[양자역학] 5.2 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ③

3.6 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ①과 4.5 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ②에서 살펴본 방법을 이용해 2-입자 시스템의 행렬 표현을 살펴본다. 특히, 1-입자 시스템의 행렬 표현으로부터 2-입자 시스템의 행렬 표현을 얻는 방법에 대하여 살펴본다.

#1-입자 시스템의 행렬 표현 정리

1-입자 시스템의 Hamiltonian \(H\) 에 대하여, eigenvector \(|\phi_n\rangle\) 은 파동함수의 basis 벡터가 된다. 따라서 임의의 파동함수 \(f\) 가 

\[ |f\rangle = \sum_{i} c_i ~|\phi_i\rangle \]

로 전개되는 경우 다음과 같은 \(f\) 는 다음과 같은 행렬로 표현된다.

\[ [f] = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ \vdots \end{bmatrix} \]

그리고 임의의 linear operator \(A\) 는 m 번째 행, n 번째 열 행렬값

\[ A_{mn} = \langle \phi_m | A | \phi_n \rangle \]

을 이용하여 다음과 같은 행렬로 표현된다.

\[ [A] = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} & \cdots \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} & \cdots \\ A_{31} & A_{32} & \cdots & \ddots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \]

#2-입자 시스템의 Ordered Basis

2-입자 시스템의 Hamiltonian \(H\) 가 입자 1의 Hamiltonian \(H_1\) , 입자 2의 Hamiltonian \(H_2\) 의 합

\[ H= H_1 + H_2 \]

으로 표현되고, \(H_1\) 의 eigenvector를 \(|\phi_n\rangle\) , \(H_2\) 의 eigenvector를 \(|\psi_m\rangle\) 이라고 하자.

\[ \begin{gather*} H_1 ~|\phi_n\rangle &=& E_{1,n} ~|\phi_n\rangle \\ \\ H_2 ~|\psi_m\rangle &=& E_{2,m} ~|\psi_m\rangle \end{gather*} \]

지난 페이지에서 \(H\) 의 eigenvector는 

\[ \begin{gather*} |\phi_1\rangle \otimes |\psi_1\rangle & , & |\phi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle & , & |\phi_1\rangle \otimes |\psi_3\rangle & , & \cdots \\ |\phi_2\rangle \otimes |\psi_1\rangle & , & |\phi_2\rangle \otimes |\psi_2\rangle & , & |\phi_2\rangle \otimes |\psi_3\rangle & , & \cdots \\ |\phi_3\rangle \otimes |\psi_1\rangle & , & |\phi_3\rangle \otimes |\psi_2\rangle & , & |\phi_3\rangle \otimes |\psi_3\rangle & , & \cdots \\ \vdots &  & \vdots &  & \vdots \end{gather*} \]

이 된다는 것을 확인하였다. 따라서 2-입자 시스템에서는 이 vector들을 이용하여 행렬로 표현해야 한다. 다만, 행렬로 표현하기 위해서는 basis vector들의 순서가 고정되어 있어야 하므로, 순서를 다음과 같이 정하도록 하자.

\[ {\small \begin{gather*} |\phi_1\rangle \otimes |\psi_1\rangle & , & |\phi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle & , & |\phi_1\rangle \otimes |\psi_3\rangle & , & \cdots & , & |\phi_2\rangle \otimes |\psi_1\rangle & , & |\phi_2\rangle \otimes |\psi_2\rangle & , &  \cdots & , & |\phi_3\rangle \otimes |\psi_1\rangle & , & \cdots \end{gather*}} \]

#Kronecker Product of Matrices

이제 2-입자 시스템의 파동함수 \(f\) 가

\[ |f\rangle = \sum_{i,j} c_{ij} ~|\phi_i\rangle \otimes |\psi_j\rangle = c_{11} ~|\phi_1\rangle \otimes |\psi_1\rangle + c_{12} ~|\phi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle + \cdots + c_{21} ~|\phi_2\rangle \otimes |\psi_1\rangle + \cdots \]

으로 전개되면 지금까지의 논의와 마찬가지로

\[ [f] = \begin{bmatrix} c_{11} \\ c_{12} \\ c_{13} \\ \vdots \\ c_{21} \\ c_{22} \\ \vdots \\ c_{31} \\ \vdots \end{bmatrix} \]

로 표현된다.

