[통계역학] 2.3 보존 이상기체 Boson Ideal Gas

지난 페이지에 이어 보존 이상기체의 특징에 대하여 살펴본다. 이번 페이지에 사용될 보존 이상기체 식들을 다시 소개한다.

$$\frac{P}{kT}=\frac{1}{{\lambda }^3}{g}_{5/2}(z)-\frac{1}{V}\ln (1-z)$$

$$\frac{N}{V}=\frac{1}{{\lambda }^3}{g}_{3/2}(z)+\frac{1}{V}\frac{z}{1-z}$$

$$\lambda ={\left(\frac{h^2\beta }{2\pi m}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(\frac{h^2}{2\pi mkT}\right)}^{\frac{1}{2}}$$

$$g_{\nu }(z)=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^j}{j^{\nu }}$$

#Internal Energy of Ideal Bose Gas

내부 에너지 $U$ 는 ensemble average 식^[각주:1]과 식 $\text{(???)}$, $\text{(???)}$로부터^[각주:2]

$$\begin{array}{rl}U& =-{(\frac{\partial }{\partial \beta }\ln \mathcal{Z})}_{z,V}\\ \\ & =k{T}^2{\left(\frac{\partial }{\partial T}\frac{PV}{kT}\right)}_{z,V}\\ \\ & =k{T}^{2}V{g}_{5/2}(z)\frac{d}{dT}\frac{1}{{\lambda }^3}\\ \\ & =\frac{3}{2}kT\frac{V}{{\lambda }^3}{g}_{5/2}(z)\end{array}$$

이를 다시 식 $\text{(???)}$와 비교해보면,

$$U=\frac{3}{2}PV$$

를 얻을 수 있다.

#The Equation of State of Ideal Bose Gas

보존 이상기체의 상태방정식을 얻기 위해서는 식 $\text{(???)}$, $\text{(???)}$에 식 $\text{(???)}$를 대입한 식

$$\frac{P}{kT}=\frac{1}{{\lambda }^3}\sum _{l=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^l}{l^{\frac{5}{2}}}$$

$$\frac{N-N_0}{V}=\frac{1}{{\lambda }^3}\sum _{l=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^l}{l^{\frac{3}{2}}}$$

에서 $\frac{N-N_0}{V}$ 식을 이용하여 $z$를 ${\lambda }^3\frac{N}{V}$ 의 무한급수로 표현한 뒤, $\frac{P}{kT}$ 식에 대입해야 한다. 대입의 결과 다음의 virial expansion 식을 얻는다.

$$\frac{PV}{NkT}=\sum _{l=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_l{\left({\lambda }^3\frac{N}{V}\right)}^{l-1}$$

이 때 얻게 되는 virial coefficient들의 구체적인 값은 다음과 같다.

$$a_1=1,a_2=-\frac{1}{4\sqrt{2}},a_3=-(\frac{2}{9\sqrt{3}}-\frac{1}{8}),\cdots$$

#Specific Heat Capacity of Ideal Bose Gas

열용량을 구하기 위하여 열용량 정의로 부터^[각주:3]

$$\frac{C_V}{Nk}=\frac{1}{Nk}{\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{N,V}$$

에서 식 $\text{(???)}$를 대입하면,

$$\frac{C_V}{Nk}=\frac{3}{2}{\left\{\frac{\partial }{\partial T}\left(\frac{PV}{Nk}\right)\right\}}_V$$

을 얻는다. 여기에 다시 식 $\text{(???)}$와 식 $\text{(???)}$을 이용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$$\frac{C_V}{Nk}=\frac{3}{2}\sum _{l=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{5-3l}{2}{a}_l{\left({\lambda }^3\frac{N}{V}\right)}^{l-1}$$

#Special Cases: $T\to \mathrm{\infty }$

$T$ 가 무한히 커지는 경우, mean thermal wavelength $\lambda$ 는 0에 근접하게 된다. 따라서 식 $\text{(???)}$, $\text{(???)}$ 는 각각

$$\frac{PV}{NkT}=1$$

$$\frac{C_V}{Nk}=\frac{3}{2}$$

가 된다. 이 결과는 고전적 이상기체와 완전히 동일한 결과이다. 즉, $T$가 무한히 커지는 경우, 더 정확히는 mean thermal wavelength $\lambda$가 0에 근접하는 경우에는 양자적 효과가 완전히 사라지고 고전적 이상기체와 같아진다.^[각주:4]

1. 1.5 대정준 앙상블 Grand Canonical Ensemble 참고 [본문으로]
2. ground state 부분은 무시하자. [본문으로]
3. 계산을 더 쉽게 하기 위하여 \(C_V\) 대신 \(\frac{C_V}{Nk}\) 를 구한다. [본문으로]
4. 고전적 한계에 대해서는 1.1-(1) Example: 이상 기체, 기브스 역설 Ideal Gas, Gibbs Paradox 참고 [본문으로]