[다양체,텐서] 3.5 Exponential Maps, Normal Coordinates

Riemannian manifold $(M,g)$에 affine connection $\mathrm{\nabla }$가 정의되면 exponential map이라는 특별한 함수를 정의할 수 있다.

Exponential Maps

$p$ 를 $M$ 위의 point라고 하고, $v$ 를 $p$ 에서의 tangent vector라고 하자. 그러면,

$$\begin{array}{rcl}{\gamma }_v(0)& =& p\\ \\ {\dot{\gamma }}_v(0)& =& v\end{array}$$

를 만족하는 geodesic ${\gamma }_v:I\subset \mathbb{R}\to M$ 이 유일하게 존재한다. 이를 이용해, exponential map을 다음과 같이 정의한다.

DEFINITION            Exponential Map

Riemannian manifold $(M,g)$ 에 대하여 affine connection이 정의되면, $M$ 위의 점 $p$ 에 대하여 exponential map ${\exp }_p:T_{p}M\to M$ 을 다음과 같이 정의한다.

$${\exp }_p(v)={\gamma }_v(1)$$

( ${\gamma }_v$ 는 ${\gamma }_v(0)=p$ , ${\dot{\gamma }}_v(0)=v$ 를 만족하는 geodesic )

만약, 어떤 tangent vector $w$ 로 정의되는 geodesic ${\gamma }_w$ 의 parameter interval $I$ 가 1을 포함하지 못하는 경우에는 $w$ 의 exponential map은 잘 정의되지 못한다.

${\gamma }_v$를 reparametrization하여,

$$\eta (t)={\gamma }_v(ct)$$

로 정의하면,

$$\dot{\eta }(t)=c{\dot{\gamma }}_v(ct)$$

이므로 

$${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\eta }(t)}\dot{\eta }(t)={\mathrm{\nabla }}_{c{\dot{\gamma }}_v(ct)}(c{\dot{\gamma }}_v(ct))=0$$

즉, geodesic이고

$$\begin{array}{rcl}\eta (0)& =& p\\ \\ \dot{\eta }(0)& =& c{\dot{\gamma }}_v(0)=cv\end{array}$$

따라서

$$\eta (t)={\gamma }_{cv}(t)={\gamma }_v(ct)$$

임을 알 수 있다.

만약 ${\gamma }_v$의 maximal interval이 $(-a,b)$ 로 유한하다면, ${\gamma }_{cv}$의 maximal interval이 $(-\frac{a}{c},\frac{b}{c})$ 로 더 작은 interval이 된다. 따라서 tangent vector의 크기가 너무 크게 되면 maximal interval에 1이 포함되지 않게 되어 exponential map이 더 작은 vector와 겹치게 된다.

그러므로 exponential map은 $T_{p}M$ 의 원점을 기준으로 원점을 포함하는 open set(즉, zero tangent vector의 neighborhood)에서만 정의된다.

THEOREM            Normal Neighborhood

Exponential map ${\exp }_p:U\to V\subset M$ 이 diffeomorphism이 되는 zero tangent vector의 neighborhood $U\subset T_{p}M$ 가 존재한다. 이때 exponential의 image $V={\exp }_p(U)$ 를 $p$ 의 normal neighborhood라고 부른다.

만약 $M$ 의 모든점에서 각각의 tangent vector 전부에 대하여 exponential map을 정의할 수 있는 경우 affine connection을 complete하다고 부른다.

