[다양체,텐서] 3.2-(2) Coordinates Changes of Christoffel Symbols

수학에서는 tensor field를 vector field와 1-form에 대한 multilinear map으로 정의하는 반면에, 많은 상대성이론 텍스트북에서는 2.3 Tensor Fields에서 살펴본 계수의 coordinate transformation으로 tensor를 구별한다.

예를 들어 수학에서는, vector field와 1-form에 대한 함수 \(A: \mathfrak{X}(M) \times \Omega^1 (M) \to \mathbb{R}\) 가 임의의 실수 \(c\), vector field \(X\), \(Y\), 1-form \(\omega\), \(\mu\)에 대하여,

$$ \begin{eqnarray} A(cX+Y,\omega) & = & c\cdot A(X,\omega) + A(Y,\omega) \\ \\ A(X,c\omega+\mu) & = & c\cdot A(X,\omega)+A(X,\mu) \end{eqnarray} $$

를 만족하는 경우 \(A\)를 (1,1)-tensor field로 정의한다. 상대성이론 텍스트북에서는, index로 표현되는 \(n^2\)개의 real-valued function \(A^i _j : M \to \mathbb{R}\) 가 임의의 local coordinates

$$ \begin{eqnarray} x(p) & = & (x^1,x^2,\cdots,x^n) \\ \\ y(p) & = & (y^1,y^2,\cdots,y^n) \end{eqnarray} $$

에 대하여,

$$ (A^i _j \circ x^{-1}) = \sum _{k,l=1} ^n \left( \frac{\partial x^i}{\partial y^k} \right) \left( \frac{\partial y^l}{\partial x^j} \right) (A^k _l \circ y^{-1}) $$

을 만족하는 경우, 묶음 \(A^i _j\)을 (1,1)-tensor field로 정의한다. 2.3 Tensor Fields에서 살펴본 것과 같이 이 두 정의는 동등한 것이다.

상대성이론 텍스트북에서 사용하는 정의는 필연적으로 local coordinates가 필요하므로 index로 표현된 real-valued function 묶음이 정의되면 local coordinates로 tensor인지 확인해야 한다. 예를 들어, \(n^3\)개의 Christoffel symbol은 upper index가 1개, lower index가 2개 라는 점으로부터 Christoffel symbol은 (2,1)-tensor field라고 생각할 수 있겠으나 affine connection의 정의(3.2 Affine Connections, Covariant Derivatives 참고)로부터

$$ \nabla _X (fY+Z) \ne f \nabla _X Y + \nabla _X Z $$

즉, 2번째 vector field에 대하여 multilinear 하지 않으므로, (2,1)-tensor field가 아니다는 것을 바로 알수 있다. 

따라서, index를 사용한 real-valued function들이 반드시 tensor field가 되는 것이 아니다. 이들을 tensor field라고 말하기 위해서는 function들이 multilinear map으로 정의된 tensor field의 basis 전개 계수가 되거나, 아니면 상대성이론에서 사용하는 정의를 만족해야 한다. (다시한번 언급하면 이 둘은 같은 말이다.) 이하에서는 상대성이론에서 사용하는 정의를 이용해 Christoffel symbold은 (2,1)-tensor field가 아니라는 것을 확인해보자.

Tangent space의 basis \(\frac{\partial}{\partial x^i}\)가

$$ \frac{\partial}{\partial x^i} = \sum _{j=1} ^n \left( \frac{\partial y^j}{\partial x^i} \right) \frac{\partial }{\partial y^j}  $$

로 전개되므로

$$ \begin{eqnarray} \nabla _{\frac{\partial}{\partial x^i}} \frac{\partial}{\partial x^j} & = & \sum _{k=1}^n (\Gamma ^k _{ij}\circ x^{-1}) \frac{\partial}{\partial x^k} \\ \\ \nabla _{\frac{\partial}{\partial y^s}} \frac{\partial}{\partial y^t} & = & \sum _{u=1}^n (\Gamma ^u _{st}\circ y^{-1}) \frac{\partial}{\partial y^u} \end{eqnarray} $$

로부터

$$ \begin{eqnarray} \sum _{k=1} ^n (\Gamma ^k _{ij}\circ x^{-1}) \frac{\partial}{\partial x^k} = \nabla _{\frac{\partial}{\partial x^i}} \frac{\partial}{\partial x^j} & = & \nabla _{\frac{\partial}{\partial x^i}} \left(\sum _{t=1} ^n \left( \frac{\partial y^t}{\partial x^j} \right) \frac{\partial }{\partial y^t}\right) \\ \\ & = & \sum_{t=1} ^n \left(\frac{\partial ^2 y^t}{\partial x^i \partial x^j}\right) \frac{\partial}{\partial y^t} + \sum_{t=1}^n \left(\frac{\partial y^t}{\partial x^j}\right) \nabla _{\sum _{s=1} ^n \left( \frac{\partial y^s}{\partial x^i} \right) \frac{\partial }{\partial y^s}} \frac{\partial}{\partial y^t} \\ \\ & = & \sum_{t=1} ^n \left(\frac{\partial ^2 y^t}{\partial x^i \partial x^j}\right) \frac{\partial}{\partial y^t} + \sum_{t=1}^n \sum_{s=1}^n \left(\frac{\partial y^t}{\partial x^j}\right) \left( \frac{\partial y^s}{\partial x^i} \right) \nabla _{\frac{\partial }{\partial y^s}} \frac{\partial}{\partial y^t} \\ \\ & = & \sum_{t=1} ^n \left(\frac{\partial ^2 y^t}{\partial x^i \partial x^j}\right) \frac{\partial}{\partial y^t} + \sum_{t=1}^n \sum_{s=1}^n \sum_{u=1}^n \left(\frac{\partial y^t}{\partial x^j}\right) \left( \frac{\partial y^s}{\partial x^i} \right) (\Gamma ^u _{st}\circ y^{-1}) \frac{\partial}{\partial y^u} \\ \\ & = & \sum _{u=1}^n \left\{ \left(\frac{\partial ^2 y^t}{\partial x^i \partial x^j}\right) + \sum_{t=1}^n \sum_{s=1}^n \left(\frac{\partial y^t}{\partial x^j}\right) \left( \frac{\partial y^s}{\partial x^i} \right) (\Gamma ^u _{st}\circ y^{-1}) \right\} \frac{\partial}{\partial y^u} \end{eqnarray} $$

따라서

$$ (\Gamma ^k _{ij}\circ x^{-1}) = \sum _{u=1}^n \left\{ \left(\frac{\partial x^k}{\partial y^u}\right) \left(\frac{\partial ^2 y^u}{\partial x^i \partial x^j}\right) + \sum_{t=1}^n \sum_{s=1}^n \left(\frac{\partial x^k}{\partial y^u}\right) \left(\frac{\partial y^t}{\partial x^j}\right) \left( \frac{\partial y^s}{\partial x^i} \right) (\Gamma ^u _{st}\circ y^{-1}) \right\} $$

가 된다. 즉, 상대성이론에서 사용하는 tensor field의 정의를 이용해도 Christoffel symbol은 tensor field가 아니다는 결론을 얻을 수 있다.