[양자역학] 5.1 입자가 2개인 시스템 2-Particle System

이번 페이지에서 서로 상호작용이 없는 2개의 입자를 통해, 입자 1개의 이론에서 입자 여러개의 이론을 발전시켜 본다.

#Schrödinger Equation of 2-Particle System in 1-D Box

질량이 $m_1$인 입자를 1번 입자 , $m_2$인 입자를 2번 입자라고 하고, 1번 입자의 position을 $x_1$, momentum을 $p_1$, 2번 입자의 position과 momentum을 각각 $x_2$, $p_2$라고 하자. 이 시스템의 파동함수는 1번 입자와 2번 입자를 모두 표현할 수 있어야 하므로 $x_1$과 $x_2$의 함수가 된다고 할 수 있다.

$$\text{(wave function)}⟶\mathrm{\Psi }(x_1,x_2)$$

다음으로, operator에 대해서 살펴보자. 고전역학에서 position, momentum들은 다음과 같은 Poisson bracket 관계를 가진다.

$$\{x_1,x_2\}=\{x_1,p_2\}=\{p_1,x_2\}=\{p_1,p_2\}=0$$

$$\{x_1,p_1\}=\{x_2,p_2\}=1$$

이 관계를 양자역학으로 변환하면, $\{\cdot ,\cdot \}\to \frac{1}{i\hslash }[\cdot ,\cdot ]$ 변환으로부터 first quantization

$$[X_1,X_2]=[X_1,P_2]=[P_1,X_2]=[P_1,P_2]=0$$

$$[X_1,P_1]=[X_2,P_2]=i\hslash$$

이 관계를 만족하는 operator $X_1$, $X_2$, $P_1$, $P_2$ 를 다음과 같이 정의한다.

$$X_i\mathrm{\Psi }(x_1,x_2)=x_i\mathrm{\Psi }(x_1,x_2)\text{where }i=1,2$$

$$P_i\mathrm{\Psi }(x_1,x_2)=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x_i}\mathrm{\Psi }(x_1,x_2)\text{where }i=1,2$$

이를 이용하여 상자 속 입자 2개의 Hamiltonian operator를 다음과 같이 얻을 수 있다.

$$H=\frac{P_1^2}{2m_1}+\frac{P_2^2}{2m_2}=-\frac{{\hslash }^2}{2m_1}\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}-\frac{{\hslash }^2}{2m_2}\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}$$

따라서 Schrödinger equation은

$$[-\frac{{\hslash }^2}{2m_1}\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}-\frac{{\hslash }^2}{2m_2}\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}]\varphi (x_1,x_2)=E\varphi (x_1,x_2)$$

#Solution of 2-Particle System in 1-D Box

위 미분방정식을 풀기 위하여 변수분리법을 이용하자. $\varphi (x_1,x_2)=f(x_1)g(x_2)$ 라고 가정하고 양변을 $f(x_1)g(x_2)$ 로 나누면

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m_1}\frac{1}{f(x_1)}\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}f(x_1)-\frac{{\hslash }^2}{2m_2}\frac{1}{g(x_2)}\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}g(x_2)=E$$

이 식이 임의의 $x_1$, $x_2$ 에서 모두 만족하기 위해서는 각 항들이 상수함수이어야 하므로

$$\begin{array}{rl}-\frac{{\hslash }^2}{2m_1}\frac{1}{f(x_1)}\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}f(x_1)& =E_1\\ -\frac{{\hslash }^2}{2m_2}\frac{1}{g(x_2)}\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}g(x_2)& =E_2\end{array}$$

$$E_1+E_2=E$$

각 식의 해를 구하면^[각주:1], $f(x_1)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n_1\pi x_1}{L}$ , $g(x_2)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n_2\pi x_2}{L}$ , 따라서

$$\varphi (x_1,x_2)=\frac{2}{L}\sin \frac{n_1\pi x_1}{L}\sin \frac{n_2\pi x_2}{L}\text{where }{n}_1,n_2=1,2,3,\cdots$$

2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ②에서 논의한 것과 마찬가지로 2-particle system에서도 Schrödinger equation의 solution은 basis vector가 된다. 즉, 일반적인 파동함수 $\mathrm{\Psi }(x_1,x_2)$ 는 $\varphi (x_1,x_2)$ 들의 linear combination으로 표현된다.

$$\mathrm{\Psi }(x_1,x_2)=\sum _{n_1,n_2=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{n_1,n_2}\varphi (x_1,x_2)$$

#Vector Notation of 2-Particle System: Tensor Product

각 입자의 solution은 bra-ket 표기법을 사용하여 vector로 나타낼 수 있었다.^[각주:2]

$$\begin{array}{ccc}\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n_1\pi x_1}{L}& \to & |n_1⟩\\ \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n_2\pi x_2}{L}& \to & |n_2⟩\end{array}$$

이러한 1개 입자의 bra-ket 표기법을 이용하여, 위에서 구한 $\varphi (x_1,x_2)$의 구조를 유지할 수 있는 2개 입자의 bra-ket 표기법을 만들 수 있다. 1번 입자의 파동함수와 2번 입자의 파동함수의 곱을 bra-ket 표기법으로 다음과 같이 표현하자.

$$\begin{array}{ccc}f(x_1)g(x_2)& \to & |f⟩\otimes |g⟩\end{array}$$

첫번째 vector는 1번 입자, 두번째 vector는 2번 입자의 파동함수를 나타낸다. 이를 vector $|f⟩$ 와 $|g⟩$ 의 tensor product라고 부른다. 

