[양자역학] 5.5 각운동량 덧셈 Addition of Angular Momentums

4.6 수소 원자 The Hydrogen Atom에서 전자의 에너지 준위를 구하기 위하여, Coulomb potential만 고려하였다. 그러나 실제 수소원자의 Hamiltonian은 더 복잡하다. 예를 들어, 전자의 orbit angular momentum에 의해 상대적으로 형성되는 자기장과 전자의 spin 사이의 상호작용이 있다. 이 상호작용의 Hamiltonian은 핵심되는 부분은 다음과 같다.^[각주:1]

\[ H = \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} = L_x S_x + L_y S_y + L_z S_z \]

그러나 x, y, z축 angular momentum에 동시에 eigenvector가 되도록 만들 수 없으므로, 수소 원자의 eigenvector \(|n,l,m,s\rangle\) 은 \(H\) 의 eigenvector가 될 수 없다. 다만,

\[ \mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S} \]

로 정의하면, (일반적인 연산자 곱셈의 경우 순서 주의!)

\[ J^2 = L^2 + S^2 + 2 \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} \]

이므로 \(H\) 는 다음과 같이 정리된다.

\[ H = \frac{1}{2} (J^2 - L^2 - S^2) \]

따라서 spin \(S\) 와 orbit angular momentum \(L\) 의 합인 \(J\) 에 대하여 다시 정리하는 과정이 필요하다. 이번 페이지에서는 더 일반적으로 첫번째 angular momentum \(J_1\) 과 두번째 angular momentum \(J_2\) 의 합 \(J\) 에 대하여 살펴본다.

#Structure of Vector Space

첫번째 angular momentum을 표현하기 위해서, angular momentum 제곱 연산자 \(J_1 ^2\) 와 z축 angular moemtnum 연산자 \(J_{1z}\) 의 eigenvector \(|j_1 , m_1 \rangle\) 이라고 하자.

\[ J_1 ^2 ~| j_1 ,m_1 \rangle = \hbar^2 j_1(j_1+1) ~| j_1 ,m_1 \rangle \]

\[ J_{1z} ~| j_1 ,m_1 \rangle = \hbar m_1 ~| j_1 ,m_1 \rangle \]

마찬가지로 두번째 angular momentum도 표현할 수 있다.

\[ J_2 ^2 ~| j_2 ,m_2 \rangle = \hbar^2 j_2(j_2+1) ~| j_2 ,m_2 \rangle \]

\[ J_{2z} ~| j_2 ,m_2 \rangle = \hbar m_2 ~| j_2 ,m_2 \rangle \]

각 angular momentum space의 기저는

\[ | j_1 , m_1 \rangle ~~~~~~ \text{where } m_1 = -j_1, -j_1 +1 , \cdots , j_1 -1 , j_1 \]

\[ | j_2 , m_2 \rangle ~~~~~~ \text{where } m_2 = -j_2, -j_2 +1 , \cdots , j_2 -1 , j_2 \]

이므로 전체 space의 기저는

\[ | j_1 , m_1 \rangle \otimes | j_2 , m_2 \rangle ~~~~~~ \text{where } \left\{ \begin{array}{l} m_1 = -j_1, -j_1 +1 , \cdots , j_1 -1, j_1 \\ m_2 = -j_2, -j_2 +1 , \cdots , j_2 -1, j_2 \end{array} \right. \]

가 된다. 보통 줄여서 \( | j_1, m_1, j_2, m_2\rangle \) 로 쓴다.^[각주:2]

#Total Angular Momentum Operator

Total angular momentum \(\mathbf{J}\) 를

\[ \mathbf{J} = \mathbf{J}_1 + \mathbf{J}_2 \]

로 정의하면, \(\mathbf{J}\) 의 x축, y축, z축 성분은 다음과 같이 된다. 

\[ J_x = J_{1x} + J_{2x} ~,~ J_y = J_{1y} + J_{2y} ~,~ J_z = J_{1z} + J_{2z} \]

이다. 이 때, \(J_{1x}\) 는 첫번째 angular momentum의 x축 성분을 의미하기 때문에, operator로 변환하면 \(J_{1x} \otimes I\) 가 된다. 따라서 total angular momentum operator는 다음과 같이 정의된다.

