이전 페이지에서는 microcanonical ensemble을 이용하여 보존 기체와 페르미온 기체의 mean occupation number를 정의했다. 이번 페이지에서는 grand canonical ensemble을 이용하여 보존 기체와 페르미온 기체의 mean occupation number를 구해본다. 결론부터 말하자면 microcanonical ensemble에서 구한 결과와 동일하다.
#Grand Partition Function
1.5 대정준 앙상블 Grand Canonical Ensemble에서 grand canonical ensemble과 열역학적 변수들을 연결하는 핵심 개념은 grand partition function임을 살펴보았다.
boson 기체와 fermion 기체를 살펴보기 위하여, 입자에 허용된 에너지 레벨을
라고 하고, i번째 레벨
여기에 더해 2개의 fermion은 같은 상태가 될 수 없으므로, fermion의 경우에는 모든
로 정의하면, 식
이 때,
boson의 경우
fermion의 경우
가 된다. 이 식에 자연로그를 취하면 다음을 얻는다.
#Mean Occupation Number
i번째 에너지 레벨에 있는 입자의 개수의 ensemble average
이므로 mean occupation number
를 얻을 수 있다. 이 결과는 microcanonical ensemble로 구한 결과와 같다.
같은 방식으로 occupation number이 variance를 구할 수 있다.
이므로
#Thermodynamic Variables
Grand partition function으로부터 열역학 변수들은 다음 식을 이용한다.
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