[통계역학] 2.1-(1) 보존 기체, 페르미온 기체의 대정준 앙상블 Grand Canonical Ensembles of Boson Gas, Fermion Gases

이전 페이지에서는 microcanonical ensemble을 이용하여 보존 기체와 페르미온 기체의 mean occupation number를 정의했다. 이번 페이지에서는 grand canonical ensemble을 이용하여 보존 기체와 페르미온 기체의 mean occupation number를 구해본다. 결론부터 말하자면 microcanonical ensemble에서 구한 결과와 동일하다.

#Grand Partition Function

1.5 대정준 앙상블 Grand Canonical Ensemble에서 grand canonical ensemble과 열역학적 변수들을 연결하는 핵심 개념은 grand partition function임을 살펴보았다.

\[ \begin{equation} \mathcal{Z} = \sum _{N=0} ^\infty z^N Z_N = \sum _{N=0} ^\infty z^N \sum _E e^{-\beta E} \label{gpf1} \end{equation} \]

boson 기체와 fermion 기체를 살펴보기 위하여, 입자에 허용된 에너지 레벨을 

\[ \varepsilon_i ~~~~~~ \text{where } i = 0,1,2,\cdots \]

라고 하고, i번째 레벨 \(\varepsilon_i\) 상태에 있는 입자의 개수를 \(n_i\) 라고 하자. 그러면 식 \(\eqref{gpf1}\) 에서 각 \(N\) , \(E\) 에 대하여, 다음을 만족하는 \(\{n_i\}\) 세트들만 가능하다.

\[ \begin{align} \sum _{i} n_i &= N \label{const1} \\ \sum_i n_i \varepsilon_i &= E \label{const2} \end{align} \]

여기에 더해 2개의 fermion은 같은 상태가 될 수 없으므로, fermion의 경우에는 모든 \(n_i\) 들이 0 또는 1만 가능하다. 이를 weight factor 

\[ \begin{align*} g_{\text{B.E.}} \{n_i\} &= 1 \\ \\ g_{\text{F.D.}} \{n_i\} &= \left\{  \begin{array}{cl} 1 & \text{if all }n_i=0 ~\text{or }1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{array} \right. \end{align*} \]

로 정의하면, 식 \(\eqref{gpf1}\) 는 

\[ \begin{equation} \mathcal{Z} = \sum _{N=0} ^\infty z^N \sum _{n_i} ' g\{n_i\} e^{-\beta \sum_i n_i \varepsilon_i} \label{gpf2} \end{equation} \]

이 때, \(\sum _{n_i} '\) 은 식 \(\eqref{const1}\), 식 \(\eqref{const2}\) 을 만족하는 \(\{n_i\}\) 세트만 합하기 때문에, 이것만 푸는 것은 불가능나 앞부분의 \(\sum _{N=0} ^\infty \) 부분을 모두 전개하면, 모든 \(\{n_i\}\) 세트를 더하는 것이 된다. 따라서

\[ \begin{align*} \mathcal{Z} &= \sum _{n_1, n_2, \cdots =0} ^\infty g\{n_i\} z^{n_1+n_2+\cdots} e^{-\beta(n_1\varepsilon_1+n_2\varepsilon_2+\cdots)} \\ &= \sum _{n_1=0} ^\infty g\{n_1\} z^{n_1} e^{-\beta n_1 \varepsilon_1} \sum _{n_2=0} ^\infty g\{n_2\} z^{n_2} e^{-\beta n_2 \varepsilon_2} \cdots \\ &= \prod _{i=1} ^\infty \left[ \sum_{n_i=0} ^\infty g\{n_i\} \left(z e^{-\beta n_i \varepsilon_i}\right)^{n_i} \right] \end{align*} \]

boson의 경우 \(\sum_{n_i=0} ^\infty\) 부분은 무한 급수가 되므로

\[ \begin{equation*} \mathcal{Z} = \prod _{i} \frac{1}{1-ze^{-\beta \varepsilon_i}} \end{equation*} \]

fermion의 경우 \(g\{n_i\}\) 때문에,

\[ \begin{equation*} \mathcal{Z} = \prod _{i} (1+ze^{-\beta \varepsilon_i}) \end{equation*} \]

가 된다. 이 식에 자연로그를 취하면 다음을 얻는다.

\[ \begin{equation} \ln{\mathcal{Z}} = \frac{1}{a} \sum_{i} (1+aze^{-\beta \varepsilon_i}) ~~~~~~~,~~a = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \text{for fermion} \\ 0 & \text{for classical} \\ -1 & \text{for boson} \end{array} \right. \end{equation} \]

#Mean Occupation Number

i번째 에너지 레벨에 있는 입자의 개수의 ensemble average \(\langle n_i \rangle\) 은 정의로부터

\[ \begin{equation*} \langle n_i \rangle = \frac{\sum_N n_i z^N \left(\sum_E e^{-\beta \sum_j n_j \epsilon_j}\right)}{\sum_N z^N \left(\sum_E e^{-\beta \sum_j n_j \epsilon_j}\right)} = -\frac{1}{\beta\mathcal{Z}}\frac{\partial \mathcal{Z}}{\partial \varepsilon_i} = -\frac{1}{\beta} \frac{\partial}{\partial \varepsilon_i} \ln{\mathcal{Z}} \end{equation*} \]

이므로 mean occupation number

\[ \begin{equation} \langle n_i \rangle = \frac{1}{z^{-1}e^{\beta\epsilon_i} + a} \end{equation} \]

를 얻을 수 있다. 이 결과는 microcanonical ensemble로 구한 결과와 같다.

같은 방식으로 occupation number이 variance를 구할 수 있다.

\[ \begin{equation*} \langle n_i ^2 \rangle = \frac{\sum_N n_i ^2 z^N \left(\sum_E e^{-\beta \sum_j n_j \epsilon_j}\right)}{\sum_N z^N \left(\sum_E e^{-\beta \sum_j n_j \epsilon_j}\right)} = -\frac{1}{\beta ^2 \mathcal{Z}}\frac{\partial^2 \mathcal{Z}}{\partial \varepsilon_i ^2} \end{equation*} \]

이므로

\[ \begin{equation} \mathrm{Var}(n_i) = \langle n_i ^2 \rangle - \langle n_i \rangle^2 = \frac{z^{-1}e^{\beta\varepsilon_i}}{(z^{-1}e^{\beta\epsilon_i} + a)^2} \end{equation} \]

#Thermodynamic Variables

Grand partition function으로부터 열역학 변수들은 다음 식을 이용한다.

\[ \frac{PV}{kT} = \ln{\mathcal{Z}} = \frac{1}{a} \sum_{i} (1+aze^{-\beta \varepsilon_i}) \]