\[ \begin{equation} J_x = J_{1x} \otimes I + I \otimes J_{2x} \end{equation} \]

\[ \begin{equation} J_y = J_{1y} \otimes I + I \otimes J_{2y} \end{equation} \]

\[ \begin{equation} J_z = J_{1z} \otimes I + I \otimes J_{2z} \end{equation} \label{jz} \]

\[ \begin{equation} J^2 = J_x ^2 + J_y ^2 + J_z ^2 \end{equation} \]

위 식을 이용해 \(J_x\) 와 \(J_y\) 의 commutator를 구해보자.^{[각주:3] [각주:4]}

\[ \begin{align*} [J_x,J_y] &= [J_{1x} \otimes I + I \otimes J_{2x}, J_{1y} \otimes I + I \otimes J_{2y}] \\ \\ &= [J_{1x} \otimes I , J_{1y} \otimes I] + [J_{1x} \otimes I , I \otimes J_{2y}] + [I \otimes J_{2x} , J_{1y} \otimes I] + [I \otimes J_{2x} , I \otimes J_{2y}] \\ \\ &= [J_{1x} \otimes I , J_{1y} \otimes I] + [I \otimes J_{2x} , I \otimes J_{2y}] \\ \\ &= i\hbar ~J_{1z} \otimes I + i\hbar ~I \otimes J_{2z} \\ \\ &= i\hbar J_z \end{align*} \]

같은 방식으로 다음의 식을 관계를 얻을 수 있다.

\[ [J_x, J_y] = i \hbar J_z \]

\[ [J_y, J_z] = i \hbar J_x \]

\[ [J_z, J_x] = i \hbar J_y \]

\[ [J^2 , J_x] = [J^2, J_y] = [J^2, J_z] = 0 \]

따라서 total angular momentum operator 역시 일반적인 angular momentum operator의 commutator 관계를 만족함을 알 수 있다.

#Clebsch-Gordan Coefficient

위 논의에 의하면, \(J_1\) 과 \(J_2\) 가 있는 시스템은 total angular momentum \(\mathbf{J}\) 를 정의하면, 연산자 \(J^2\) 와 \(J_z\) 의 eigenvector \(|j, m\rangle\) 로 표현할 수 있다. 이 때, 전체 space의 기저는 \( | j_1, m_1, j_2, m_2\rangle \) 이므로 vector \(|j,m\rangle\) 을 전개할 수 있다.

\[ |j,m\rangle = \sum _{j_1, m_1, j_2, m_2} ~C^{j,m} _{j_1,m_1,j_2,m_2} ~| j_1, m_1, j_2, m_2\rangle \]

특히, \(j_1\) , \(j_2\) 가 고정되어 있을 때, 위 식의 계수 \(C^{j,m} _{j_1,m_1,j_2,m_2}\) 를 Clebsch-Gordan Coefficient라고 부른다.

DEFINITION            Clebsch-Gordan Coefficient

Total angular momentum operator \(J^2\) 와 z축 성분 \(J_z\) 의 eigenvector를 \(|j,m\rangle\) 이라고 하자.

\[ \begin{equation} J^2 ~|j,m\rangle = \hbar^2 j(j+1) ~|j,m\rangle \end{equation} \]

\[ \begin{equation} J_z ~|j,m\rangle = \hbar m ~|j,m\rangle \end{equation} \label{jzeigen} \]

또한 vector \(|j,m\rangle\) 를 \(|j_1,m_1,j_2,m_2\rangle\) 로 다음과 같이 전개된다고 하자.

\[ \begin{equation} |j,m\rangle = \sum _{j_1, m_1, j_2, m_2} ~C^{j,m} _{j_1,m_1,j_2,m_2} ~| j_1, m_1, j_2, m_2\rangle \end{equation} \label{CGcoef} \]

이 때, 계수 \(C^{j,m} _{j_1,m_1,j_2,m_2}\) 를  Clebsch-Gordan coefficient라고 부른다.

