[다양체,텐서] 3.2-(1) Torsion Tensors

나사가 돌아가면서 전진하는 것과 같은 현상을 표현하기 위한 개념이 curve의 torsion이다. 이러한 torsion의 개념은 affine connection에 의하여 일반화 된다.

DEFINITION            Torsion Operator

 

Smooth manifold \(M\)에 정의된 affine connection을 \(\nabla\)라고 하자. map \(T:\mathfrak{X}(M) \times \mathfrak{X}(M) \to \mathfrak{X}(M)\)

$$ T(X,Y) = \nabla _XY - \nabla _YX - [X,Y] $$

를 torsion operator라고 부른다.

만약 affine connection이 torsion-free, 즉,

$$ T = 0 $$

또는

$$ \nabla _XY - \nabla _YX = [X,Y] $$

를 만족하는 경우 \(\nabla\)를 torsion-free 또는 symmetric하다고 부른다.

Affine connection와 Lie barcket의 정의로부터, \(T\)는 bilinear operation이므로 결국 (2,1)-tensor가 된다. Local coordinates \(x=(x^1,x^2,\cdots,x^n)\)에서 torsion tensor \(T\)는 Christoffel symbol을 이용해

$$ T = \sum_{i,j,k=1}^n \left( \Gamma ^i _{jk} - \Gamma ^i _{kj} \right) ~dx^j \otimes dx^k \otimes \frac{\partial}{\partial x^i} $$

로 표현된다.