[양자역학] 5.1 입자가 2개인 시스템 2-Particle System

이번 페이지에서 서로 상호작용이 없는 2개의 입자를 통해, 입자 1개의 이론에서 입자 여러개의 이론을 발전시켜 본다.

#Schrödinger Equation of 2-Particle System in 1-D Box

질량이 \(m_1\)인 입자를 1번 입자 , \(m_2\)인 입자를 2번 입자라고 하고, 1번 입자의 position을 \(x_1\), momentum을 \(p_1\), 2번 입자의 position과 momentum을 각각 \(x_2\), \(p_2\)라고 하자. 이 시스템의 파동함수는 1번 입자와 2번 입자를 모두 표현할 수 있어야 하므로 \(x_1\)과 \(x_2\)의 함수가 된다고 할 수 있다.

\[ \text{(wave function)} \longrightarrow \Psi(x_1,x_2) \]

다음으로, operator에 대해서 살펴보자. 고전역학에서 position, momentum들은 다음과 같은 Poisson bracket 관계를 가진다.

\[ \{x_1,x_2\} = \{x_1,p_2\} = \{p_1,x_2\} = \{p_1,p_2\} = 0 \]

\[ \{x_1,p_1\} = \{x_2,p_2\} = 1 \]

이 관계를 양자역학으로 변환하면, \(\{\cdot,\cdot\} \to \frac{1}{i\hbar}[\cdot,\cdot]\) 변환으로부터 first quantization

\[ [X_1,X_2] = [X_1,P_2] = [P_1,X_2] = [P_1,P_2] = 0 \]

\[ [X_1,P_1] = [X_2,P_2] = i\hbar \]

이 관계를 만족하는 operator \(X_1\), \(X_2\), \(P_1\), \(P_2\) 를 다음과 같이 정의한다.

\[ X_i \Psi(x_1,x_2) = x_i \Psi(x_1,x_2) ~~~~~~\text{where }i=1,2\]

\[ P_i \Psi(x_1,x_2) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x_i} \Psi(x_1,x_2) ~~~~~~\text{where }i=1,2 \]

이를 이용하여 상자 속 입자 2개의 Hamiltonian operator를 다음과 같이 얻을 수 있다.

\[ H = \frac{P_1 ^2}{2m_1} + \frac{P_2 ^2}{2m_2} = -\frac{\hbar^2}{2m_1}\frac{\partial^2}{\partial x_1 ^2} -\frac{\hbar^2}{2m_2}\frac{\partial^2}{\partial x_2 ^2} \]

따라서 Schrödinger equation은

\[ \left[-\frac{\hbar^2}{2m_1}\frac{\partial^2}{\partial x_1 ^2} -\frac{\hbar^2}{2m_2}\frac{\partial^2}{\partial x_2 ^2} \right] \phi(x_1, x_2) = E \phi(x_1,x_2) \]

#Solution of 2-Particle System in 1-D Box

위 미분방정식을 풀기 위하여 변수분리법을 이용하자. \(\phi(x_1,x_2) = f(x_1)g(x_2)\) 라고 가정하고 양변을 \(f(x_1)g(x_2)\) 로 나누면

\[ -\frac{\hbar^2}{2m_1} \frac{1}{f(x_1)} \frac{\partial^2}{\partial x_1 ^2} f(x_1) -\frac{\hbar^2}{2m_2} \frac{1}{g(x_2)} \frac{\partial^2}{\partial x_2 ^2} g(x_2) = E \]

이 식이 임의의 \(x_1\), \(x_2\) 에서 모두 만족하기 위해서는 각 항들이 상수함수이어야 하므로

\[ \begin{align*} -\frac{\hbar^2}{2m_1} \frac{1}{f(x_1)} \frac{\partial^2}{\partial x_1 ^2} f(x_1) &= E_1 \\ -\frac{\hbar^2}{2m_2} \frac{1}{g(x_2)} \frac{\partial^2}{\partial x_2 ^2} g(x_2) &= E_2 \end{align*} \]

\[ E_1 + E_2 = E \]

