[양자역학] 5.5 각운동량 덧셈 Addition of Angular Momentums

4.6 수소 원자 The Hydrogen Atom에서 전자의 에너지 준위를 구하기 위하여, Coulomb potential만 고려하였다. 그러나 실제 수소원자의 Hamiltonian은 더 복잡하다. 예를 들어, 전자의 orbit angular momentum에 의해 상대적으로 형성되는 자기장과 전자의 spin 사이의 상호작용이 있다. 이 상호작용의 Hamiltonian은 핵심되는 부분은 다음과 같다.^[각주:1]

$H = L \cdot S = L_{x} S_{x} + L_{y} S_{y} + L_{z} S_{z}$

그러나 x, y, z축 angular momentum에 동시에 eigenvector가 되도록 만들 수 없으므로, 수소 원자의 eigenvector $| n, l, m, s ⟩$ 은 $H$ 의 eigenvector가 될 수 없다. 다만,

$J = L + S$

로 정의하면, (일반적인 연산자 곱셈의 경우 순서 주의!)

$J^{2} = L^{2} + S^{2} + 2 L \cdot S$

이므로 $H$ 는 다음과 같이 정리된다.

$H = \frac{1}{2} (J^{2} - L^{2} - S^{2})$

따라서 spin $S$ 와 orbit angular momentum $L$ 의 합인 $J$ 에 대하여 다시 정리하는 과정이 필요하다. 이번 페이지에서는 더 일반적으로 첫번째 angular momentum $J_{1}$ 과 두번째 angular momentum $J_{2}$ 의 합 $J$ 에 대하여 살펴본다.

#Structure of Vector Space

첫번째 angular momentum을 표현하기 위해서, angular momentum 제곱 연산자 $J_{1}^{2}$ 와 z축 angular moemtnum 연산자 $J_{1 z}$ 의 eigenvector $| j_{1}, m_{1} ⟩$ 이라고 하자.

$J_{1}^{2} | j_{1}, m_{1} ⟩ = ℏ^{2} j_{1} (j_{1} + 1) | j_{1}, m_{1} ⟩$

$J_{1 z} | j_{1}, m_{1} ⟩ = ℏ m_{1} | j_{1}, m_{1} ⟩$

마찬가지로 두번째 angular momentum도 표현할 수 있다.

$J_{2}^{2} | j_{2}, m_{2} ⟩ = ℏ^{2} j_{2} (j_{2} + 1) | j_{2}, m_{2} ⟩$

$J_{2 z} | j_{2}, m_{2} ⟩ = ℏ m_{2} | j_{2}, m_{2} ⟩$

각 angular momentum space의 기저는

$| j_{1}, m_{1} ⟩ where m_{1} = - j_{1}, - j_{1} + 1, \dots, j_{1} - 1, j_{1}$

$| j_{2}, m_{2} ⟩ where m_{2} = - j_{2}, - j_{2} + 1, \dots, j_{2} - 1, j_{2}$

이므로 전체 space의 기저는

$| j_{1}, m_{1} ⟩ \otimes | j_{2}, m_{2} ⟩ where {\begin{cases} m_{1} = - j_{1}, - j_{1} + 1, \dots, j_{1} - 1, j_{1} \\ m_{2} = - j_{2}, - j_{2} + 1, \dots, j_{2} - 1, j_{2} \end{cases}$

가 된다. 보통 줄여서 $| j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2} ⟩$ 로 쓴다.^[각주:2]

#Total Angular Momentum Operator

Total angular momentum $J$ 를

$J = J_{1} + J_{2}$

로 정의하면, $J$ 의 x축, y축, z축 성분은 다음과 같이 된다.

$J_{x} = J_{1 x} + J_{2 x}, J_{y} = J_{1 y} + J_{2 y}, J_{z} = J_{1 z} + J_{2 z}$

이다. 이 때, $J_{1 x}$ 는 첫번째 angular momentum의 x축 성분을 의미하기 때문에, operator로 변환하면 $J_{1 x} \otimes I$ 가 된다. 따라서 total angular momentum operator는 다음과 같이 정의된다.