만약, 1번 입자의 파동함수가 여러 함수의 linear combination으로 쓰인 경우 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\begin{array}{ccc}(c\cdot f_1(x_1)+f_2(x_1))g(x_2)& =& c\cdot (f_1(x_1)g(x_2))+f_2(x_1)g(x_2)\\ \\ \downarrow & & \downarrow \\ \\ (c\cdot |f_1⟩+|f_2⟩)\otimes |g⟩& =& c\cdot (|f_1⟩\otimes |g⟩)+|f_2⟩\otimes |g⟩\end{array}$$

2번 입자의 파동함수가 여러 함수의 linear combination도 같은 방식으로 표현할 수 있다.

$$\begin{array}{ccc}f(x_1)(c\cdot g_1(x_1)+g_2(x_2))& =& c\cdot (f(x_1)g_1(x_2))+f(x_1)g_2(x_2)\\ \\ \downarrow & & \downarrow \\ \\ |f⟩\otimes (c\cdot |g_1⟩+|g_2⟩)& =& c\cdot (|f⟩\otimes |g_1⟩)+|f⟩\otimes |g_2⟩\end{array}$$

즉, tensor product는 일반 수나 함수들의 곱처럼 덧셈과 분배법칙이 가능한 연산이라고 할 수 있다. 다만, 곱셈의 순서를 바꾸는 것은 안된다. $|f⟩\otimes |g⟩$ 와 $|g⟩\otimes |f⟩$ 는 분명히 다른 상태이다. $|f⟩\otimes |g⟩$ 는 1번 입자의 파동함수가 $f$, 2번 입자의 파동함수가 $g$ 이지만, $|g⟩\otimes |f⟩$ 는 1번 입자의 파동함수가 $g$, 2번 입자의 파동함수가 $f$ 이다.

#Basis of Tensor Product

1번 입자의 basis를 $|{\varphi }_1⟩$, $|{\varphi }_2⟩$, $|{\varphi }_3⟩$, ... 이라고 하고, 2번 입자의 basis를 $|{\psi }_1⟩$, $|{\psi }_2⟩$, $|{\psi }_3⟩$, ... 이라고 하자. 그러면, 2-particle system의 basis는 1번 입자의 basis vector와 2번 입자의 basis vector를 임의로 1개씩 선택하여 tensor product한 vector가 된다. 즉, 다음이 2-particle system의 basis가 된다.

$$\begin{array}{ccccccc}|{\varphi }_1⟩\otimes |{\psi }_1⟩& ,& |{\varphi }_1⟩\otimes |{\psi }_2⟩& ,& |{\varphi }_1⟩\otimes |{\psi }_3⟩& ,& \cdots \\ |{\varphi }_2⟩\otimes |{\psi }_1⟩& ,& |{\varphi }_2⟩\otimes |{\psi }_2⟩& ,& |{\varphi }_2⟩\otimes |{\psi }_3⟩& ,& \cdots \\ |{\varphi }_3⟩\otimes |{\psi }_1⟩& ,& |{\varphi }_3⟩\otimes |{\psi }_2⟩& ,& |{\varphi }_3⟩\otimes |{\psi }_3⟩& ,& \cdots \\ ⋮& & ⋮& & ⋮\end{array}$$

따라서 임의의 2-particle system 파동함수 $\mathrm{\Psi }(x_1,x_2)$ 는 위 basis vector들의 linear combination으로 표현된다.

$$\mathrm{\Psi }(x_1,x_2)=\sum _{i,j}{c}_{i,j}|{\varphi }_i⟩\otimes |{\psi }_j⟩$$

#Operators on Tensor Product

2-particle system 파동함수의 vector 표현을 살펴봤으니, 이제 operator를 살펴보자. operator $A$ 가 1번 입자에 작용하고, operator $B$ 가 2번 입자에 작용하는 operator를 $A\otimes B$ 로 표현한다. 즉,

$$(A\otimes B)(|f⟩\otimes |g⟩)=(A|f⟩)\otimes (B|g⟩)$$

이 방식으로 1번 입자의 위치를 표현하는 연산자 $X_1$ 을 표현하면, $X_1$ 은 1번 입자 함수에만 $x_1$ 을 곱하는 효과이므로, $X_1\otimes I$ 이어야 한다.^[각주:3]

$$(X_1\otimes I)(|f⟩\otimes |g⟩)=(X_1|f⟩)\otimes (I|g⟩)=(x_1|f⟩)\otimes |g⟩$$

2번 입자의 운동량을 표현하는 연산자 $P_2$ 를 정확히 표현하면 $I\otimes P_2$ 이어야 한다.

$$(I\otimes P_2)(|f⟩\otimes |g⟩)=(I|f⟩)\otimes (P_2|g⟩)=|f⟩\otimes (-i\hslash \frac{d}{d{x}_2}|g⟩)$$

#Inner Product of Tensors

양자역학에서 측정은 inner product로 표현된다. 2-particle system에서 1번 입자의 상태가 $|f⟩$ , 2번 입자의 상태가 $|g⟩$ 인 wavefunction $|f⟩\otimes |g⟩$ 와 1번 입자의 상태가 $|h⟩$ , 2번 입자의 상태가 $|l⟩$ 인 wavefunction $|h⟩\otimes |l⟩$ 의 inner product는 다음과 같이 계산한다.

$$(⟨f|\otimes ⟨g|)(|h⟩\otimes |l⟩)=⟨f|h⟩\times ⟨g|l⟩$$

1. 각 미분방정식과 경계조건은 particle in a box과 같다. 해를 구하는 방법에 대해서는 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ① 참고. [본문으로]
2. 자세한 내용은 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ② 참고. [본문으로]
3. \(I\) 는 identity operator. [본문으로]