[다양체,텐서] 3.1 Riemannian Metric

3차원 Euclidean space에서 입자가 경로를 따라 움직일 때 움직인 거리, 속력 등은 자연스럽게 도입되는 좌표계인 Cartesian coordinate system으로부터 정의된다. 그러나 일반적인 manifold에서는 자연스럽게 도입되는 좌표계라는 것이 존재하지 않으므로, Riemannian metric이라는 새로운 구조를 추가적으로 정의해줘야 한다.

Riemannian Manifold

Riemannian metric을 정의하기 이전에, covariant 2-tensor에 정의되는 특성 몇가지를 살펴보자.

DEFINITION           

covariant 2-tensor \(g\)가 임의의 vector \(v\), \(w\)에 대하여

$$ g(v,w) = g(w,v) $$

이면 \(g\)가 symmetric하다고 부른다.

DEFINITION            

covariant 2-tensor \(g\)가

$$ g(v,w) = 0 \mathrm{~~~~for~~all~~}w\in T_pM ~~\Longrightarrow~~ v=0 $$

이면 \(g\)가 nondegenerate하다고 부른다.

DEFINITION            

Covariant 2-tensor \(g\)가 임의의 non-zero vector \(v\)에 대하여,

$$ g(v,v) > 0 $$

이면 \(g\)가 positive definite하다고 부른다.

이러한 특성들을 이용해 Riemannian metric을 다음과 같이 정의한다.

DEFINITION            Riemannian Manifold

Smooth manifold \(M\)에 대하여, symmetric positive-definite nondegenerate smooth covariant 2-tensor field \(g\)를 \(M\)의 Riemannian metric이라고 부른다. 이렇게 Riemannian metric이 정의된 smooth manifold \(M\)을 Riemannian manifold라고 부르고 \((M,g)\)로 표현한다.

\(M\)의 point \(p\)에서

$$ g_p (v,w) = \left\langle v, w \right\rangle _p $$

로 정의한다면, \(\left\langle \cdot, \cdot \right\rangle _p\) 은 inner product의 정의를 만족한다. ([선형대수학] 4.1 Inner Product Space 참고) 즉, Riemannian metric은 각 점에서의 tangent space에 inner product를 정의하는 것과 같다. 따라서 Riemannian metric을 \((M,\left\langle \cdot, \cdot \right\rangle)\)으로 표현하기도 한다.

Local coordinate \(x\)에서 Riemannian metric \(g\)은

$$ g = \sum_{i,j=1} ^n g_{ij} ~dx^i \otimes dx^j $$

로 표현된다. 이 때,

$$ g_{ij} = g\left( \frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j} \right) $$

이다. Riemannian metric은 symmetric하므로 

$$ g_{ij} = g_{ji} $$

를 만족한다.

Riemannian manifold의 submanifold의 경우, 다음의 정리를 이용해 Riemmanian metric을 자연스럽게 정의할 수 있다.

THEOREM            

Riemannian manifold \((M,g)\)에 대하여, \(f:N\to M\) 을 immersion이라고 하자. 그러면, \(f^\ast g\)는 \(N\)의 Riemannian metric이 된다.

Submanifold는 inclusion map \(i\)가 immersion이므로

$$ (i^\ast g)_p = \left. g \right| _{T_pM} $$

이 된다. Whitney theorem(1.7 Submanifold 참고)에 따르면, 모든 smooth manifold는 Euclidean space의 submanifold이므로 Riemannian manifold이다.

Examples

1. Euclidean metric on \(\mathbb{R}^n\)

Cartesian coordinate에서 tangent space의 basis

$$ \frac{\partial}{\partial x^i} $$

는 standard basis가 된다. 따라서 Inner product

$$ \left\langle v,w \right\rangle = v_x w_x + v_y w_y + v_z w_z $$

와 동일한 Riemannian metric은

$$ g = \sum _{i=1} ^n dx^i \otimes dx^i $$

가 된다.

$$ g_{ij} = \delta_{ij} $$

와 같이 행렬 형태로 표현하기도 한다. 이를 Euclidean metric이라고 부른다.

2. Canonical metric on \(S^n\)

$$ S^n = \{~ x\in \mathbb{R}^{n+1} ~|~ \| x \| = 1 ~\} $$

은 \(\mathbb{R}^{n+1}\)의 submanifold이므로 Euclidean metric으로부터 Riemannian metric을 유도할 수 있다. \(S^n\)의 parametrization

$$ \varphi (x^1,\cdots,x^n) = (~x^1,\cdots,x^n,\sqrt{1-(x^1)^2-\cdots-(x^n)^2}~) $$

으로 잡으면

$$ \varphi^\ast g = \sum _{i=1} ^n \left( \delta_{ij} + \frac{x^ix^j}{1-(x^1)^2 - \cdots -(x^n)^2} \right) ~dx^i \otimes dx^j $$

가 된다. 이를 \(S^n\)의 canonical metric이라고 부른다.

3. Minkowski metric on spacetime

특수상대성 이론을 기술하는데 사용되는 Minkowski metric은 다음과 같이 정의된다.

$$ g = \left( \begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$

보통 spacetime의 좌표를 기술할 때는 첫번째 변수를 \(x^0\), 두번째 변수를 \(x^1\)과 같은 식으로 index를 0부터 시작한다.

$$ g\left( \frac{\partial}{\partial x^0} , \frac{\partial}{\partial x^0} \right) = -1 $$

즉, positive-definite하지 않기 때문에 Minkowski metric은 Riemannian metric이 아니다. 상대성 이론에서 Minkowski metric을 표현할 때는 \(g\) 대신 \(\eta\)를 사용한다.

4. Schwarzschild metric on spacetime

행성이나 블랙홀과 같이 spherical symmetric한 질량체에 대한 spacetime의 metric을 Schwarzschild metric이라고 부른다.

$$ g = \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{2GM}{rc^2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\left(1-\frac{2GM}{rc^2} \right) ^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 -r^2 & \sin^2{\theta} \end{array} \right) $$

Minkowski space의 metric과 같이 positive-definite하지 않기 때문에 Riemannian metric은 아니지만, Riemannian manifold에서 정의되는 개념들이 상대성 이론을 기술하는데 그대로 사용된다.