$J_{x} = J_{1 x} \otimes I + I \otimes J_{2 x}$

$J_{y} = J_{1 y} \otimes I + I \otimes J_{2 y}$

$J_{z} = J_{1 z} \otimes I + I \otimes J_{2 z}$

$J^{2} = J_{x}^{2} + J_{y}^{2} + J_{z}^{2}$

위 식을 이용해 $J_{x}$ 와 $J_{y}$ 의 commutator를 구해보자.^[각주:3] ^[각주:4]

$\begin{aligned} [J_{x}, J_{y}] & = [J_{1 x} \otimes I + I \otimes J_{2 x}, J_{1 y} \otimes I + I \otimes J_{2 y}] \\ = [J_{1 x} \otimes I, J_{1 y} \otimes I] + [J_{1 x} \otimes I, I \otimes J_{2 y}] + [I \otimes J_{2 x}, J_{1 y} \otimes I] + [I \otimes J_{2 x}, I \otimes J_{2 y}] \\ = [J_{1 x} \otimes I, J_{1 y} \otimes I] + [I \otimes J_{2 x}, I \otimes J_{2 y}] \\ = i ℏ J_{1 z} \otimes I + i ℏ I \otimes J_{2 z} \\ = i ℏ J_{z} \end{aligned}$

같은 방식으로 다음의 식을 관계를 얻을 수 있다.

$[J_{x}, J_{y}] = i ℏ J_{z}$

$[J_{y}, J_{z}] = i ℏ J_{x}$

$[J_{z}, J_{x}] = i ℏ J_{y}$

$[J^{2}, J_{x}] = [J^{2}, J_{y}] = [J^{2}, J_{z}] = 0$

따라서 total angular momentum operator 역시 일반적인 angular momentum operator의 commutator 관계를 만족함을 알 수 있다.

#Clebsch-Gordan Coefficient

위 논의에 의하면, $J_{1}$ 과 $J_{2}$ 가 있는 시스템은 total angular momentum $J$ 를 정의하면, 연산자 $J^{2}$ 와 $J_{z}$ 의 eigenvector $| j, m ⟩$ 로 표현할 수 있다. 이 때, 전체 space의 기저는 $| j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2} ⟩$ 이므로 vector $| j, m ⟩$ 을 전개할 수 있다.

$| j, m ⟩ = \sum_{j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2}} C_{j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2}}^{j, m} | j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2} ⟩$

특히, $j_{1}$ , $j_{2}$ 가 고정되어 있을 때, 위 식의 계수 $C_{j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2}}^{j, m}$ 를 Clebsch-Gordan Coefficient라고 부른다.

DEFINITION Clebsch-Gordan Coefficient

Total angular momentum operator $J^{2}$ 와 z축 성분 $J_{z}$ 의 eigenvector를 $| j, m ⟩$ 이라고 하자.

$J^{2} | j, m ⟩ = ℏ^{2} j (j + 1) | j, m ⟩$

$J_{z} | j, m ⟩ = ℏ m | j, m ⟩$

또한 vector $| j, m ⟩$ 를 $| j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2} ⟩$ 로 다음과 같이 전개된다고 하자.

$| j, m ⟩ = \sum_{j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2}} C_{j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2}}^{j, m} | j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2} ⟩$

이 때, 계수 $C_{j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2}}^{j, m}$ 를 Clebsch-Gordan coefficient라고 부른다.

$| j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2} ⟩$ 의 orthonormal 성질을 이용하여, Clebsch-Gordan coefficient를 다음과 같이 표현할 수 있다.

$C_{j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2}}^{j, m} = ⟨ j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2} | j, m ⟩$

지금부터는 $j_{1}$ 과 $j_{2}$ 가 고정되어 있다고 하자. 따라서 가능한 $m_{1}$ , $m_{2}$ 는 다음과 같다.

$m_{1} = - j_{1}, - j_{1} + 1, \dots, j_{1} - 1, j_{1}$

$m_{2} = - j_{2}, - j_{2} + 1, \dots, j_{2} - 1, j_{2}$

이제 식 $(???)$ , $(???)$ 그리고 $(???)$ 를 이용하여,

$\begin{aligned} J_{z} | j, m ⟩ & = (J_{1 x} \otimes I + I \otimes J_{2 x}) (\sum_{j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2}} C_{j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2}}^{j, m} | j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2} ⟩) \\ = \sum_{j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2}} ℏ (m_{1} + m_{2}) C_{j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2}}^{j, m} | j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2} ⟩ \end{aligned}$

이 값이 $ℏ m | j, m ⟩$ 이기 위해서는

$m = m_{1} + m_{2}$

이어야 한다. 이 조건을 만족하지 않는 Clebsch-Gordan coefficient는 모두 0이 된다. 따라서 가능한 모든 $m$ 의 값은 다음과 같다.

