[다양체,텐서] 2.4-(3) Lie Derivatives of Tensor Fields

1.6 Integral Curve에서 살펴본 Lie derivative는 vector calculus에서 directional derivative의 일반화된 개념이다. Real-valued function과 vector field에 정의된 것과 마찬가지로 differentiable form에도 Lie derivative를 정의할 수 있다.

Lie Derivatives of Tensor Fields

Vector field의 Lie derivative를 정의할 때, local flow를 이용한 것과 같이 tensor field의 Lie derivative도 local flow를 이용하여 정의한다.

DEFINITION            Lie Derivative of Tensor Field

Smooth manifold \(M\)의 vector field \(X\)와 tensor field \(T\)에 대하여

$$ L_X T = \left. \frac{d}{dt} (\varphi_t ^* T) \right| _{t=0} \mathrm{~~~where~~\varphi_t =F(\cdot,t)~~for~~F~~the~~local~~flow~~of~~X} $$

를 \(X\)방향으로 \(T\)의 Lie derivative라고 부른다.

Local flow가 vector field를 따라서 움직이는 입자를 표현한 함수라고 이해한다면, Lie derivative는 tensor field가 vector field에 의해 한 위치에서 다음 위치로 이동함에 따라 얼마나 변했는지를 표현한 것이라고 할 수 있다.

만약 \(T\)가 \((p,q)\)-tensor field라면, pullback의 정의로부터 Lie derivative \(L_X T\)도 \((p,q)\)-tensor field가 된다. \(X_1\), \(X_2\), ... 을 vector field, \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), ... 을 covector field라고 하면, Lie derivative는

$$ \begin{eqnarray} & (L_Y T) ~(\alpha_1,\alpha_2, \cdots,X_1,X_2,\cdots) = Y(~T(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,X_1,X_2,\cdots)~) \\ \\ & ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - T(L_Y \alpha_1,\alpha_2,\cdots,X_1,X_2,\cdots) - T(\alpha_1,L_Y \alpha_2,\cdots, X_1,X_2,\cdots) - \cdots \\ \\ & ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - T(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,L_Y X_1,X_2,\cdots) - T(\alpha_1, \alpha_2,\cdots,X_1,L_Y X_2,\cdots) - \cdots \end{eqnarray} $$

가 된다.

Interior Products of Differential Forms

Exterior derivative는 \(k\)-form을 이용하여 \((k+1)\)-form을 만드는 연산이다. 반대로 \(k\)-form을 이용하여 \((k-1)\)-form을 만드는 연산인 interior product를 정의할 수 있다.(inner product와 혼동하지 말자.)

DEFINITION            Interior Product of Differential Form

Smooth manifold \(M\)의 vector field \(X\), \(k\)-form \(\omega\)에 대하여, \((k-1)\)-form \(\imath_X \omega\)

$$ (\imath _X \omega)~(X_1,\cdots,X_{k-1}) = \omega(X,X_1,\cdots,X_{k-1}) \mathrm{~~~for~~any~~vector~~field~~}X_1,\cdots,X_{k-1} $$

을 \(X\)에 대한 \(\omega\)의 interior product (또는 contraction) 이라고 부른다.

Interior product는 다음과 같이 exterior product와 비슷한 특성을 가진다.

THEOREM            Properties of Exterior Derivative

Smooth manifold \(M\)의 vector field \(X\), differentiable form \(\alpha\), \(\beta\)에 대하여 다음이 성립한다.

1. \(\imath _X (\alpha + \beta) = \imath _X \alpha + \imath _X \beta \)

2. \(k\)-form \(\alpha\)에 대하여, \(\imath _X (\alpha \wedge \beta) = (\imath _X \alpha) \wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge (\imath _X \beta)\)

3. \(\imath _X \imath _Y \alpha = - \imath _Y \imath _X \alpha \)

(공백)

2번째 성질로부터, $$ \imath_X ^2 =0 $$ 임을 알 수 있다.

Interior product와 exterior derivative는 Lie derivative로 연결되어 있다. Lie derivative 연산식을 이용하면 다음과 같이 interior product, exterior derivative, Lie derivative 사이의 연관식을 얻을 수 있다.

