 하면, \(N^*\)의 eigenvalue는 \(\overline{c}\)가 된다. 위의 세가지 성질들은 역도 성립한다. 즉, linear operator \(T\)가 위의 성질(들 중 하나)을 만족하면 \(T\)는 normal operator이다.

 

Normal operator의 가장 중요한 성질은 위에서 언급했듯이 normal operator들의 eigenvector들이 orthonormal basis를 만든다는 것이다.

 

THEOREM            Spectral Theorem (Finite-dimensional, Normal Operator)

 

Finite dimensional complex inner product space \(V\)의 normal operator \(N\)은 orthonormal basis가 되는 eigenvector들이 존재한다.

 

이를 증명하는 과정은 normal operator \(N\)에 대하여 행렬표현이 upper triangular인 orthonormal basis가 존재한다는 것과 \(N\)이 orthonormal basis에서 upper triangle matrix로 표현된다면 diagonal matrix가 된다는 것을 증명하는 것으로 이루어 진다. Spectral theorem의 결론으로부터 Hermitian operator \(H\)에 대한 \(\left\langle \varphi \left| H \right| \psi \right\rangle\)의 계산을 eigenvector로 전개하여 계산하는 것이 가능해진다.