$m = - (j_{1} + j_{2}), - (j_{1} + j_{2}) + 1, \dots, j_{1} + j_{2} - 1, j_{1} + j_{2}$

이 때, $m = j_{1} + j_{2}$ 를 만들 수 있는 $m_{1}$ , $m_{2}$ 의 값은 각각 $j_{1}$ , $j_{2}$ 인 경우 밖에 없다. $m = j_{1} + j_{2} - 1$ 를 만들 수 있는 $m_{1}$ , $m_{2}$ 의 값은 $j_{1} - 1$ , $j_{2}$ 인 경우와 $j_{1}$ , $j_{2} - 1$ 인 경우 2가지 밖에 없다.

이제 가능한 $j$ 의 값을 살펴보자. $m$ 의 최대값은 $j_{1} + j_{2}$ 이므로 가능한 $j$ 의 최대값도 $j_{1} + j_{2}$ 가 된다. 그러나 $j = j_{1} + j_{2}$ 인 space의 dimension은 $2 j + 1$ 이므로 더 많은 $j$ 값이 가능하다. $m = j_{1} + j_{2} - 1$ 의 가능한 2가지 경우에서 하나는 $j = j_{1} + j_{2}$ 가 차지하므로 그 다음으로 고려할 수 있는 $j$ 값은 $j_{1} + j_{2} - 1$ 이 가능하다. 이런 식으로 계속하면

$j = j_{1} + j_{2}, j_{1} + j_{2}, \dots, | j_{1} - j_{2} |$

가 가능하다. 이 조건을 만족하지 않는 Clebsch-Gordan coefficient는 모두 0이 된다.

이 조건들을 종합하면 Clebsch-Gordan coefficient는 다음과 같은 특징이 있다.

THEOREM

① $C_{j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2}}^{j, m} \neq 0 only if | j_{1} - j_{2} | \leq j \leq j_{1} + j_{2}$

② $C_{j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2}}^{j, m} \neq 0 only if m = m_{1} + m_{2}$

③ $C_{j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2}}^{j, m}$ 는 실수 (conventional)

④ $C_{j_{1}, j_{1}, j_{2}, j - j_{1}}^{j, j}$ 는 양수 (conventional)

#The Values of Clebsch-Gordan Coefficients

주어진 $j_{1}$ , $j_{2}$ 에 대하여 $C_{j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2}}^{j, m}$ 을 구하는 방법을 살펴보자. 먼저 $j = j_{1} + j_{2}$ 부터 시작하자. 이 때 가능한 $m$ 은 $- (j_{1} + j_{2})$ , $- (j_{1} + j_{2}) + 1$ , ..., $j_{1} + j_{2} - 1$ , $j_{1} + j_{2}$ 이다. 일단 최대값인 $m = j_{1} + j_{2}$ 가 가능한 경우는 $m_{1} = j_{1}$ , $m_{2} = j_{2}$ 밖에 없다.

$| j = j_{1} + j_{2}, m = j_{1} + j_{2} ⟩ = | j_{1}, m_{1} = j_{1}, j_{2}, m_{2} = j_{2} ⟩$

이제 $| j = j_{1} + j_{2}, m = j_{1} + j_{2} - 1 ⟩$ 을 구하기 위해서 ladder operator

$J_{-} = J_{x} + i J_{y} = J_{1 -} \otimes I + I \otimes J_{2 -}$

를 작용하면

$\begin{aligned} ℏ \sqrt{2 j_{1} + 2 j_{2}} | j = j_{1} + j_{2}, m = j_{1} + j_{2} - 1 ⟩ & = J_{-} | j_{1}, m_{1} = j_{1}, j_{2}, m_{2} = j_{2} ⟩ \\ = (J_{1 -} \otimes I + I \otimes J_{2 -}) | j_{1}, m_{1} = j_{1}, j_{2}, m_{2} = j_{2} ⟩ \\ = ℏ \sqrt{2 j_{1}} | j_{1}, m_{1} = j_{1} - 1, j_{2}, m_{2} = j_{2} ⟩ + ℏ \sqrt{2 j_{2}} | j_{1}, m_{1} = j_{1}, j_{2}, m_{2} = j_{2} - 1 ⟩ \end{aligned}$