\(|j_1,m_1,j_2,m_2\rangle\) 의 orthonormal 성질을 이용하여, Clebsch-Gordan coefficient를 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[ \begin{equation} C^{j,m} _{j_1,m_1,j_2,m_2} = \langle j_1,m_1,j_2,m_2 | j, m \rangle \end{equation} \label{CGcoef2} \]

지금부터는 \(j_1\) 과 \(j_2\) 가 고정되어 있다고 하자. 따라서 가능한 \(m_1\), \(m_2\) 는 다음과 같다.

\[ \begin{equation} m_1 = -j_1 , -j_1 +1 , \cdots , j_1 -1 , j_1 \end{equation} \label{m1} \]

\[ \begin{equation} m_2 = -j_2 , -j_2 +1 , \cdots , j_2 -1 , j_2 \end{equation} \label{m2} \]

이제 식 \(\eqref{jz}\), \(\eqref{jzeigen}\) 그리고 \(\eqref{CGcoef}\) 를 이용하여,

\[ \begin{align*} J_z ~|j,m\rangle &= \left( J_{1x} \otimes I + I \otimes J_{2x} \right) \left( \sum _{j_1, m_1, j_2, m_2} ~C^{j,m} _{j_1,m_1,j_2,m_2} ~| j_1, m_1, j_2, m_2\rangle \right) \\ \\ &= \sum _{j_1, m_1, j_2, m_2} ~\hbar(m_1 + m_2) C^{j,m} _{j_1,m_1,j_2,m_2} ~| j_1, m_1, j_2, m_2\rangle \end{align*}\]

이 값이 \(\hbar m ~|j,m\rangle\) 이기 위해서는

\[ m=m_1 + m_2 \]

이어야 한다. 이 조건을 만족하지 않는 Clebsch-Gordan coefficient는 모두 0이 된다. 따라서 가능한 모든 \(m\) 의 값은 다음과 같다.

\[ m = -(j_1 + j_2), -(j_1 + j_2) +1 , \cdots , j_1 + j_2 -1 , j_1 + j_2 \]

이 때, \(m= j_1 + j_2\) 를 만들 수 있는 \(m_1\) , \(m_2\) 의 값은 각각 \(j_1\), \(j_2\) 인 경우 밖에 없다. \(m=j_1 + j_2 -1\) 를 만들 수 있는 \(m_1\) , \(m_2\) 의 값은 \(j_1-1\) , \(j_2\) 인 경우와 \(j_1\) , \(j_2-1\) 인 경우 2가지 밖에 없다.

이제 가능한 \(j\) 의 값을 살펴보자. \(m\) 의 최대값은 \(j_1 + j_2\) 이므로 가능한 \(j\) 의 최대값도 \(j_1 + j_2\) 가 된다. 그러나 \(j=j_1 + j_2\) 인 space의 dimension은 \(2j+1\) 이므로 더 많은 \(j\) 값이 가능하다. \(m= j_1+ j_2-1\) 의 가능한 2가지 경우에서 하나는 \(j=j_1+j_2\) 가 차지하므로 그 다음으로 고려할 수 있는 \(j\) 값은 \(j_1+j_2-1\) 이 가능하다. 이런 식으로 계속하면

\[ j = j_1 + j_2 , j_1 + j_2, \cdots , |j_1 - j_2| \]

가 가능하다. 이 조건을 만족하지 않는 Clebsch-Gordan coefficient는 모두 0이 된다.

이 조건들을 종합하면 Clebsch-Gordan coefficient는 다음과 같은 특징이 있다.

THEOREM            

        ①  \( C^{j,m} _{j_1,m_1,j_2,m_2} \ne 0 ~~~~~~~ \text{only if } |j_1-j_2| \le j \le j_1 + j_2 \)

        ②  \( C^{j,m} _{j_1,m_1,j_2,m_2} \ne 0 ~~~~~~~ \text{only if } m = m_1 + m_2 \)

        ③  \( C^{j,m} _{j_1,m_1,j_2,m_2} \) 는 실수 (conventional)

        ④  \( C^{j,j} _{j_1,j_1,j_2,j-j_1} \) 는 양수 (conventional)