만약 2-입자 시스템의 파동함수 \(f\) 가 입자 1의 파동함수 \(f_1\) 과 파동함수 \(f_2\) 의 파동함수의 tensor product

\[ |f\rangle = |f_1 \rangle \otimes |f_2 \rangle \]

로 표현이 되고, \(f_1\) 의 행렬 표현이

\[ |f_1 \rangle = \sum_i a_i ~|\phi_i \rangle ~~~~~~ \longrightarrow [f_1] = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \cdots \end{bmatrix} \]

이고 \(f_2\) 의 행렬 표현이

\[ |f_2 \rangle = \sum_j b_j ~|\psi_j \rangle ~~~~~~ \longrightarrow [f_2] = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \cdots \end{bmatrix} \]

일 때, \(f\) 의 행렬 표현을 \(f_1\) 과 \(f_2\) 의 행렬을 이용하여 어떻게 표현되는지 알아보자. 먼저 tensor product가 첫번째 vector에 대하여 linear 하다는 점을 이용하면,

\[ |f\rangle = |f_1\rangle \otimes |f_2 \rangle = \left( \sum_i a_i ~|\phi_i \rangle \right) \otimes |f_2 \rangle = \sum_{i} a_i ~ |\phi_i \rangle \otimes |f_2 \rangle \]

그리고 두번째 vector에 대해서도 linear 하다는 점을 이용하여,

\[ |f\rangle = \sum_{i} a_i ~ |\phi_i \rangle \otimes |f_2 \rangle = \sum_i a_i ~ |\phi_i \rangle \otimes \left(\sum_j b_j ~|\psi_j \rangle \right) = \sum_{i,j} a_ib_j ~ |\phi_i \rangle \otimes |\psi_j \rangle \]

따라서 \(f\) 를 행렬로 표현하면

\[ [f] = \begin{bmatrix} a_1b_1 \\ a_1 b_2 \\ a_1 b_3 \\ \vdots \\ a_2b_1 \\ a_2b_2 \\ \vdots \\ a_3b_1 \\ \vdots \end{bmatrix} \]

임을 알 수 있다. 이 행렬을 다음과 같이 생각해보자

\[ [f] = \begin{bmatrix} a_1 \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots \end{bmatrix} \\ \hline a_2 \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots \end{bmatrix} \\ \hline a_3 \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots \end{bmatrix} \\ \hline \\ \vdots \end{bmatrix} \]

이는 마치 \([f_1]\) 행렬의 각 성분에 \([f_2]\) 행렬을 끼워 넣은 것과 같은 형태이다. 이러한 행렬의 연산법을 행렬의 Kronecker product(또는 tensor product)라고 한다.

DEFINITION            Kronecker Product of Matrices

행렬 \(A\) 와 \(B\) 가 다음과 같다고 하자.^[각주:1]

\[ \begin{gather*} A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} & , &  B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & \cdots \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & \cdots \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \end{gather*} \]

그러면 다음과 같이 정의되는 새로운 행렬 \(A \otimes B\) 를 행렬 \(A\) 와 \(B\) 의 Kronecker product라고 한다.

\[ \begin{align*} A \otimes B &= \left[\begin{array}{c|c|c|c} a_{11} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots \\ b_{21} & b_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} & a_{12} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots \\ b_{21} & b_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} & a_{13} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots \\ b_{21} & b_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} & \cdots \\ \hline a_{21} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots \\ b_{21} & b_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} & a_{22} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots \\ b_{21} & b_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} & a_{23} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots \\ b_{21} & b_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} & \cdots \\ \hline a_{31} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots \\ b_{21} & b_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} & a_{32} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots \\ b_{21} & b_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} & a_{33} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots \\ b_{21} & b_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} & \cdots \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}\right] \\ \\ &= \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & \cdots & a_{12}b_{11} & a_{12}b_{12} & \cdots \\ a_{11}b_{21} & a_{11}b_{22} & \cdots & a_{12}b_{21} & a_{12}b_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots \\ a_{21}b_{11} & a_{21}b_{12} & \cdots & a_{22}b_{11} & a_{22}b_{12} & \cdots \\ a_{21}b_{21} & a_{21}b_{22} & \cdots & a_{22}b_{21} & a_{22}b_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \end{align*} \]

따라서 \([f]\) 는 \([f_1]\) 과 \([f_2]\) 의 Kronecker product가 된다는 것을 알 수 있다.