따라서

$| j = j_{1} + j_{2}, m = j_{1} + j_{2} - 1 ⟩ = \sqrt{\frac{j_{1}}{j_{1} + j_{2}}} | j_{1}, m_{1} = j_{1} - 1, j_{2}, m_{2} = j_{2} ⟩ + \sqrt{\frac{j_{2}}{j_{1} + j_{2}}} | j_{1}, m_{1} = j_{1}, j_{2}, m_{2} = j_{2} - 1 ⟩$

여기에 다시 $J_{-}$ 를 작용하면

$\begin{aligned} ℏ \sqrt{4 j_{1} + 4 j_{2} - 2} | j = j_{1} + j_{2}, m = j_{1} + j_{2} - 2 ⟩ & = J_{-} | j = j_{1} + j_{2}, m = j_{1} + j_{2} - 1 ⟩ \\ = (J_{1 -} \otimes I + I \otimes J_{2 -}) (\sqrt{\frac{j_{1}}{j_{1} + j_{2}}} | j_{1}, m_{1} = j_{1} - 1, j_{2}, m_{2} = j_{2} ⟩ \\ + \sqrt{\frac{j_{2}}{j_{1} + j_{2}}} | j_{1}, m_{1} = j_{1}, j_{2}, m_{2} = j_{2} - 1 ⟩) \\ = \sqrt{\frac{j_{1}}{j_{1} + j_{2}}} ℏ \sqrt{4 j_{1} - 2} | j_{1}, m_{1} = j_{1} - 2, j_{2}, m_{2} = j_{2} ⟩ \\ + \sqrt{\frac{j_{1}}{j_{1} + j_{2}}} ℏ \sqrt{2 j_{2}} | j_{1}, m_{1} = j_{1} - 1, j_{2}, m_{2} = j_{2} - 1 ⟩ \\ + \sqrt{\frac{j_{2}}{j_{1} + j_{2}}} ℏ \sqrt{2 j_{1}} | j_{1}, m_{1} = j_{1} - 1, j_{2}, m_{2} = j_{2} - 1 ⟩ \\ + \sqrt{\frac{j_{2}}{j_{1} + j_{2}}} ℏ \sqrt{4 j_{2} - 2} | j_{1}, m_{1} = j_{1}, j_{2}, m_{2} = j_{2} - 2 ⟩ \end{aligned}$

따라서

$\begin{matrix} | j = j_{1} + j_{2}, m = j_{1} + j_{2} - 2 ⟩ = \sqrt{\frac{j_{1}}{j_{1} + j_{2}}} \sqrt{\frac{2 j_{1} - 1}{2 j_{1} + 2 j_{2} - 1}} | j_{1}, m_{1} = j_{1} - 2, j_{2}, m_{2} = j_{2} ⟩ \\ + 2 \sqrt{\frac{j_{1}}{j_{1} + j_{2}}} \sqrt{\frac{j_{2}}{2 j_{1} + 2 j_{2} - 1}} | j_{1}, m_{1} = j_{1} - 1, j_{2}, m_{2} = j_{2} - 1 ⟩ \\ + \sqrt{\frac{j_{2}}{j_{1} + j_{2}}} \sqrt{\frac{2 j_{2} - 1}{2 j_{1} + 2 j_{2} - 1}} | j_{1}, m_{1} = j_{1}, j_{2}, m_{2} = j_{2} - 2 ⟩ \end{matrix}$

같은 방식으로 계속 $J_{-}$ 를 작용하여 $j = j_{1} + j_{2}$ 인 모든 경우를 구할 수 있다.

이제 $j = j_{1} + j_{2} - 1$ 인 경우를 살펴보자. $m$ 의 최대값인 $m = j_{1} + j_{2} - 1$ 은

$| j_{1}, m_{1} = j_{1} - 1, j_{2}, m_{2} = j_{2} ⟩, | j_{1}, m_{1} = j_{1}, j_{2}, m_{2} = j_{2} - 1 ⟩$

의 선형조합으로 만들 수 있다. 다만, 위에서 구한 $| j = j_{1} + j_{2}, m = j_{1} + j_{2} - 1 ⟩$ 과 orthonormal 관계에 있어야 하므로, (단, $α > 0$ )

