[통계학] 3.4 초기하 분포 Hypergeometric Distribution

한 상자에 $N$ 개의 공이 들어있다. 이 중에 $K$ 개의 공은 빨간색, $N-K$ 개의 공은 파란색이라고 하자. 이제 $n$ 개의 공을 꺼냈을 때, 빨간색 공이 몇 개들어 있는지에 대한 문제는 초기하 분포를 따른다. Binomial distribution는 $n$ 개의 공을 꺼낼 때, 하나 꺼낼 때마다 확인하고 다시 집어 넣을 때의 분포가 되고, 초기하 분포는 한번에 $n$ 개의 공을 꺼냈을 때의 분포가 된다.^[각주:1] 이번 페이지에서는 초기하 분포에 대하여 살펴본다.

#Hypergeometric Distribution

상자에서 $n$ 개의 공을 꺼낼 모든 경우의 수는^[각주:2]

$$\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)=\frac{N!}{n!(N-n+1)!}$$

이고, 꺼낸 $n$ 개의 공 중에서 $x$ 개의 공이 빨간색 공일 경우의 수는 '$K$ 개의 빨간색 공 중에서 $x$ 개 꺼낼 경우의 수'와 '$N-K$ 개의 파란색 공 중에서 $n-x$ 개 꺼낼 경우의 수'를 곱한 것이므로

$$\left(\begin{array}{c}K\\ x\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-K\\ n-x\end{array}\right)$$

랜덤 변수 $X$ 를 꺼낸 공 중에서 빨간색 공의 수라고 정의하면, $x$ 개의 공이 빨간색 공일 확률은

$$P(X=x)=\frac{\left(\begin{array}{c}K\\ x\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-K\\ n-x\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)}\text{where }x=0,1,2,\cdots ,K$$

이 분포를 hypergeometric $(N,K,n)$ distribution이라고 한다. 랜덤 변수 $X$ 가 hypergeometric $(N,K,x)$ distribution을 따른다는 것을 다음과 같이 표기한다.

$$X\sim \mathrm{Hypergeometric}(N,K,n)$$

$P(X=x)$ 함수가 실제로 pmf인지 확인하기 위해서는 총합이 1이어야 한다. 이는 다음과 같이 압축된다.

THEOREM            Vandermonde's Identity

$$\left(\begin{array}{c}m+n\\ r\end{array}\right)=\sum _{k=0}^r\left(\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ r-k\end{array}\right)$$

(증명)

Binomial theorem^[각주:3]로부터

$$\begin{array}{rl}\sum _{r=0}^{m+n}\left(\begin{array}{c}m+n\\ r\end{array}\right)x^r& =(1+x{)}^{m+n}\\ \\ & =(1+x{)}^m(1+x{)}^n\\ \\ & =\left[\sum _{i=0}^m\left(\begin{array}{c}m\\ i\end{array}\right)x^i\right]\left[\sum _{j=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ j\end{array}\right)x^j\right]\end{array}$$

이 때, 2개의 다항식의 곱을 전개하면 다음과 같이 정리된다.

$$\left(\sum _{i=0}^m{a}_i{x}^i\right)\left(\sum _{j=0}^n{b}_j{x}^j\right)=\sum _{r=0}^{m+n}\left(\sum _{k=0}^r{a}_k{b}_{r-k}\right)x^r$$

이를 그대로 마지막 줄에 적용하면,

$$\sum _{r=0}^{m+n}\left(\begin{array}{c}m+n\\ r\end{array}\right)x^r=\sum _{r=0}^{m+n}\left[\sum _{k=0}^r\left(\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ r-k\end{array}\right)\right]x^r$$

따라서 계수 비교법에 의해,

$$\left(\begin{array}{c}m+n\\ r\end{array}\right)=\sum _{k=0}^r\left(\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ r-k\end{array}\right)$$

(증명끝)