#The Values of Clebsch-Gordan Coefficients

주어진 \(j_1\), \(j_2\) 에 대하여 \( C^{j,m} _{j_1,m_1,j_2,m_2} \) 을 구하는 방법을 살펴보자. 먼저 \(j=j_1 + j_2\) 부터 시작하자. 이 때 가능한 \(m\) 은 \(-(j_1+j_2)\) , \(-(j_1+j_2)+1\) , ..., \(j_1+j_2 -1\) , \(j_1 +j_2\) 이다. 일단 최대값인 \(m= j_1 + j_2\) 가 가능한 경우는 \(m_1 = j_1\) , \(m_2 = j_2\) 밖에 없다.

\[ |j{\scriptstyle =j_1 + j_2} , m{\scriptstyle=j_1+j_2} \rangle = |j_1,m_1{\scriptstyle=j_1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2}\rangle \]

이제 \(|j{\scriptstyle=j_1 + j_2} , m{\scriptstyle=j_1+j_2-1} \rangle\) 을 구하기 위해서 ladder operator

\[ J_- = J_x + i J_y = J_{1-} \otimes I + I \otimes J_{2-} \]

를 작용하면

\[ \begin{align*} \hbar \sqrt{2j_1+2j_2} ~|j{\scriptstyle =j_1 + j_2} , m{\scriptstyle=j_1+j_2-1} \rangle &= J_- ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2}\rangle \\ \\ &= (J_{1-} \otimes I + I \otimes J_{2-}) ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2}\rangle \\ \\ &= \hbar\sqrt{2j_1} ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1-1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2}\rangle + \hbar\sqrt{2j_2} ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2-1}\rangle \end{align*} \]

따라서

\[ |j{\scriptstyle =j_1 + j_2} , m{\scriptstyle=j_1+j_2-1} \rangle = \sqrt{\frac{j_1}{j_1+j_2}} ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1-1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2}\rangle + \sqrt{\frac{j_2}{j_1+j_2}} ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2-1}\rangle \]

여기에 다시 \(J_-\) 를 작용하면 

\[ \begin{align*} \hbar\sqrt{4j_1 + 4j_2 - 2}~|j{\scriptstyle =j_1 + j_2} , m{\scriptstyle=j_1+j_2-2} \rangle &= J_- ~|j{\scriptstyle =j_1 + j_2} , m{\scriptstyle=j_1+j_2-1} \rangle \\ \\ &= (J_{1-} \otimes I + I \otimes J_{2-}) ~(\sqrt{\frac{j_1}{j_1+j_2}} ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1-1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2}\rangle \\ & ~~~~~~~~~~~~~+ \sqrt{\frac{j_2}{j_1+j_2}} ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2-1}\rangle) \\ \\ &= \sqrt{\frac{j_1}{j_1+j_2}} \hbar\sqrt{4j_1-2} ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1-2}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2}\rangle \\ & ~~~~~~~~~~~~~+ \sqrt{\frac{j_1}{j_1+j_2}} \hbar\sqrt{2j_2} ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1-1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2-1}\rangle \\ & ~~~~~~~~~~~~~+ \sqrt{\frac{j_2}{j_1+j_2}}\hbar\sqrt{2j_1} ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1-1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2-1}\rangle \\ & ~~~~~~~~~~~~+ \sqrt{\frac{j_2}{j_1+j_2}}\hbar\sqrt{4j_2-2} ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2-2}\rangle \end{align*} \]

따라서

\[ \begin{multline*} |j{\scriptstyle =j_1 + j_2} , m{\scriptstyle=j_1+j_2-2} \rangle = \sqrt{\frac{j_1}{j_1+j_2}}\sqrt{\frac{2j_1-1}{2j_1+2j_2-1}} ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1-2}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2}\rangle \\ + 2\sqrt{\frac{j_1}{j_1+j_2}}\sqrt{\frac{j_2}{2j_1+2j_2-1}} ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1-1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2-1}\rangle \\ + \sqrt{\frac{j_2}{j_1+j_2}}\sqrt{\frac{2j_2-1}{2j_1+2j_2-1}} ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2-2}\rangle \end{multline*} \]

같은 방식으로 계속 \(J_-\) 를 작용하여 \(j=j_1+j_2\) 인 모든 경우를 구할 수 있다.