$| j = j_{1} + j_{2} - 1, m = j_{1} + j_{2} - 1 ⟩ = α | j_{1}, m_{1} = j_{1} - 1, j_{2}, m_{2} = j_{2} ⟩ + β | j_{1}, m_{1} = j_{1}, j_{2}, m_{2} = j_{2} - 1 ⟩$

라고 하면,

$⟨ j = j_{1} + j_{2}, m = j_{1} + j_{2} - 1 | j = j_{1} + j_{2} - 1, m = j_{1} + j_{2} - 1 ⟩ = 0$

$⟨ j = j_{1} + j_{2} - 1, m = j_{1} + j_{2} - 1 | j = j_{1} + j_{2} - 1, m = j_{1} + j_{2} - 1 ⟩ = 1$

로부터

$\sqrt{\frac{j_{1}}{j_{1} + j_{2}}} α + \sqrt{\frac{j_{2}}{j_{1} + j_{2}}} β = 0$

$α^{2} + β^{2} = 1$

를 연립하면,

$α = \sqrt{\frac{j_{2}}{j_{1} + j_{2}}}$

$β = - \sqrt{\frac{j_{1}}{j_{1} + j_{2}}}$

를 얻는다. 따라서

$| j = j_{1} + j_{2} - 1, m = j_{1} + j_{2} - 1 ⟩ = \sqrt{\frac{j_{2}}{j_{1} + j_{2}}} | j_{1}, m_{1} = j_{1} - 1, j_{2}, m_{2} = j_{2} ⟩ - \sqrt{\frac{j_{1}}{j_{1} + j_{2}}} | j_{1}, m_{1} = j_{1}, j_{2}, m_{2} = j_{2} - 1 ⟩$

여기에 다시 $J_{-}$ 를 작용하여 $j = j_{1} + j_{2} - 1$ 의 모든 경우를 얻을 수 있다.

위의 내용을 종합하면 다음과 같이 정리된다.

$\begin{array}{cccccc} j = j_{1} + j_{2} & j = j_{1} + j_{2} - 1 \\ <start here> \\ m = j_{1} + j_{2} & | j = j_{1} + j_{2}, m = j_{1} + j_{2} ⟩ \\ J_{-} ↓ \\ m = j_{1} + j_{2} - 1 & | j = j_{1} + j_{2}, m = j_{1} + j_{2} - 1 ⟩ & \overset{orthonormal}{⟶} & | j = j_{1} + j_{2} - 1, m = j_{1} + j_{2} - 1 ⟩ \\ J_{-} ↓ & J_{-} ↓ \\ m = j_{1} + j_{2} - 2 & | j = j_{1} + j_{2}, m = j_{1} + j_{2} - 2 ⟩ & | j = j_{1} + j_{2} - 1, m = j_{1} + j_{2} - 2 ⟩ & \overset{orthonormal}{⟶} \\ J_{-} ↓ & J_{-} ↓ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ J_{-} ↓ & J_{-} ↓ \\ m = - (j_{1} + j_{2}) + 2 & | j = j_{1} + j_{2}, m = - (j_{1} + j_{2}) + 2 ⟩ & | j = j_{1} + j_{2} - 1, m = - (j_{1} + j_{2}) + 2 ⟩ \\ J_{-} ↓ & J_{-} ↓ \\ m = - (j_{1} + j_{2}) + 1 & | j = j_{1} + j_{2}, m = - (j_{1} + j_{2}) + 1 ⟩ & | j = j_{1} + j_{2} - 1, m = - (j_{1} + j_{2}) + 1 ⟩ \\ J_{-} ↓ \\ m = - (j_{1} + j_{2}) & | j = j_{1} + j_{2}, m = - (j_{1} + j_{2}) ⟩ \end{array}$

Example: Addition of $j_{1} = j_{2} = \frac{1}{2}$

이 경우 각 angular momentum은 $\frac{1}{2}$ 와 $- \frac{1}{2}$ 만 가능하므로 $↑$ 와 $↓$ 로 나타내자. 예를 들어,

$| j_{1} = \frac{1}{2}, m_{1} = \frac{1}{2}, j_{2} = \frac{1}{2}, m_{2} = - \frac{1}{2} ⟩ ⟹ | ↑, ↓ ⟩$

로 간략히 표현하자.

가능한 $j$ 는 1과 0이므로 $j$ 와 $m$ 의 최대값 1에서 부터 시작하자.

