1.1-(1) Example: 이상 기체, 기브스 역설 Ideal Gas, Gibbs Paradox에서 microcanonical ensemble을 이용하여 이상 기체에 대한 열역학 변수
#Weight Factor
양자역학 이론에 의하면, 입자는 스핀 양자수
SUPPLEMENT Pauli Exclusion Principle
동일한 종류의 fermion 입자들은 동시에 같은 양자 상태가 될 수 없다.
예를 들어, 전자는 fermion이므로, 동시에 같은 양자 상태가 될 수 없다. 헬륨 원자에 있는 2개의 전자는 동시에
반대로 boson의 경우에는 동시에 같은 양자 상태가 될 수 있다. 광자는 boson이므로, 여러개 광자가 동시에 같은 운동량과 helicity를 가질 수 있다.
이제 동일한 종류의 입자
즉, weight factor는 구별 불가능한
따라서 boson의 경우 weight factor는 1
그러나 fermion의 경우에는 동시에 같은 상태가 불가능하기 때문에, 한 상태에 여러 입자를 넣을 수 없다.
따라서, fermoion은 단순히
여기에 하나 더해서 1.1-(1) Example: 이상 기체, 기브스 역설 Ideal Gas, Gibbs Paradox에서 살펴본 것과 같이 고전적 weight factor도 생각할 수 있다. 각 입자마다 선택의 경우의 수가 3
위 내용을 정리하면, 다음과 같다.
DEFINITION Weight Factor
동일한 종류의 입자
만약 입자가 boson인 경우
만약 입자가 fermion인 경우
만약 고전적 입자인 경우
#Mean Occupation Numbers
주어진 macrostate
로 구할 수 있다. 따라서 주어진
그러면 총 microstate 개수는
이 때,
이 값을 완전히 정확히 계산하는 것은 고전적 microcanonical ensemble과 마찬가지로 거의 불가능한 일이다. 따라서 근사적으로 살펴보는 방법밖에 없다. 만약
가 된다.
따라서
이 때,
이를 대입하면,
를 구할 수 있다. 만약 에너지 그룹에 에너지 레벨을 1개 씩만 있다고 한다면, 즉,
가 된다. 이 값을 mean occupation number라고 부른다. 5
THEOREM Mean Occupation Numbers
각 경우에 대해 그래프는 다음과 같다.
image by Wolfram Mathematica
1. Classical Limits
Mean occupation number를 살펴보면,
즉, 온도가 매우 높은 경우라고 할 수 있다. 또한
즉, 입자가 에너지 레벨에 들어있는 평균 개수가 아주 작은 수인 경우, 즉, 입자 수가 접근할 수 있는 에너지 레벨의 개수에 비해 아주 적은 경우 classical limits라고 할 수 있다. 6
2. Bose-Einstein Condensation (
Occupation number는 정의상 0보다 커야 하므로,
이어야 한다. 따라서 chemical potential
3. Fermion (
Fermion의 경우 occupation number는 1을 넘을 수 없다. 이는 Pauli exclusion principle과 동일한 결론이라고 할 수 있다. 또한 온도가 충분히 낮아지는 경우 입자가 접근할 수 있는 에너지 레벨에 점유하는 입자들이 1에 가까워지게 된다.
- 이를 Bose-Einstein weight factor라고 한다. [본문으로]
- 이를 Fermi-Dirac weight factor라고 한다. [본문으로]
- 이를 Maxwell-Boltzmann weight factor라고 부른다. [본문으로]
- 1.4 정준 앙상블 Canonical Ensemble의 경우와 비슷하다. [본문으로]
- '평균' 이라는 이름을 사용하는 것은 grand canonical ensemble에서 \(n_i\) 의 평균값을 구하면 똑같은 식이 나오기 때문이다. [본문으로]
- 1.1-(1) Example: 이상 기체, 기브스 역설 Ideal Gas, Gibbs Paradox의 classical limits와 비교해 볼것. [본문으로]
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