각 식의 해를 구하면^[각주:1], \(f(x_1) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\frac{n_1\pi x_1}{L}}\) , \(g(x_2) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\frac{n_2\pi x_2}{L}}\) , 따라서

\[ \phi(x_1,x_2) = \frac{2}{L}\sin{\frac{n_1\pi x_1}{L}}\sin{\frac{n_2\pi x_2}{L}} ~~~~~~\text{where } n_1,~n_2~=~1,2,3,\cdots \]

2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ②에서 논의한 것과 마찬가지로 2-particle system에서도 Schrödinger equation의 solution은 basis vector가 된다. 즉, 일반적인 파동함수 \(\Psi(x_1,x_2)\) 는 \(\phi(x_1,x_2)\) 들의 linear combination으로 표현된다.

\[ \Psi(x_1,x_2) = \sum _{n_1,n_2=1} ^\infty C_{n_1,n_2} \phi(x_1,x_2) \]

#Vector Notation of 2-Particle System: Tensor Product

각 입자의 solution은 bra-ket 표기법을 사용하여 vector로 나타낼 수 있었다.^[각주:2]

\[ \begin{gather*} \sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\frac{n_1\pi x_1}{L}} & \to & |n_1\rangle \\ \sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\frac{n_2\pi x_2}{L}} & \to & |n_2\rangle \end{gather*} \]

이러한 1개 입자의 bra-ket 표기법을 이용하여, 위에서 구한 \(\phi(x_1,x_2)\)의 구조를 유지할 수 있는 2개 입자의 bra-ket 표기법을 만들 수 있다. 1번 입자의 파동함수와 2번 입자의 파동함수의 곱을 bra-ket 표기법으로 다음과 같이 표현하자.

\[ \begin{gather*} f (x_1) g (x_2) & \to & | f \rangle \otimes | g \rangle \end{gather*} \]

첫번째 vector는 1번 입자, 두번째 vector는 2번 입자의 파동함수를 나타낸다. 이를 vector \(| f \rangle\) 와 \(| g \rangle\) 의 tensor product라고 부른다. 

만약, 1번 입자의 파동함수가 여러 함수의 linear combination으로 쓰인 경우 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[ \begin{gather*} (c \cdot f_1(x_1) + f_2(x_1)) g (x_2) & = & c\cdot (f_1(x_1)g (x_2)) + f_2(x_1)g(x_2) \\ \\ \downarrow & & \downarrow \\ \\ (c \cdot | f_1 \rangle + | f_2 \rangle) \otimes | g \rangle & = & c \cdot (| f_1 \rangle \otimes | g \rangle) + | f_2 \rangle \otimes | g \rangle \end{gather*} \]

2번 입자의 파동함수가 여러 함수의 linear combination도 같은 방식으로 표현할 수 있다.

\[ \begin{gather*} f(x_1)(c\cdot g_1(x_1) + g_2 (x_2)) & = & c \cdot (f(x_1)g_1 (x_2)) + f(x_1)g_2(x_2) \\ \\ \downarrow & & \downarrow \\ \\ | f \rangle \otimes ( c \cdot | g_1 \rangle + | g_2 \rangle ) & = & c \cdot (| f \rangle \otimes | g_1 \rangle) + | f \rangle \otimes | g_2 \rangle \end{gather*} \]

즉, tensor product는 일반 수나 함수들의 곱처럼 덧셈과 분배법칙이 가능한 연산이라고 할 수 있다. 다만, 곱셈의 순서를 바꾸는 것은 안된다. \(| f \rangle \otimes | g \rangle\) 와 \(| g \rangle \otimes | f \rangle\) 는 분명히 다른 상태이다. \(| f \rangle \otimes | g \rangle\) 는 1번 입자의 파동함수가 \(f\), 2번 입자의 파동함수가 \(g\) 이지만, \(| g \rangle \otimes | f \rangle\) 는 1번 입자의 파동함수가 \(g\), 2번 입자의 파동함수가 \(f\) 이다.

