Physics66 [양자역학] 5.5 각운동량 덧셈 Addition of Angular Momentums 4.6 수소 원자 The Hydrogen Atom에서 전자의 에너지 준위를 구하기 위하여, Coulomb potential만 고려하였다. 그러나 실제 수소원자의 Hamiltonian은 더 복잡하다. 예를 들어, 전자의 orbit angular momentum에 의해 상대적으로 형성되는 자기장과 전자의 spin 사이의 상호작용이 있다. 이 상호작용의 Hamiltonian은 핵심되는 부분은 다음과 같다.\[ H = \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} = L_x S_x + L_y S_y + L_z S_z \]그러나 x, y, z축 angular momentum에 동시에 eigenvector가 되도록 만들 수 없으므로, 수소 원자의 eigenvector \(|n,l,m,s\rangle\) 은 \(.. 2020. 9. 18. [양자역학] 5.4 보존, 페르미온 Bosons, Fermions 동일한 입자들의 구별 불가능성은 양자역학이 고전역학과 구별되는 아주 큰 특징 중 하나이다. 이번 페이지는 동일한 입자의 구별 불가능성에 대하여 알아보고, 보존과 페르미온에 대하여 살펴본다. #Indistinguishable Identical Particles양자역학과 고전역학을 비교하기 위하여 다음과 같은 상황을 생각해보자. 1번 투수와 2번 투수가 완전히 같은 질량, 같은 크기, 같은 표면의 공을 각각 4번 포수, 3번 포수를 향해 던질 때 가운데서 충돌이 일어난 후 포수가 공을 잡는 상황이다. 이제 이 상황을 고전역학적으로 분석을 해보자. 고전역학에서는 모든 입자는 항상 구별이 가능하다. 즉 충돌이 일어나기 전, 충돌 상황, 충돌이 일어난 후 모든 시간의 공의 위치와 운동량을 추적하면 충돌 후 3번 .. 2020. 9. 17. [양자역학] 5.3 입자 2개의 질량 중심 운동 기술 Center of Mass Description of 2-Particle System 2입자 시스템의 포텐셜이 Coulomb potential과 같이 입자 사이의 거리에만 영향을 받는 경우에는 center of mass 좌표 체계를 이용하여 독립적인 2개의 좌표로 표현할 수 있다. #Center of Mass고전적 Hamiltonian이\[ H = \frac{p_1}{2m_1} + \frac{p_2}{2m_2} + V(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \]인 경우 다음과 같이 새로운 좌표를 구성하자.\[ \mathbf{R} = \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{m_1+m_2} \]\[ \mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 \]\(\mathbf{R}\) 은 center of mass, \(\ma.. 2020. 9. 16. [통계역학] 2.2 보즈-아인슈타인 응축 Bose-Einstein Condensation 보존 이상 기체의 경우 입자 사이에 상호작용이 없는데도 일정한 온도 아래로 내려가면 많은 수의 입자가 가장 낮은 에너지 레벨로 떨어지는 현상이 발생하는데 이를 보즈-아인슈타인 응축이라고 부른다. 이번 페이지에서는 보즈-아인슈타인 응축에 대한 이론을 살펴본다. #Bose Ideal Gas입자가 boson인 경우 \(a=-1\) 을 대입하면,\[ \begin{equation*} \frac{PV}{kT} = - \sum_i \ln{(1-ze^{-\beta\varepsilon_i})} \end{equation*} \]만약 같은 에너지 레벨 \(\varepsilon\) 에 대하여, density of states를 \(d(\varepsilon)\) 이라고 하면,\[ \begin{equation*} \frac{PV.. 2020. 8. 18. [통계역학] 2.1-(1) 보존 기체, 페르미온 기체의 대정준 앙상블 Grand Canonical Ensembles of Boson Gas, Fermion Gases 이전 페이지에서는 microcanonical ensemble을 이용하여 보존 기체와 페르미온 기체의 mean occupation number를 정의했다. 이번 페이지에서는 grand canonical ensemble을 이용하여 보존 기체와 페르미온 기체의 mean occupation number를 구해본다. 결론부터 말하자면 microcanonical ensemble에서 구한 결과와 동일하다. #Grand Partition Function1.5 대정준 앙상블 Grand Canonical Ensemble에서 grand canonical ensemble과 열역학적 변수들을 연결하는 핵심 개념은 grand partition function임을 살펴보았다.\[ \begin{equation} \mathcal{Z}.. 2020. 8. 18. [양자역학] 5.2 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ③ 3.6 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ①과 4.5 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ②에서 살펴본 방법을 이용해 2-입자 시스템의 행렬 표현을 살펴본다. 특히, 1-입자 시스템의 행렬 표현으로부터 2-입자 시스템의 행렬 표현을 얻는 방법에 대하여 살펴본다. #1-입자 시스템의 행렬 표현 정리1-입자 시스템의 Hamiltonian \(H\) 에 대하여, eigenvector \(|\phi_n\rangle\) 은 파동함수의 basis 벡터가 된다. 따라서 임의의 파동함수 \(f\) 가 \[ |f\rangle = \sum_{i} c_i ~|\phi_i\rangle \]로 전개되는.. 2020. 8. 15. [통계역학] 2.1 보존 기체, 페르미온 기체 Boson Gas, Fermion Gas 1.1-(1) Example: 이상 기체, 기브스 역설 Ideal Gas, Gibbs Paradox에서 microcanonical ensemble을 이용하여 이상 기체에 대한 열역학 변수 \(S\), \(P\), \(C_v\) 등에 대하여 살펴보았다. 그러나 이 설명은 매우 높은 온도, 낮은 입자 밀도로 특징되는 classical limit에서만 성립한다. 즉, 각 입자의 에너지가 겹치는 경우가 거의 없는 경우에 성립하는 설명이다. 만약 온도가 낮고 높은 입자 밀도가 되는 경우에는 입자의 에너지가 겹칠 가능성이 높아지므로 양자역학적 성질이 중요하게 작용한다. 이번 페이지에서는 입자간 상호작용이 없는 이상기체에 대한 양자역학적 설명을 살펴본다. #Weight Factor양자역학 이론에 의하면, 입자는 스핀.. 2020. 8. 15. [통계역학] 1.5 대정준 앙상블 Grand Canonical Ensemble Microcanonical ensemble은 입자의 개수 \(N\), 부피 \(V\), 에너지 \(E\) 가 주어진 시스템의 경우에 ensemble 이론이고, cacnonical ensemble은 입자의 개수 \(N\), 부피 \(V\), 온도 \(T\) 가 주어진 시스템의 경우 ensemble이다. 때로는 우리가 관심이 있는 시스템에 들어있는 입자의 개수가 변하는 경우도 있는데, 이러한 경우를 grand canonical ensemble(대정준 앙상블)이라고 한다. 이 경우에는 평형상태에서 chemical potential \(\mu\) 가 일정하게 유지된다. 따라서 주어진 macrostate는 \((V,T,\mu)\) 가 된다. 이번 페이지에서는 grand canonical ensemble에 대하여 .. 2020. 8. 9. 이전 1 2 3 4 5 ··· 9 다음
