[다양체,텐서] 3.1-(3) Divergence of Vector Field

Manifold에서 divergence는 volume form(2.6 Volume Forms 참고)과 Lie derivative(2.4-(3) Lie Derivatives of Tensor Fields 참고)을 이용해 정의된다.

Divergences of Vector Fields

DEFINITION            Divergence of Vector Field (Manifold)

\(M\)을 oriented manifold, n-form \(\omega\)를 \(M\)의 volume form이라고 하자. Vector field \(X\)의 divergence를 다음을 만족하는 real-valued function \(\mathrm{div}(X):M\to\mathbb{R}\) 으로 정의한다.

$$ (\mathrm{div}(X))\omega = L_X \omega = d(\imath_X\omega) $$

Local coordinates \(x\)에서 volume form \(\omega\)가

$$ \omega = a ~dx^1\wedge \cdots \wedge dx^n \mathrm{~~~~,~~}a(p)\ne0 \mathrm{~~for~~all~~}p\in M $$

vector field \(X\)가

$$ X = \sum_{i=1} ^n X^i \frac{\partial}{\partial x^i} $$

로 표현된다면,

$$ L_X \omega = \sum_{i=1} ^n \left( X^i \frac{\partial a}{\partial x^i} + a \frac{\partial X^i}{\partial x^i} \right) dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n $$

이므로

$$ \mathrm{div}(X) = \sum_{i=1} ^n \frac{1}{a} \frac{\partial}{\partial x^i}(aX^i) $$

로 표현된다.

Riemannian Volume Form

\(M\)에 Riemannian metric \(g\)가 정의된 경우, volume form \(\omega\)가 모든 point \(p\)에서, tangent space \(T_pM\)의 orthonormal basis \(\{ v_1, \cdots v_n\}\)에 대해,

$$ \omega (v_1 , \cdots v_n) = \pm 1 $$

이면 \(\omega\)를 Riemannian volume form이라고 부른다. 이 식을 이용하면, Riemannian volume form의 local coordinates 표현은 Riemannian metric을 사용해서,

$$ \omega = \sqrt{\det{(g)}} ~dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n $$

이 된다.

Example: Expression of Divergence in Spherical Coordinates

3.1-(2) Gradient of Function에서 확인한 것과 같이, spherical coordinates의 Riemannian metric \(g\)

$$ g = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r ^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2{\theta} \end{array} \right) $$

이므로

$$ \det{(g)} = r^4 \sin^2{\theta} $$

그리고 Riemannian volume form

$$ \omega = r^2 \sin{\theta} ~dr \wedge d\theta \wedge d\varphi $$

를 얻을 수 있다.

Vector field \(\mathbf{A}(r,\theta,\varphi)\)

$$ \mathbf{A}(r,\theta,\varphi) = A^r(r,\theta,\varphi) ~\frac{\partial}{\partial r} + A^\theta(r,\theta,\varphi) ~\frac{\partial}{\partial \theta} + A^\varphi(r,\theta,\varphi) ~\frac{\partial}{\partial \varphi} $$

에 대한 divergence는

$$ \mathrm{div}(\mathbf{A}) = \frac{2}{r} A^r + \frac{\partial A^r}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} A^\theta + \frac{\partial A^\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial A^\varphi}{\partial \varphi} $$

\(\mathbf{A}(r,\theta,\varphi)\)를 tangent space의 basis vector 대신 unit vector들로 표현하면,

$$ \begin{eqnarray} A_r & = & A^r \\ \\ A_\theta & = & r A^\theta \\ \\ A_\varphi & = & r\sin{\theta} A^\varphi \end{eqnarray} $$

이므로

$$ \mathrm{div}(\mathbf{A}) = \frac{2}{r}A_r + \frac{\partial A_r}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r\sin\theta}A_\theta + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} $$

정리하면, spherical coordinate에서 \(\mathbf{A}(r,\theta,\varphi)\)의 divergence의 표현을 다음과 같이 얻는다.

$$ \mathrm{div}(\mathbf{A}) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}(r^2 A_r) + \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(A_\theta \sin\theta ) + \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \varphi} (A_\varphi) $$