#Basis of Tensor Product

1번 입자의 basis를 \(|\phi_1\rangle\), \(|\phi_2\rangle\), \(|\phi_3\rangle\), ... 이라고 하고, 2번 입자의 basis를 \(|\psi_1\rangle\), \(|\psi_2\rangle\), \(|\psi_3\rangle\), ... 이라고 하자. 그러면, 2-particle system의 basis는 1번 입자의 basis vector와 2번 입자의 basis vector를 임의로 1개씩 선택하여 tensor product한 vector가 된다. 즉, 다음이 2-particle system의 basis가 된다.

\[ \begin{gather*} |\phi_1\rangle \otimes |\psi_1\rangle & , & |\phi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle & , & |\phi_1\rangle \otimes |\psi_3\rangle & , & \cdots \\ |\phi_2\rangle \otimes |\psi_1\rangle & , & |\phi_2\rangle \otimes |\psi_2\rangle & , & |\phi_2\rangle \otimes |\psi_3\rangle & , & \cdots \\ |\phi_3\rangle \otimes |\psi_1\rangle & , & |\phi_3\rangle \otimes |\psi_2\rangle & , & |\phi_3\rangle \otimes |\psi_3\rangle & , & \cdots \\ \vdots &  & \vdots &  & \vdots \end{gather*} \]

따라서 임의의 2-particle system 파동함수 \(\Psi(x_1,x_2)\) 는 위 basis vector들의 linear combination으로 표현된다.

\[ \Psi(x_1,x_2) = \sum_{i,j} c_{i,j} ~|\phi_i\rangle \otimes |\psi_j\rangle \]

#Operators on Tensor Product

2-particle system 파동함수의 vector 표현을 살펴봤으니, 이제 operator를 살펴보자. operator \(A\) 가 1번 입자에 작용하고, operator \(B\) 가 2번 입자에 작용하는 operator를 \(A \otimes B\) 로 표현한다. 즉,

\[ (A\otimes B) (|f\rangle \otimes |g\rangle) = (A|f\rangle)\otimes (B|g\rangle) \]

이 방식으로 1번 입자의 위치를 표현하는 연산자 \(X_1\) 을 표현하면, \(X_1\) 은 1번 입자 함수에만 \(x_1\) 을 곱하는 효과이므로, \(X_1 \otimes I\) 이어야 한다.^[각주:3]

\[ (X_1 \otimes I) (|f\rangle \otimes |g\rangle) = (X_1 |f\rangle) \otimes (I|g\rangle) = (x_1 |f\rangle) \otimes |g\rangle \]

2번 입자의 운동량을 표현하는 연산자 \(P_2\) 를 정확히 표현하면 \(I \otimes P_2\) 이어야 한다.

\[ (I \otimes P_2) (|f\rangle \otimes |g\rangle) = (I |f\rangle) \otimes (P_2|g\rangle) = |f\rangle \otimes \left(-i\hbar \frac{d}{dx_2}|g\rangle \right) \]

#Inner Product of Tensors

양자역학에서 측정은 inner product로 표현된다. 2-particle system에서 1번 입자의 상태가 \(|f\rangle\) , 2번 입자의 상태가 \(|g\rangle\) 인 wavefunction \(|f\rangle \otimes |g\rangle\) 와 1번 입자의 상태가 \(|h\rangle\) , 2번 입자의 상태가 \(|l\rangle\) 인 wavefunction \(|h\rangle \otimes |l\rangle\) 의 inner product는 다음과 같이 계산한다.

\[ (\langle f | \otimes \langle g |) ~ (|h\rangle \otimes |l\rangle) = \langle f|h \rangle \times \langle g|l \rangle \]

1. 각 미분방정식과 경계조건은 particle in a box과 같다. 해를 구하는 방법에 대해서는 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ① 참고. [본문으로]
2. 자세한 내용은 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ② 참고. [본문으로]
3. \\(I\\) 는 identity operator. [본문으로]