본문 바로가기
Mathematics/다양체(텐서)

[다양체,텐서] 3.1-(3) Divergence of Vector Field

by 피그티 2018. 9. 14.

Manifold에서 divergence는 volume form(2.6 Volume Forms 참고)과 Lie derivative(2.4-(3) Lie Derivatives of Tensor Fields 참고)을 이용해 정의된다.



Divergences of Vector Fields


DEFINITION            Divergence of Vector Field (Manifold)


M을 oriented manifold, n-form ω를 M의 volume form이라고 하자. Vector field X의 divergence를 다음을 만족하는 real-valued function div(X):MR 으로 정의한다.

(div(X))ω=LXω=d(ıXω)


Local coordinates x에서 volume form ω

ω=a dx1dxn    ,  a(p)0  for  all  pM

vector field X

X=i=1nXixi

로 표현된다면,

LXω=i=1n(Xiaxi+aXixi)dx1dxn

이므로

div(X)=i=1n1axi(aXi)

로 표현된다.



Riemannian Volume Form


M에 Riemannian metric g가 정의된 경우, volume form ω가 모든 point p에서, tangent space TpM의 orthonormal basis {v1,vn}에 대해,

ω(v1,vn)=±1

이면 ωRiemannian volume form이라고 부른다. 이 식을 이용하면, Riemannian volume form의 local coordinates 표현은 Riemannian metric을 사용해서,

ω=det(g) dx1dxn

이 된다.



Example: Expression of Divergence in Spherical Coordinates


3.1-(2) Gradient of Function에서 확인한 것과 같이, spherical coordinates의 Riemannian metric g

g=(1000r2000r2sin2θ)

이므로

det(g)=r4sin2θ

그리고 Riemannian volume form

ω=r2sinθ drdθdφ

를 얻을 수 있다.



Vector field A(r,θ,φ)

A(r,θ,φ)=Ar(r,θ,φ) r+Aθ(r,θ,φ) θ+Aφ(r,θ,φ) φ

에 대한 divergence는

div(A)=2rAr+Arr+cosθsinθAθ+Aθθ+Aφφ

A(r,θ,φ)를 tangent space의 basis vector 대신 unit vector들로 표현하면,

Ar=ArAθ=rAθAφ=rsinθAφ

이므로

div(A)=2rAr+Arr+cosθrsinθAθ+1rAθθ+1rsinθAφφ

정리하면, spherical coordinate에서 A(r,θ,φ)의 divergence의 표현을 다음과 같이 얻는다.

div(A)=1r2r(r2Ar)+1rsinθθ(Aθsinθ)+1rsinθφ(Aφ)