Example: Exponential Maps on Unit Sphere

반지름 1인 구표면을 3.1-(2) Gradient of Function의 예제에서 살펴본 것과 같은 parametrization으로 표현하자.

$$\mathrm{\Psi }(\theta ,\phi )=(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta )$$

이제 구표면 위의 점 $p=(1,0,0)$ 에 대하여, 정의역 $(-\pi ,\pi )$ 에 curve

$$\eta (t)=(\cos t,\sin t,0)$$

를 정의하자. 이 curve는 자오선, 즉 geodesic이고,

$$\begin{array}{rcl}\eta (0)& =& (1,0,0)\\ \\ \dot{\eta }(0)& =& (0,1,0)=\frac{\partial }{\partial \phi }\end{array}$$

이므로 위의 논의에 따라서 $\eta ={\gamma }_{\frac{\partial }{\partial \phi }}$ 임을 알 수 있다. 따라서,

$${\exp }_p\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)=(\cos 1,\sin 1,0)$$

이제 tangent vector의 길이를 늘려서 curve를 정의하면,

$${\gamma }_{c\frac{\partial }{\partial \phi }}(t)={\gamma }_{\frac{\partial }{\partial \phi }}(ct)=(\cos (ct),\sin (ct),0)$$

이므로 $|c|<\pi$에서 exponential map은 겹치지 않는다. 그러나 $|c|\ge \pi$ 인 경우 exponential map의 image가 겹치게 된다. 예를 들어,

$${\exp }_p\left(2\pi \frac{\partial }{\partial \phi }\right)=(1,0,0)={\exp }_p(0)$$

구표면은 회전에 대하여 대칭이므로, 임의의 tangent vector의 방향에 대하여, 길이가 $\pi$보다 작은 경우 exponential map이 잘 정의된다. 종합하면,

$$U=\{a\frac{\partial }{\partial \theta }+b\frac{\partial }{\partial \phi }|a^2+b^2={\pi }^2\}\subset T_p{S}^2$$

로 정의하면, exponential map

$${\exp }_p:U\to S^2\mathrm{\setminus }(-1,0,0)$$

은 diffeomorphism이 된다. 이 때, exponential map의 image

$$S^2\mathrm{\setminus }(-1,0,0)$$

가 $p$의 normal neighborhood가 된다. 아래 그림은, 북극에서 정의되는 exponential map을 tangent space에서 표현한 그림이다. (tangent space의 각 점이 exponential map에 의해 그림에서 표현된 지표면의 위치에 대응된다.) 위에서 본 것과 같이, exponential map이 diffeomorphism이 되는 zero vector의 nieghborhood는 원이 됨을 확인 할 수 있다.

By RokerHRO [GFDL or CC BY-SA 3.0 ], from Wikimedia Commons

Normal Coordinates

Levi-Civita connection이 정의된 Riemannian manifold $(M,g)$ 위의 점 $p$에 대하여, $p$의 normal neighborhood에 특별한 형태의 coordinates를 정의할 수 있다. 만약, tangent space $T_{p}M$ 의 basis를 $\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\}$ 라고 하면, normal neighborhood에 parameterization

$$\psi (x^1,x^2,\cdots ,x^n)={\exp }_p(x^1{v}_1+x^2{v}_2+\cdots +x^n{v}_n)$$

으로 정의되는 local coordinates $(x^1,x^2,\cdots ,x^n)$ 을 Riemannian normal coordinates라고 부른다.

 

Normal coordinates는 다음과 같은 특징을 가진다.

• $p$ 의 tangent vector $v$ 가 normal coordinates에서 $$v=\sum _{i=1}^n{v}^i{\left(\frac{\partial }{\partial x^i}\right)}_p$$로 표현되는 경우, ${\gamma }_v$는 $${\gamma }_v(t)=(t{v}^1,t{v}^2,\cdots ,t{v}^n)$$으로 표현된다.
  
  
• $p$ 의 coordinates는 $(0,0,\cdots ,0)$ 이다.
  
  
• Christoffel symbol ${\gamma }_{jk}^i=0$ 이다.
  
  
• 만약, $\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\}$ 이 orthonormal이면, normal neighborhood의 점 $q$ 에 대한 tangent space $T_{q}M$ 의 basis $$\{{\left(\frac{\partial }{\partial x^1}\right)}_q,{\left(\frac{\partial }{\partial x^2}\right)}_q,\cdots ,{\left(\frac{\partial }{\partial x^n}\right)}_q\}$$도 orthonormal, 즉 $g_{ij}={\delta }_{ij}$ 가 된다.