[양자역학] 4.3 사다리 연산자 Ladder Operators

Angular momentum operator들의 commutation relation

$$\begin{array}{rl}[L_x,L_y]& =i\hslash L_z\\ [L_y,L_z]& =i\hslash L_x\\ [L_z,L_x]& =i\hslash L_y\\ [L^2,L_x]=[L^2,L_y]& =[L^2,L_z]=0\end{array}$$

이므로 세 성분을 모두 동시에 측정할 수 없고, $L^2$와 한 성분만 동시에 측정할 수 있다. 보통

$$L_z=-i\hslash \frac{\partial }{\partial \varphi }$$

로 하나의 변수에 대한 미분연산이 되므로 $L^2$와 $L_z$를 동시에 측정할 수 있는 operator로 선택한다. $L^2$와 $L_z$의 eigenvalue equation은 미분방정식을 푸는 방법과 ladder operator를 이용하는 방법이 있는데, 이번 페이지에서는 ladder operator를 이용하는 방법을 살펴본다.

 

#Ladder Operators

$L^2$의 eigenvalue를 $\alpha$, $L_z$의 eigenvalue를 $\beta$로 가지는 eigenvector를 $|\alpha ,\beta ⟩$이라고 하고

$$\begin{array}{rl}{L}^2|\alpha ,\beta ⟩& =\alpha |\alpha ,\beta ⟩\\ \\ L_z|\alpha ,\beta ⟩& =\beta |\alpha ,\beta ⟩\end{array}$$

여기에 다음과 같은 operator를 정의하자.

$$\begin{array}{rl}{L}_{+}& =L_x+i{L}_y\\ \\ L_{-}& =L_x-i{L}_y\end{array}$$

그러면, commutation relation을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}[L_z,L_{\pm }]& =[L_z,L_x\pm i{L}_y]\\ & =[L_z,L_x]\pm i[L_z,L_y]\\ & =i\hslash L_y\pm \hslash L_x\\ & =\pm \hslash L_{\pm }\\ \\ [L^2,L_{\pm }]& =[L^2,L_x\pm i{L}_y]\\ & =[L^2,L_x]\pm i[L^2,L_y]\\ & =0\end{array}$$

이 operator들이 eigenvector에 작용하면 어떻게 되는지 알아보기 위하여 다음을 계산하자.

$$\begin{array}{rl}{L}_z(L_{\pm }|\alpha ,\beta ⟩)& =[L_z,L_{\pm }]|\alpha ,\beta ⟩+L_{\pm }{L}_z|\alpha ,\beta ⟩\\ & =\pm \hslash L_{\pm }|\alpha ,\beta ⟩+\beta L_{\pm }|\alpha ,\beta ⟩\\ & =(\beta \pm \hslash )L_{\pm }|\alpha ,\beta ⟩\\ \\ L^2(L_{\pm }|\alpha ,\beta ⟩)& =L_{\pm }{L}^2|\alpha ,\beta ⟩\\ & =\alpha L_{\pm }|\alpha ,\beta ⟩\end{array}$$ 

즉, $L_{+}$는 $L^2$의 eigenvalue는 그대로 둔채 $L_z$의 eigenvalue가 $\hslash$만큼 커진 eigenvector로 만드는 operator이고 $L_{-}$는 $L^2$는 그대로 둔채 $L_z$를 $\hslash$만큼 작아진 eigenvector로 만드는 operator라고 할 수 있다. 이러한 관점에서 $L_{+}$를 raising operator, $L_{-}$를 lowering operator, 합쳐서 ladder operator라고 부른다.

$$\cdots \rightleftarrows |\alpha ,\beta -2\hslash ⟩\stackrel{L_{+}}{\underset{L_{-}}{\rightleftarrows }}|\alpha ,\beta -\hslash ⟩\stackrel{L_{+}}{\underset{L_{-}}{\rightleftarrows }}|\alpha ,\beta ⟩\stackrel{L_{+}}{\underset{L_{-}}{\rightleftarrows }}|\alpha ,\beta +\hslash ⟩\stackrel{L_{+}}{\underset{L_{-}}{\rightleftarrows }}|\alpha ,\beta +2\hslash ⟩\rightleftarrows \cdots$$

계수까지 고려해 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{array}{rl}{L}_{+}|\alpha ,\beta ⟩& =c_{+}(\alpha ,\beta )|\alpha ,\beta +\hslash ⟩\\ \\ L_{-}|\alpha ,\beta ⟩& =c_{-}(\alpha ,\beta )|\alpha ,\beta -\hslash ⟩\end{array}$$

 

#Eigenvalues of Angular Momentum Operators

고전적으로 $L^2$가 $\alpha$인데, $z$축 성분인 $L_z$가 무한히 커진다는 것은 물리적으로 불가능하다. $L_z$의 eigenvalue에는 최대값과 최소값이 존재한다는 것을 예측할 수 있다. 또는

$$⟨\alpha ,\beta |L^2-L_z^2|\alpha ,\beta ⟩=⟨\alpha ,\beta |L_x^2+L_y^2|\alpha ,\beta ⟩\ge 0$$