이제 \(j=j_1+j_2-1\) 인 경우를 살펴보자. \(m\) 의 최대값인 \(m=j_1+j_2-1\) 은

\[ |j_1,m_1{\scriptstyle=j_1-1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2}\rangle ~~~~,~~~~~ |j_1,m_1{\scriptstyle=j_1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2-1}\rangle \]

의 선형조합으로 만들 수 있다. 다만, 위에서 구한 \(|j{\scriptstyle =j_1 + j_2} , m{\scriptstyle=j_1+j_2-1} \rangle\) 과 orthonormal 관계에 있어야 하므로, (단, \(\alpha >0\) )

\[ |j{\scriptstyle =j_1 + j_2-1} , m{\scriptstyle=j_1+j_2-1} \rangle = \alpha ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1-1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2}\rangle + \beta ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2-1}\rangle \]

라고 하면,

\[ \langle j{\scriptstyle =j_1 + j_2} , m{\scriptstyle=j_1+j_2-1} |j{\scriptstyle =j_1 + j_2-1} , m{\scriptstyle=j_1+j_2-1} \rangle = 0 \]

\[ \langle j{\scriptstyle =j_1 + j_2-1} , m{\scriptstyle=j_1+j_2-1} |j{\scriptstyle =j_1 + j_2-1} , m{\scriptstyle=j_1+j_2-1} \rangle = 1 \]

로부터

\[ \sqrt{\frac{j_1}{j_1+j_2}} \alpha + \sqrt{\frac{j_2}{j_1+j_2}} \beta = 0 \]

\[ \alpha^2 + \beta^2 = 1 \]

를 연립하면,

\[ \alpha = \sqrt{\frac{j_2}{j_1+j_2}} \]

\[ \beta =  - \sqrt{\frac{j_1}{j_1+j_2}} \]

를 얻는다. 따라서 

\[ |j{\scriptstyle =j_1 + j_2-1} , m{\scriptstyle=j_1+j_2-1} \rangle = \sqrt{\frac{j_2}{j_1+j_2}} ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1-1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2}\rangle - \sqrt{\frac{j_1}{j_1+j_2}} ~|j_1,m_1{\scriptstyle=j_1}, j_2,m_2{\scriptstyle=j_2-1}\rangle \]

여기에 다시 \(J_-\) 를 작용하여 \(j=j_1+j_2-1\) 의 모든 경우를 얻을 수 있다.

위의 내용을 종합하면 다음과 같이 정리된다.

\[ \begin{array}{c|ccccc} & j=j_1+j_2 & & j=j_1+j_2 -1 & & \\ \hline & {\scriptstyle \text{<start here>}} & & & &\\ m=j_1+j_2 & |j{\scriptstyle =j_1 + j_2} , m{\scriptstyle=j_1+j_2} \rangle & & & & \\ & {\scriptstyle J_- ~}\downarrow & & & & \\ m=j_1+j_2 -1 & |j{\scriptstyle =j_1 + j_2} , m{\scriptstyle=j_1+j_2-1} \rangle & \overset{\scriptstyle \text{orthonormal}}\longrightarrow & |j{\scriptstyle =j_1 + j_2-1} , m{\scriptstyle=j_1+j_2-1} \rangle & & \\ & {\scriptstyle J_- ~}\downarrow & & {\scriptstyle J_- ~}\downarrow & & \\ m=j_1+j_2 -2 & |j{\scriptstyle =j_1 + j_2} , m{\scriptstyle=j_1+j_2-2} \rangle & & |j{\scriptstyle =j_1 + j_2-1} , m{\scriptstyle=j_1+j_2-2} \rangle & \overset{\scriptstyle \text{orthonormal}}\longrightarrow & \\ & {\scriptstyle J_- ~}\downarrow & & {\scriptstyle J_- ~}\downarrow & & \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \\ & {\scriptstyle J_- ~}\downarrow & & {\scriptstyle J_- ~}\downarrow & & \\ m=-(j_1 + j_2)+2 & |j{\scriptstyle =j_1 + j_2} , m{\scriptstyle=-(j_1+j_2)+2} \rangle & & |j{\scriptstyle =j_1 + j_2-1} , m{\scriptstyle=-(j_1+j_2)+2} \rangle & & \\ & {\scriptstyle J_- ~}\downarrow & & {\scriptstyle J_- ~}\downarrow & & \\ m=-(j_1 + j_2)+1 & |j{\scriptstyle =j_1 + j_2} , m{\scriptstyle=-(j_1+j_2)+1} \rangle & & |j{\scriptstyle =j_1 + j_2-1} , m{\scriptstyle=-(j_1+j_2)+1} \rangle & & \\ & {\scriptstyle J_- ~}\downarrow & & & & \\ m= -(j_1 + j_2) & |j{\scriptstyle =j_1 + j_2} , m{\scriptstyle=-(j_1+j_2)} \rangle & & & & \end{array} \]

