[다양체,텐서] 3.2-(1) Torsion Tensors

나사가 돌아가면서 전진하는 것과 같은 현상을 표현하기 위한 개념이 curve의 torsion이다. 이러한 torsion의 개념은 affine connection에 의하여 일반화 된다.

DEFINITION            Torsion Operator

 

Smooth manifold $M$에 정의된 affine connection을 $\mathrm{\nabla }$라고 하자. map $T:\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(M)$

$$T(X,Y)={\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X-[X,Y]$$

를 torsion operator라고 부른다.

만약 affine connection이 torsion-free, 즉,

$$T=0$$

또는

$${\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X=[X,Y]$$

를 만족하는 경우 $\mathrm{\nabla }$를 torsion-free 또는 symmetric하다고 부른다.

Affine connection와 Lie barcket의 정의로부터, $T$는 bilinear operation이므로 결국 (2,1)-tensor가 된다. Local coordinates $x=(x^1,x^2,\cdots ,x^n)$에서 torsion tensor $T$는 Christoffel symbol을 이용해

$$T=\sum _{i,j,k=1}^n({\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i-{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^i)d{x}^j\otimes d{x}^k\otimes \frac{\partial }{\partial x^i}$$

로 표현된다.