THEOREM            Cartan Formula

$$ L_X \omega = \imath_X d\omega + d(\imath_X \omega) $$

Cartan formula를 이용하여,

$$ L_x (d\omega) = \imath_X d(d\omega) + d(\imath_X d\omega) = d(\imath_X d\omega) = d(\imath_X d\omega) + d(d\imath_X \omega) = d(L_X \omega) $$

즉, Lie derivative와 exterior derivative는 commute함을 확인할 수 있다.

Algebraic Definition of Lie Derivative

\((p,q)\)-tensor field의 연산식

$$ \begin{eqnarray} & (L_Y T) ~(\alpha_1,\alpha_2, \cdots,X_1,X_2,\cdots) = Y(~T(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,X_1,X_2,\cdots)~) \\ \\ & ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - T(L_Y \alpha_1,\alpha_2,\cdots,X_1,X_2,\cdots) - T(\alpha_1,L_Y \alpha_2,\cdots, X_1,X_2,\cdots) - \cdots \\ \\ & ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - T(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,L_Y X_1,X_2,\cdots) - T(\alpha_1, \alpha_2,\cdots,X_1,L_Y X_2,\cdots) - \cdots \end{eqnarray} $$

을 이용하면, 임의의 tensor \(S\)와 \(T\)의 tensor product에 대하여

$$ L_X (S \otimes T) = (L_X S)\otimes T + S\otimes (L_X T) $$

를 만족함을 보일 수 있다. (복잡해 보이지만 어떤 vector field와 covector field들이 \(S\)와 \(T\)로 들어갈 것인지만 잘 정리하면 쉽게 얻을 수 있다.)  Lie derivative가 이름에서 처럼 '미분'의 역할을 하고, tensor product가 '함수의 곱셈' 역할을 하므로 일종의 Leibniz rule로 생각할 수 있다.

\(k\)-covariant tensor의 경우 연산식을 정리하면,

$$ L_Y (~ T (X_1,\cdots,X_k) ~) = (L_Y Y) ~(X_1,\cdots,X_k) + T(~(L_Y X_1)~,\cdots, X_k) + \cdots + T(X_1,\cdots,~(L_Y X_k)~) $$

가 되는데 이를 contraction에 대하여 Lie derivative가 Leibniz rule으로 생각할 수 있다.

이러한 성질들을 종합하여 Lie Derivative를 다음과 같은 방법으로 정의할 수 있다.

DEFINITION            Lie Derivative (alternative definition)

 

Smooth manifild \(M\)의 vector field \(X\)에 대하여, 다음의 공리를 만족하는 연산 \(L_X\)를 \(X\)방향으로의 Lie derivative라고 한다.

Axiom 1. real-valued function \(f:M \to \mathbb{R}\)에 대하여,

$$ L_X f = X(f) $$

Axiom 2. tensor field에 대한 Liebniz rule

$$ L_X (S \otimes T) = (L_X S) \otimes T + S \otimes (L_X T) $$

Axiom 3. contraction에 대한 Liebniz rule

$$ \begin{eqnarray} L_Y (~ T (X_1,\cdots,X_k) ~) & = & (L_Y Y) ~(X_1,\cdots,X_k) \\ \\ & & +~ T(~(L_Y X_1)~,\cdots, X_k) ~+~ \cdots ~+~ T(X_1,\cdots,~(L_Y X_k)~) \end{eqnarray} $$

Axiom 4. exterior derivative와 commute

$$ [L_x,d] = 0 $$

위의 공리가 만족한다면 vector field \(Y\)에 대하여,

$$ df(Y) = Y(f) $$

이므로

$$ \begin{eqnarray} X(Y(f)) & = & L_X (~ Y(f) ~) \\ \\ & = & L_X (~ df(Y) ~) = L_X (df)~(Y) + df(L_X Y) \\ \\ & = & d(L_X f) Y + df(L_X Y) = Y(X(f)) + L_X Y(f) \end{eqnarray}$$

따라서

$$ L_X Y = XY - YX = [X,Y] $$

즉, 위 정의는 local flow를 이용한 정의와 동일한 것이다.