Example: Addition of \(j_1=j_2 = \frac{1}{2}\)

이 경우 각 angular momentum은 \(\frac{1}{2}\) 와 \(-\frac{1}{2}\) 만 가능하므로 \(\uparrow\) 와 \(\downarrow\) 로 나타내자. 예를 들어,

\[ |j_1{\scriptstyle=\frac{1}{2}} , m_1{\scriptstyle=\frac{1}{2}} , j_2{\scriptstyle=\frac{1}{2}} , m_2{\scriptstyle=-\frac{1}{2}} \rangle ~~~~~ \Longrightarrow ~~~~~ | \uparrow, \downarrow \rangle \]

로 간략히 표현하자.

가능한 \(j\) 는 1과 0이므로 \(j\) 와 \(m\) 의 최대값 1에서 부터 시작하자.

\[ |j{\scriptstyle=1} , m{\scriptstyle=1} \rangle = | \uparrow, \uparrow \rangle \]

여기에 \(J_-\) 를 작용하면,

\[ \hbar \sqrt{2} |j{\scriptstyle=1} , m{\scriptstyle=1} \rangle = \hbar ~|\downarrow, \uparrow\rangle + \hbar ~|\uparrow,\downarrow\rangle \]

이므로

\[ |j{\scriptstyle=1} , m{\scriptstyle=0} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(|\downarrow, \uparrow\rangle ~+~ |\uparrow,\downarrow\rangle \right) \]

을 얻을 수있다. 여기에 다시 \(J_-\) 를 작용하면,

\[ |j{\scriptstyle=1} , m{\scriptstyle=-1} \rangle = | \downarrow, \uparrow \rangle \]

이제 \(j=0\) 인 값을 구하면, 위에서 구한 \(|j{\scriptstyle=1} , m{\scriptstyle=0} \rangle\) 와의 orthonormal 성질로부터

\[ |j{\scriptstyle=0} , m{\scriptstyle=0} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(|\uparrow, \downarrow\rangle ~-~ |\downarrow,\uparrow\rangle \right) \]

를 구할 수 있다.

즉, angular momentum \(\frac{1}{2}\) 와 \(\frac{1}{2}\) 을 더하면, total angular momentum \(j=1,0\) 을 얻을 수 있고, 각 eigenvector들의 관계는 위와 같이 구해진다. 이를 Clebsch-Gordan coefficient로 표현하면 다음과 같다.

\[ C^{1,1} _{\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} = 1 \]

\[ C^{1,0} _{\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} ~~,~~ C^{1,0} _{\frac{1}{2}, -\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

\[ C^{1,-1} _{\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} = 1 \]

\[ C^{0,0} _{\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} ~~,~~ C^{0,0} _{\frac{1}{2}, -\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

특별히 total angular momentum \(j=1\) 인 경우, eigenvector가 3개이므로 triplet, \(j=0\) 인 경우, eigenvector가 1개이므로 singlet이라고 부른다. 

1. 자세한 내용은 --spin-orbit interaction-- 참고. [본문으로]
2. 책에 따라서 \\( | j_1, j_2, m_1, m_2\\rangle \\) 로 쓰는 경우도 있다. 책마다 쓰는 방법이 다르므로 먼저 표기법부터 이해하도록 할 것. [본문으로]
3. commutator의 성질은 3.3 교환자 Commutator 참고. [본문으로]
4. angular momentum 사이의 commutation relation은 4.1 각운동량 연산자 Angular Momentum Operators 참고. [본문으로]