$| j = 1, m = 1 ⟩ = | ↑, ↑ ⟩$

여기에 $J_{-}$ 를 작용하면,

$ℏ \sqrt{2} | j = 1, m = 1 ⟩ = ℏ | ↓, ↑ ⟩ + ℏ | ↑, ↓ ⟩$

이므로

$| j = 1, m = 0 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| ↓, ↑ ⟩ + | ↑, ↓ ⟩)$

을 얻을 수있다. 여기에 다시 $J_{-}$ 를 작용하면,

$| j = 1, m = - 1 ⟩ = | ↓, ↑ ⟩$

이제 $j = 0$ 인 값을 구하면, 위에서 구한 $| j = 1, m = 0 ⟩$ 와의 orthonormal 성질로부터

$| j = 0, m = 0 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| ↑, ↓ ⟩ - | ↓, ↑ ⟩)$

를 구할 수 있다.

즉, angular momentum $\frac{1}{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 더하면, total angular momentum $j = 1, 0$ 을 얻을 수 있고, 각 eigenvector들의 관계는 위와 같이 구해진다. 이를 Clebsch-Gordan coefficient로 표현하면 다음과 같다.

$C_{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}}^{1, 1} = 1$

$C_{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}}^{1, 0} = \frac{1}{\sqrt{2}}, C_{\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}}^{1, 0} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$C_{\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}}^{1, - 1} = 1$

$C_{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}}^{0, 0} = \frac{1}{\sqrt{2}}, C_{\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}}^{0, 0} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

특별히 total angular momentum $j = 1$ 인 경우, eigenvector가 3개이므로 triplet, $j = 0$ 인 경우, eigenvector가 1개이므로 singlet이라고 부른다.

자세한 내용은 --spin-orbit interaction-- 참고. [본문으로]
책에 따라서 $ | j_1, j_2, m_1, m_2\rangle $ 로 쓰는 경우도 있다. 책마다 쓰는 방법이 다르므로 먼저 표기법부터 이해하도록 할 것. [본문으로]
commutator의 성질은 3.3 교환자 Commutator 참고. [본문으로]
angular momentum 사이의 commutation relation은 4.1 각운동량 연산자 Angular Momentum Operators 참고. [본문으로]

저작자표시 비영리 동일조건

'Physics > 양자역학' 카테고리의 다른 글

[양자역학] 6.2-① Example: 약한 전기장에 있는 조화진동자 Harmonic Oscillator in Weak Electric Field (0)	2020.09.22
[양자역학] 6.2 시간에 무관한 섭동론 ① Time-Independent Perturbation Theory (1)	2020.09.22
[양자역학] 6.1 변분법 The Variational Method (0)	2020.09.20
[양자역학] 5.4 보존, 페르미온 Bosons, Fermions (2)	2020.09.17
[양자역학] 5.3 입자 2개의 질량 중심 운동 기술 Center of Mass Description of 2-Particle System (0)	2020.09.16
[양자역학] 5.2 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ③ (1)	2020.08.15

내 블로그 - 관리자 홈 전환	`Q` `Q`
새 글 쓰기	`W` `W`

글 수정 (권한 있는 경우)	`E` `E`
댓글 영역으로 이동	`C` `C`

이 페이지의 URL 복사	`S` `S`
맨 위로 이동	`T` `T`
티스토리 홈 이동	`H` `H`
단축키 안내	`Shift` + `/` `⇧` + `/`

피그티의 기초물리

[양자역학] 5.5 각운동량 덧셈 Addition of Angular Momentums

#Structure of Vector Space

#Total Angular Momentum Operator

#Clebsch-Gordan Coefficient

#The Values of Clebsch-Gordan Coefficients

Example: Addition of $j_{1} = j_{2} = \frac{1}{2}$

'Physics > 양자역학' 카테고리의 다른 글

티스토리툴바

개인정보

단축키

내 블로그

블로그 게시글

모든 영역

[양자역학] 5.5 각운동량 덧셈 Addition of Angular Momentums

#Structure of Vector Space

#Total Angular Momentum Operator

#Clebsch-Gordan Coefficient

#The Values of Clebsch-Gordan Coefficients

Example: Addition of j1=j2=12

'Physics > 양자역학' 카테고리의 다른 글

티스토리툴바

개인정보

단축키

내 블로그

블로그 게시글

모든 영역

Example: Addition of $j_{1} = j_{2} = \frac{1}{2}$