[통계학] 3.6 균등 분포 Uniform Distribution

지금까지 대표적인 불연속적 분포에 대해서 살펴보았다. 이 페이지부터 연속적인 분포에 대하여 살펴본다. 가장 먼저, 나올 수 있는 범위 내에 확률이 균등한 분포인 uniform distribution부터 살펴본다.

#Uniform Distribution

주어진 범위 \(a \le x \le b\) 에 대하여, 연속적인 랜덤 변수 \(X\) 가 다음의 pdf를 가질 때 이를 uniform \((a,b)\) distribution이라고 한다.

\[ f_X(x) = \left\{ \begin{array}{cl} \frac{1}{b-a} & \text{if } a \le x \le b \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{array} \right. \]

당연히 주어진 범위에서 pdf를 적분하면 전체 확률 1을 얻을 수 있다.

\[ \int _a ^b f_X(x) ~dx = \int _a ^b \frac{1}{b-a} ~dx = 1 \]

랜덤 변수 \(X\) 가 uniform \((a,b)\) distribution을 따른다는 것을 줄여서 다음과 같이 표현한다.

\[ X \sim \text{unif}(a,b) \]

#Mean of Uniform Distribution

Uniform distribution의 평균은 적분으로 간단히 구해진다.

\[ E[X] = \int _a ^b x \frac{1}{b-a} ~dx = \frac{b+a}{2} \]

#Variance of Uniform Distribution

분산 역시 적분으로 간단히 구해진다.

\[ E[X^2] = \int _a ^b x^2 \frac{1}{b-a} ~dx = \frac{a^2 + ab + x^2}{3} \]

따라서

\[ \mathrm{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{(b-a)^2}{12} \]

Example

1. 원주율 \(\pi\) 의 근사값 구하기

Uniform distribution을 이용하여 원의 넓이를 근사값으로 구할 수 있다. (다음 영상은 uniform distribution을 이용하여 \(\pi\) 를 구하는 것과 컴퓨터 그래픽에서 빛의 반사를 계산하는 방법을 설명한다.)

Uniform \((0,1)\) distribution에서 랜덤 변수 \(X\) 와 \(Y\) 를 샘플링하자. \(X\) 와 \(Y\) 모두 0부터 1사이에 고르게 샘플링되므로, 좌표 평면 상에 \((X,Y)\) 의 점을 찍으면 변의 길이가 1인 정사각형 안에 고르게 분포될 것이다. 이 때, 이 점이 반지름이 1인 1/4 원 안에 있을 확률은 원의 넓이에 비례할 것이다. 따라서 많은 수의 점을 찍어 1/4 원 안에 들어가는 비율을 이용하여 원의 넓이를 근사할 수 있다. 또한 비율×4 를 하면 \(\pi\) 를 근사할 수 있다. 샘플링한 \((X,Y)\) 가 1/4 원 안에 들어가는지 체크하는 것은 간단히 \(X^2 + Y^2 \le 1\) 로 체크할 수 있다.

다음은 위 방법을 파이썬 코드로 만든 것이다.

import numpy as np
 
trial = 10000000
sum = 0
 
for _ in range(trial):
    x = np.random.random()
    y = np.random.random()
    if (x**2 + y**2 <= 1):
        sum = sum + 1
 
print("The estimated PI value: %f" % (4*sum/trial))        #result# The estimated PI value: 3.141163