이고 $⟨\alpha ,\beta |L^2-L_z^2|\alpha ,\beta ⟩=\alpha -{\beta }^2$이므로

$$\alpha \ge {\beta }^2$$

즉, 고정된 $\alpha$에 대하여 $\beta$의 최대값 ${\beta }_{\text{max}}$와 최소값${\beta }_{\text{min}}$이 존재한다는 것을 확인할 수 있다. 따라서 ${\beta }_{\text{max}}$에서 더 올리려고 하면 (${\beta }_{\text{min}}$에서는 더 내리려고 하면) zero-vector가 되어야 한다.

$$\begin{array}{rl}{L}_{+}|\alpha ,{\beta }_{\text{max}}⟩& =0\\ \\ L_{-}|\alpha ,{\beta }_{\text{min}}⟩& =0\end{array}$$

이 때,

$$\begin{array}{rl}{L}_{-}{L}_{+}& =(L_x-i{L}_y)(L_x+i{L}_y)\\ & =L_x^2+L_y^2-i[L_y,L_x]\\ & =L^2-L_z^2-\hslash L_z\\ \\ L_{+}{L}_{-}& =(L_x+i{L}_y)(L_x-i{L}_y)\\ & =L_x^2+L_y^2+i[L_y,L_x]\\ & =L^2-L_z^2+\hslash L_z\end{array}$$

이므로 위 식에 각각 $L_{-}$, $L_{+}$를 작용하면,

$$\begin{array}{rl}{L}_{-}{L}_{+}|\alpha ,{\beta }_{\text{max}}⟩& =(L^2-L_z^2-\hslash L_z)|\alpha ,{\beta }_{\text{max}}⟩=0\\ \\ L_{+}{L}_{-}|\alpha ,{\beta }_{\text{min}}⟩& =(L^2-L_z^2+\hslash L_z)|\alpha ,{\beta }_{\text{min}}⟩=0\end{array}$$

따라서,

$$\alpha ={\beta }_{\text{max}}({\beta }_{\text{max}}+\hslash )={\beta }_{\text{min}}({\beta }_{\text{min}}-\hslash )$$

이 식을 풀면,

$${\beta }_{\text{max}}=-{\beta }_{\text{min}}$$

그리고 ${\beta }_{\text{min}}$에서 ${\beta }_{\text{max}}$까지 $L_{+}$를 $n$ 단계가 걸린다면,

$${\beta }_{\text{max}}-{\beta }_{\text{min}}=\hslash n$$

즉,

$${\beta }_{\text{max}}=\frac{\hslash n}{2},n=0,1,2,\cdots$$

그리고 

$$\alpha ={\hslash }^2\frac{n}{2}(\frac{n}{2}+1),n=0,1,2,\cdots$$

보통은 $n$ 대신 $l=n/2$로 정의하여

$$\alpha ={\hslash }^{2}l(l+1),l=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},\cdots$$

그리고 주어진 $l$에 대하여 $m=-l,-l+\hslash ,-l+2\hslash ,\cdots ,l-2\hslash ,l-\hslash ,l$로 정의하여

$$\beta =\hslash m$$

이 된다.

 

 

THEOREM            Eigenvalues of Angular Momentum Operators

$$L^2|l,m⟩={\hslash }^{2}l(l+1)|l,m⟩,l=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},\cdots$$

주어진 $l$에 대하여,

$$L_z|l,m⟩=\hslash m|l,m⟩,m=-l,-l+1,\cdots ,l-1,l$$

 

수소원자에서 $l$은 azimuthal quantum number, $m$은 magnetic quantum number, 전자 spin의 $m$은 spin quantum number로 부른다.

 

Complete $L_{+}$ and $L_{-}$

Eigenvector들의 계수들을 적당히 조정하여 orthonormal하다고 하자. $L_{+}|l,m⟩=c_{+}(l,m)|l,m+1⟩$에서 $c_{+}$를 구하기 위하여

$$⟨l,m|L_{-}{L}_{+}|l,m⟩=|c_{+}(l,m){|}^2⟨l,m+1|l,m+1⟩=|c_{+}(l,m){|}^2$$

그리고,  

$$L_{-}{L}_{+}=L^2-L_z^2-\hslash L_z$$

를 이용하면,

$$|c_{+}(l,m){|}^2={\hslash }^2(l-m)(l+m+1)$$

보통은 양의 실수를 택해

$$c_{+}(l,m)=\hslash \sqrt{(l-m)(l+m+1)}$$

를 얻는다. 같은 방식으로 $c_{-}(l,m)$도 구할 수 있다. 종합하면,

$$\begin{array}{rl}{L}_{+}|l,m⟩& =\hslash \sqrt{(l-m)(l+m+1)}|l,m+1⟩\\ \\ L_{-}|l,m⟩& =\hslash \sqrt{(l+m)(l-m+1)}|l,m-1⟩\end{array}$$