이러한 표현 방법은 연산자에서도 그대로 적용된다. 만약 2-입자 시스템의 연산자 \(C\) 가 입자 1의 연산자 \(A\) 와 입자 2의 연산자 \(B\) 의 tensor product

\[C = A \otimes B\]

이면, 행렬 표현 역시

\[ [C] = [A] \otimes [B] \]

가 된다.

주의할 것은 Kronecker product가 위처럼 정의되는 것은 ordered basis를 우리가 정의한 순서대로 정렬했을 때만 성립한다. 만약 순서를 바꿔버리면 Kronecker product처럼 연산되지 않는다.

Example

1-입자인 경우에도 독립적인 quantum number가 여러개가 도입이 되는 경우에는, 다입자 시스템처럼 취급하여 생각할 수 있다. 만약 전자의 orbit angular momentum과 spin만을 고려한다고 하고 \(l=1\) 로 고정하자. 이 경우

\[ (\text{orbit angular momentum}) \otimes (\text{spin}) \]

으로 모든 경우를 표현할 수 있다. orbit angular momentum의 eigenvector는 \(|1,1\rangle\) , \(|1,0\rangle\) , \(|1,-1\rangle\) 이고 spin은 \(|\uparrow\rangle\) , \(|\downarrow\rangle\) 이므로, ordered basis vector는

\[ \begin{multline*} |1,1\rangle \otimes |\uparrow\rangle ~~,~~ |1,1\rangle \otimes |\downarrow\rangle ~~,~~ |1,0\rangle \otimes |\uparrow\rangle ~~,~~ |1,0\rangle \otimes |\downarrow\rangle ~~,~~ |1,-1\rangle \otimes |\uparrow\rangle ~~,~~ |1,-1\rangle \otimes |\downarrow\rangle \end{multline*} \]

가 된다.

연산자 \(L_x\) 의 행렬 표현은

\[ [L_x] = \begin{bmatrix} 0 & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{\hbar}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} & 0 \end{bmatrix} \]

이므로

\[ \begin{align*} [L_x \otimes I] &= \begin{bmatrix} 0 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} & 0 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} & 0 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ 0 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} & 0 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \\ \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ \frac{\hbar}{\sqrt{2}} & 0 & 0 & 0 & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} & 0 & 0 & 0 & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \\  0 & 0 & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align*} \]

나중에 보게될 연산자 \(J_+ = L_+ \otimes I + I \otimes S_+\) 의 행렬 표현을 계산해보자.

\[ [L_+] = \begin{bmatrix} 0 & \hbar\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \hbar\sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

로부터

\[ \begin{align*} [L_+ \otimes I] &= \begin{bmatrix} 0 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} & \hbar\sqrt{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} & 0 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ 0 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} & 0 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} & \hbar\sqrt{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ 0 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} & 0 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} & 0 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \\ \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & \hbar\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \hbar\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \hbar\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \hbar\sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align*} \]

그리고

\[ [S_+] = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \]

로부터

\[ \begin{align*} [I \otimes S_+] &= \begin{bmatrix} 1 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} & 0 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} & 0 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ 0 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} & 1 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} & 0 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ 0 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} & 0 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} & 1 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \\ \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align*} \]

따라서

\[ [J_+] = [L_+ \otimes I] + [I \otimes S_+] = \begin{bmatrix} 0 & 1 & \hbar\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \hbar\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \hbar\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \hbar\sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

를 구할 수 있다.

1. 행렬의 크기가 달라도 상관없다. [본문으로]