[다양체,텐서] 3.4 Levi-Civita Connection

Affine connection은 Riemannian metric과는 독립적으로 정의되는 개념이기 때문에, parallel transport와 geodesic도 Riemannian metric과는 독립적인 개념이다. 그러므로 3차원 Euclidean space라고 하더라도 affine connection을 정의하는 것에 따라 유클리드 기하학과는 다른 기하학을 얻을 수 있다. 예를 들어 상수 $\omega$와 Levi-Civita symbol

$${ϵ}_{ijk}=\{\begin{array}{cl}1& \mathrm{for}\mathrm{even}\mathrm{permutation}\mathrm{of}(1,2,3)\\ -1& \mathrm{for}\mathrm{odd}\mathrm{permutation}\mathrm{of}(1,2,3)\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}$$

을 이용하여 Cartesian coordinate $(x^1,x^2,x^3)$ 에 대한 affine connection을 다음과 같이 정의하자.

$${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i=\omega \cdot {ϵ}_{ijk}$$

이 affine connection에 대한 geodesic equation은 ${\mathrm{\Gamma }}_{ik}^i={\mathrm{\Gamma }}_{jj}^i=0$ 과 ${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i=-{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^i$ 를 이용하면,

$${\ddot{x}}^i=0$$

따라서 geodesic은

$$x^i=a^{i}t+b^i$$

즉, 직선이 된다. 논의를 쉽게 하기 위하여 직선을 z축을 택하자. 이제 원점에 정의된 tangent vector $V$를 직선을 따라서 parallel transport을 해보면,

$${\dot{V}}^i+\sum _{j=1}^3\omega {ϵ}_{i3k}{V}^k=0$$

vector로 표현하면,

$$\dot{V}=-\omega \hat{z}\times V$$

따라서 $V$는 z축을 따라서 parallel transport할 때, z축 중심을 각속도 $-\omega$ 로 회전하면서 이동한다. 유클리드 기하학에서 하나의 직선이 다른 직선을 따라 평행이동을 할 때는, 두 직선으로 만들어 지는 평면 위에서 벗어나지 않는다. 그러나 우리가 정의한 affine connection으로 얻어지는 기하학은 평행이동을 할 때, 두 직선으로 만들어 지는 평면을 벗어나면서 이동한다. 즉, affine connection에 따라서 기하학적 개념들이 달라질 수 있다. 

Fundamental Theorem of Riemannian Geometry

Riemannian manifold는 Euclidean space의 submanifold이므로 affine connection으로 유도된 기하학이 submanifold로서의 기하학과 동일하게 되는 affine connection을 Levi-Civita connection이라고 부른다.

DEFINITION            Levi-Civita Connection

Riemannian manifold $(M,g)$ 에 정의되는 affine connection $\mathrm{\nabla }$가

1. 임의의 vector field $X$에 대하여, ${\mathrm{\nabla }}_{X}g=0$

2. $\mathrm{\nabla }$가 torsion-free, 즉, 임의의 vector field $X$, $Y$에 대하여 ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X=[X,Y]$

을 만족하는 경우 $\mathrm{\nabla }$를 Riemannian manifold $(M,g)$의 Levi-Civita connection이라고 부른다.

첫번째 조건

$${\mathrm{\nabla }}_{X}g=0$$

은

$$({\mathrm{\nabla }}_{X}g)(Y,Z)=X(g(Y,Z))-g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)-g(Y,{\mathrm{\nabla }}_{X}Z)=0$$

또는 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 을 이용해

$$X(⟨Y,Z⟩)=⟨{\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z⟩+⟨Y,{\mathrm{\nabla }}_{X}Z⟩$$

로 표현되기도 한다. 이를 affine connection이 metric과 compatible하다고 부른다.

정의와는 별개로 임의의 Riemannian manifold에 대하여, Levi-Civita connection이 존재하는가는 다른 문제이다. 다음의 정리로부터 Levi-Civita connection의 존재와 유일성을 증명할 수 있다.

THEOREM            Koszul Formula

Riemannian manifold $(M,g)$ 에 정의되는 affine connection $\mathrm{\nabla }$가 metric과 compatible하고, torsion-free이면,

$$2⟨{\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z⟩=X(⟨Y,Z⟩)+Y(⟨X,Z⟩)-Z(⟨X,Y⟩)-⟨[X,Z],Y⟩-⟨[Y,Z],X⟩+⟨[X,Y],Z⟩$$

가 성립한다.

THEOREM            Fundamental Theorem of Riemannian Geometry

Riemannian manifold $(M,g)$ 에 대하여, Levi-Civita connection $\mathrm{\nabla }$가 유일하게 존재한다.

Local Expression of Levi-Civita connection

Koszul formula를 이용하면, local coordinate $x=(x^1,x^2,\cdots ,x^n)$에서 Levi-Civita connection의 Christoffel symbol은 다음과 같이 주어짐을 보일 수 있다.

$${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^l=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n(\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j})g^{kl}$$

( $g_{ij}$ 는 Riemannian metric, $g^{ij}$ 는 $g_{ij}$ 의 inverse )