[다양체,텐서] 3.1-(3) Divergence of Vector Field

Manifold에서 divergence는 volume form(2.6 Volume Forms 참고)과 Lie derivative(2.4-(3) Lie Derivatives of Tensor Fields 참고)을 이용해 정의된다.

Divergences of Vector Fields

DEFINITION            Divergence of Vector Field (Manifold)

$M$을 oriented manifold, n-form $\omega$를 $M$의 volume form이라고 하자. Vector field $X$의 divergence를 다음을 만족하는 real-valued function $\mathrm{div}(X):M\to \mathbb{R}$ 으로 정의한다.

$$(\mathrm{div}(X))\omega =L_X\omega =d({ı}_X\omega )$$

Local coordinates $x$에서 volume form $\omega$가

$$\omega =ad{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n,a(p)\ne 0\mathrm{for}\mathrm{all}p\in M$$

vector field $X$가

$$X=\sum _{i=1}^n{X}^i\frac{\partial }{\partial x^i}$$

로 표현된다면,

$$L_X\omega =\sum _{i=1}^n(X^i\frac{\partial a}{\partial x^i}+a\frac{\partial X^i}{\partial x^i})d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n$$

이므로

$$\mathrm{div}(X)=\sum _{i=1}^n\frac{1}{a}\frac{\partial }{\partial x^i}(a{X}^i)$$

로 표현된다.

Riemannian Volume Form

$M$에 Riemannian metric $g$가 정의된 경우, volume form $\omega$가 모든 point $p$에서, tangent space $T_{p}M$의 orthonormal basis $\{v_1,\cdots v_n\}$에 대해,

$$\omega (v_1,\cdots v_n)=\pm 1$$

이면 $\omega$를 Riemannian volume form이라고 부른다. 이 식을 이용하면, Riemannian volume form의 local coordinates 표현은 Riemannian metric을 사용해서,

$$\omega =\sqrt{det(g)}d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n$$

이 된다.

Example: Expression of Divergence in Spherical Coordinates

3.1-(2) Gradient of Function에서 확인한 것과 같이, spherical coordinates의 Riemannian metric $g$

$$g=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& r^2& 0\\ 0& 0& r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right)$$

이므로

$$det(g)=r^4{\sin }^2\theta$$

그리고 Riemannian volume form

$$\omega =r^2\sin \theta dr\wedge d\theta \wedge d\phi$$

를 얻을 수 있다.

Vector field $\mathbf{A}(r,\theta ,\phi )$

$$\mathbf{A}(r,\theta ,\phi )=A^r(r,\theta ,\phi )\frac{\partial }{\partial r}+A^{\theta }(r,\theta ,\phi )\frac{\partial }{\partial \theta }+A^{\phi }(r,\theta ,\phi )\frac{\partial }{\partial \phi }$$

에 대한 divergence는

$$\mathrm{div}(\mathbf{A})=\frac{2}{r}{A}^r+\frac{\partial A^r}{\partial r}+\frac{\cos \theta }{\sin \theta }{A}^{\theta }+\frac{\partial A^{\theta }}{\partial \theta }+\frac{\partial A^{\phi }}{\partial \phi }$$

$\mathbf{A}(r,\theta ,\phi )$를 tangent space의 basis vector 대신 unit vector들로 표현하면,

$$\begin{array}{rcl}{A}_r& =& A^r\\ \\ A_{\theta }& =& r{A}^{\theta }\\ \\ A_{\phi }& =& r\sin \theta A^{\phi }\end{array}$$

이므로

$$\mathrm{div}(\mathbf{A})=\frac{2}{r}{A}_r+\frac{\partial A_r}{\partial r}+\frac{\cos \theta }{r\sin \theta }{A}_{\theta }+\frac{1}{r}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }$$

정리하면, spherical coordinate에서 $\mathbf{A}(r,\theta ,\phi )$의 divergence의 표현을 다음과 같이 얻는다.

$$\mathrm{div}(\mathbf{A})=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2{A}_r)+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(A_{\theta }\sin \theta )+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \phi }(A_{\phi })$$