#Mean of Hypergeometric Distribution

평균을 구하기 위해서는 다음의 식들이 필요하다

$$x\left(\begin{array}{c}K\\ x\end{array}\right)=x\frac{K!}{x!(K-x-1)!}=\frac{K\cdot (K-1)!}{(x-1)!((K-1)-(x-1)-1)!}=K\left(\begin{array}{c}K-1\\ x-1\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)=\frac{N!}{n!(N-n-1)!}=\frac{N}{n}\frac{(N-1)!}{(n-1)!((N-1)-(n-1)-1)!}=\frac{N}{n}\left(\begin{array}{c}N-1\\ n\end{array}\right)$$

이제 평균을 구하면

$$\begin{array}{rl}E[X]& =\sum _{x=0}^{K}x\frac{\left(\begin{array}{c}K\\ x\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-K\\ n-x\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)}\\ & =\sum _{x=1}^{K}x\frac{\left(\begin{array}{c}K\\ x\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-K\\ n-x\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)}& & \leftarrow \text{omit }x=0\\ & =\sum _{x=1}^K\frac{K\left(\begin{array}{c}K-1\\ x-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-K\\ n-x\end{array}\right)}{\frac{N}{n}\left(\begin{array}{c}N-1\\ n-1\end{array}\right)}\\ & =\frac{Kn}{N}\sum _{x=1}^K\frac{\left(\begin{array}{c}K-1\\ x-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-K\\ n-x\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N-1\\ n-1\end{array}\right)}\\ & =\frac{Kn}{N}\sum _{y=0}^{K-1}\frac{\left(\begin{array}{c}K-1\\ y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}(N-1)-(K-1)\\ (n-1)-y\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N-1\\ n-1\end{array}\right)}& & \leftarrow \text{substitute }y=x-1\end{array}$$

이 때 마지막 sum은 Hypergeometric $(N-1,K-1,n-1)$ distribution의 합이므로 1이다. 따라서

$$E[X]=n\frac{K}{N}$$

#Variance of Hypergeometric Distribution

분산을 구하기 위해서 $E[X^2]$을 구하자.

$$\begin{array}{rl}E[X^2]& =\sum _{x=0}^K{x}^2\frac{\left(\begin{array}{c}K\\ x\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-K\\ n-x\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)}\\ & =\sum _{x=1}^K{x}^2\frac{\left(\begin{array}{c}K\\ x\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-K\\ n-x\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)}\\ & =\sum _{x=1}^{K}x\frac{Kn}{N}\frac{\left(\begin{array}{c}K-1\\ x-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-K\\ n-x\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N-1\\ n-1\end{array}\right)}\\ & =\sum _{x=1}^K\frac{Kn}{N}(x-1)\frac{\left(\begin{array}{c}K-1\\ x-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-K\\ n-x\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N-1\\ n-1\end{array}\right)}+\sum _{x=1}^K\frac{Kn}{N}\frac{\left(\begin{array}{c}K-1\\ x-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-K\\ n-x\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N-1\\ n-1\end{array}\right)}\\ & =\frac{Kn}{N}\frac{(K-1)(n-1)}{N-1}\sum _{x=1}^K\frac{\left(\begin{array}{c}K-2\\ x-2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-K\\ n-x\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N-2\\ n-2\end{array}\right)}+\frac{Kn}{N}\sum _{x=1}^K\frac{\left(\begin{array}{c}K-1\\ x-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-K\\ n-x\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N-1\\ n-1\end{array}\right)}\end{array}$$

이 때 마지막 줄의 첫번째 sum은 hypergeometric $(N-2,K-2,n-2)$ distribution의 합, 두번째 sum은 Hypergeometric $(N-1,K-1,n-1)$ distribution의 합이므로 1이다.

$$E[X^2]=\frac{Kn}{N}(\frac{(K-1)(n-1)}{N-1}+1)$$

따라서 분산은

$$\mathrm{Var}(X)=n\frac{K}{N}\frac{(N-K)}{N}\frac{N-n}{N-1}$$

1. 고등학교 수학에서 복원, 비복원 문제로 구별한 것과 같다. 복원 문제는 binomial distribution, 비복원 문제는 초기하 분포가 된다. [본문으로]
2. 고등학교 수학에서 combination \(_NC_n\) 과 같다. [본문으로]
3. 3.2 베르누이 분포, 이항 분포 Bernoulli Distribution, Binomial Distribution 참고. [본문으로]