[통계역학] 2.3 보존 이상기체 Boson Ideal Gas

지난 페이지에 이어 보존 이상기체의 특징에 대하여 살펴본다. 이번 페이지에 사용될 보존 이상기체 식들을 다시 소개한다.

\[ \begin{equation} \frac{P}{kT} = \frac{1}{\lambda^3} g_{5/2}(z) - \frac{1}{V}\ln{(1-z)} \label{pvkt3} \end{equation} \]

\[ \begin{equation} \frac{N}{V} = \frac{1}{\lambda^3} g_{3/2}(z) + \frac{1}{V}\frac{z}{1-z} \label{n2} \end{equation} \]

\[ \begin{equation} \lambda = \left( \frac{h^2 \beta}{2\pi m } \right)^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{h^2}{2\pi mkT} \right)^{\frac{1}{2}} \label{mtw} \end{equation} \]

\[ \begin{equation} g_\nu (z) = \sum _{j=1} ^\infty \frac{z^j}{j^\nu} \label{befsum} \end{equation} \]

#Internal Energy of Ideal Bose Gas

내부 에너지 \(U\) 는 ensemble average 식^[각주:1]과 식 \(\eqref{pvkt3}\), \(\eqref{mtw}\)로부터^[각주:2]

\[ \begin{align*} U &= -\left( \frac{\partial}{\partial \beta} \ln{\mathcal{Z}} \right)_{z,V} \\ \\ &= kT^2 \left( \frac{\partial}{\partial T} \frac{PV}{kT} \right)_{z,V} \\ \\ &= kT^2 V g_{5/2}(z) \frac{d}{dT} \frac{1}{\lambda^3} \\ \\ &= \frac{3}{2}kT \frac{V}{\lambda^3} g_{5/2}(z) \end{align*} \]

이를 다시 식 \(\eqref{pvkt3}\)와 비교해보면,

\[ \begin{equation} U = \frac{3}{2}PV \end{equation} \label{energy}\]

를 얻을 수 있다.

#The Equation of State of Ideal Bose Gas

보존 이상기체의 상태방정식을 얻기 위해서는 식 \(\eqref{pvkt3}\), \(\eqref{n2}\)에 식 \(\eqref{befsum}\)를 대입한 식

\[ \frac{P}{kT} = \frac{1}{\lambda^3} \sum_{l=1} ^\infty \frac{z^l}{l ^{\frac{5}{2}}} \]

\[ \frac{N-N_0}{V} = \frac{1}{\lambda^3} \sum_{l=1} ^\infty \frac{z^l}{l^{\frac{3}{2}}} \]

에서 \(\frac{N-N_0}{V}\) 식을 이용하여 \(z\)를 \(\lambda^3 \frac{N}{V}\) 의 무한급수로 표현한 뒤, \(\frac{P}{kT}\) 식에 대입해야 한다. 대입의 결과 다음의 virial expansion 식을 얻는다.

\[ \begin{equation} \frac{PV}{NkT} = \sum_{l=1} ^\infty a_l \left(\lambda^3 \frac{N}{V} \right) ^{l-1} \end{equation} \label{virial} \]

이 때 얻게 되는 virial coefficient들의 구체적인 값은 다음과 같다.

\[ a_1 = 1 ~,~ a_2 = -\frac{1}{4\sqrt{2}} ~,~ a_3 = -\left(\frac{2}{9\sqrt{3}} - \frac{1}{8} \right) ~,~ \cdots \]

#Specific Heat Capacity of Ideal Bose Gas

열용량을 구하기 위하여 열용량 정의로 부터^[각주:3]

\[ \frac{C_V}{Nk} = \frac{1}{Nk}\left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_{N,V} \]

에서 식 \(\eqref{energy}\)를 대입하면,

\[ \frac{C_V}{Nk} = \frac{3}{2} \left\{ \frac{\partial}{\partial T} \left( \frac{PV}{Nk} \right) \right\} _V \]

을 얻는다. 여기에 다시 식 \(\eqref{mtw}\)와 식 \(\eqref{virial}\)을 이용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

\[ \begin{equation} \frac{C_V}{Nk} = \frac{3}{2} \sum_{l=1} ^\infty \frac{5-3l}{2} a_l \left( \lambda^3 \frac{N}{V} \right) ^{l-1} \end{equation} \label{Cv} \]

#Special Cases: \(T \rightarrow \infty\)

\(T\) 가 무한히 커지는 경우, mean thermal wavelength \(\lambda\) 는 0에 근접하게 된다. 따라서 식 \(\eqref{virial}\), \(\eqref{Cv}\) 는 각각

\[ \frac{PV}{NkT} = 1 \]

\[ \frac{C_V}{Nk} = \frac{3}{2} \]

가 된다. 이 결과는 고전적 이상기체와 완전히 동일한 결과이다. 즉, \(T\)가 무한히 커지는 경우, 더 정확히는 mean thermal wavelength \(\lambda\)가 0에 근접하는 경우에는 양자적 효과가 완전히 사라지고 고전적 이상기체와 같아진다.^[각주:4]

1. 1.5 대정준 앙상블 Grand Canonical Ensemble 참고 [본문으로]
2. ground state 부분은 무시하자. [본문으로]
3. 계산을 더 쉽게 하기 위하여 \\(C_V\\) 대신 \\(\\frac{C_V}{Nk}\\) 를 구한다. [본문으로]
4. 고전적 한계에 대해서는 1.1-(1) Example: 이상 기체, 기브스 역설 Ideal Gas, Gibbs Paradox 참고 [본문으로]