[다양체,텐서] 1.1 Differentiable Manifolds

Newton 역학에서 다루는 천체의 운동, 고전 전자기학에서 등장하는 전기장과 자기장의 변화 등은 미적분학에서 배운 Euclidean space, 특히 3차원 Euclidean space \(\mathbb{R}^3\) 벡터의 미분과 적분으로 표현된다. 예를 들어, 사람이 비스듬하게 공을 던졌을 때,

 

 

시간\(t\)에 대한 공의 위치를 \(\vec{r}(t)\)라고 하면, newton의 방정식

$$ \vec{F}_{\text{gravity}}=m\vec{g}=m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} ~~,~~ \vec{r}(t_0) = \vec{r}_0 ~~,~~ \frac{d\vec{r}}{dt}(t_0)= \vec{v}_0 $$

와 같이 표현된다. 이렇게 물리적 현상이 벡터의 미분과 적분으로 표현 가능한 이유는 공이 가질수 있는 모든 위치를 모아놓은 집합인 \(\mathbb{R}^3\)가 vector space이기 때문이다.([선형대수학] 1.1 Vector Space 참고)

 

그러나 포물선 운동과 같은 지표면에서의 물리적 현상을 지구 전체로 확장하는 경우 문제가 발생한다. 예를 들어 다음 그림과 같이, 물체를 북극에서 남쪽 방향으로 적도까지 이동시키고(\(A\)), 적도에서 동쪽으로 이동시킨후(\(B\)), 북극까지 불쪽으로 이동시키면(\(C\)) 제자리로 돌아오게 된다.

 

 

만약, 이 운동이 벡터로 기술된다면, \(A\)와 \(C\)는 방향이 남쪽으로 같으므로 \(A=C\)의 관계이므로, 총 이동량은

$$ A+B = C $$

이므로 \(B=0\)라는 이상한 결과를 얻는다. 이러한 사실은 지표면이 vector space가 아니며, 지표면에서의 운동을 vector로 표현할 수 없다는 것을 말해준다.

 

하지만, 벡터의 미분과 적분으로 표현되는 Newton 역학은 대포알의 경로, 당구공 충돌과 같은 현상들을 상당히 정확하게 기술해 준다. 왜 이러한 것이 가능한 것인가? 그 이유는 지표면 전체를 고려할 때는 vector space가 아니지만, 지표면의 일부분만을 고려하는 경우 Euclidean space와 기하학적 관점에서 동일하게 생각할 수 있기 때문이다.

 

이렇게 일부분의 영역을 Euclidean space로 대응시키고 여기에 미분과 적분을 할 수 있는 수학적 오브젝트들을 differentiable manifold라고 부른다.

 

 

Topological Manifolds

 

Differentiable manifold는 topological manifold라는 오브젝트의 한 종류이다. topological manifold는 일부 영역을 Euclidean space와 위상학적으로 동일하게 취급할 수 있는 집합(또는 도형)이라고 볼 수 있다.

 

DEFINITION            Topological Manifold

 

Topological space \(X\)가

 

1. Hausdorff : 임의의 서로 다른 point \(p_1\), \(p_2\)에 대하여 \(V_1 \cap V_2 = \emptyset\)인 neighborhood \(V_1 \ni x_1\), \(V_2 \ni x_2\)가 존재한다.(--topology, Hausdorff-- 참고)

 

2. locally Euclidean : 임의의 point \(x\)에 대하여 Euclidean space \(\mathbb{R}^n\)과 homeomorphic한 neighborhood가 존재한다.(--topology, homeomorphic-- 참고)

 

를 만족하는 경우 \(X\)를 \(n\)-dimensional topological manifold라고 부른다. (엄밀히 정의할 경우에는

 

3. second countability axiom : countable basis가 존재한다.(--topology,second countable, axiom-- 참고)

 

도 추가한다.)

 

(위상수학이 익숙하지 않은 경우, Hausdorff space를 수많은 점들이 촘촘히 차있는 space 정도로 생각하면 된다. Homeomorphic은 topology 관점에서 차이가 없다는 뜻이다. 좀 더 쉬운 관점으로는 space를 쪼개거나 찢음, 접합이 없이 단순히 늘이거나 구부림으로써 한쪽 space에서 다른쪽 space를 얻어낼 수 있다면 두 space는 homeomorphic하다고 생각하면 된다.--topology,homotopy-- 참고)

 

 

Differentiable Manifolds

 

지구를 축소한 모형인 지구본은 부피로 인한 불편함 때문에, 지구를 표현하기에 가장 적합한 형태인데도 불구하고 여행을 가면 그 지역을 파악하는데 지구본보다는 지도를 많이 사용한다. Differentiable manifold 개념은 지구를 지도로 표현하는 것과 비슷하다. 일반적인 space에서 연산을, 지도와 같이, 연산이 잘 정의된 Euclidean space로 옮겨와서 연산하는 것이 differentiable manifold의 핵심 개념이다. 이때 문제가 되는 것은 space 전체를 하나의 Euclidean space로 옮겨올 수 없기 때문에, 여러장의 지도가 필요한데, 지도가 일정 지역을 겹치는 경우 이것을 어떻게 처리하냐의 문제가 발생한다. 한 지도에서 부드러운 선으로 나타나던 것이, 갑자기 다른 지도에서 끊어져서 나타난다던지 하는 것과 같이 이상한 경우를 제외한 것이 바로 differentiable manifold이다.

 

DEFINITION            Differentiable Manifold

 

\(n\)-dimensional topological manifold \(M\)이 다음을 만족하는 open set \(U_\alpha \subset \mathbb{R}^n\)(coordinate patch라고 부른다)과 homeomorphism \(\varphi _\alpha : U_\alpha \to M\)(parameterization이라고 부른다, \(\varphi_\alpha ^{-1}\)은 chart라고 부른다) 묶음이 존재하는 경우 \(M\)을 \(n\)-dimensional differentiable manifold라고 부른다.

 

1. \(\bigcup _\alpha \varphi_\alpha (U_\alpha) = M \)

 

2. 임의의 index \(\alpha\), \(\beta\)에 대하여, open set \(W = \varphi_\alpha (U_\alpha) \cap \varphi_\beta (U_\beta)\)라고 하면, 함수

$$ \varphi _\alpha ^{-1} \circ \varphi_\beta ~~:~~ \varphi_\beta ^{-1} (W) \to \varphi_\alpha ^{-1} (W) $$

$$ \varphi _\beta ^{-1} \circ \varphi_\alpha ~~:~~ \varphi_\alpha ^{-1} (W) \to \varphi_\beta ^{-1} (W) $$

가 differentiable이다.(이들을 transition map이라고 부른다)

 

3. 묶음 \(\mathcal{A} = \{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}\)가 1, 2의 조건에 대하여 maximal이다. 즉, \(\varphi_\alpha : U_0 \to M\)이 임의의 \(\varphi \in \mathcal{A}\)와 2의 조건을 만족하면 \((U_0, \varphi_\alpha) \in \mathcal{A}\)이다.

 

1, 2 조건을 만족하는 묶음 \(\mathcal{A}\)를 \(M\)의 atlas라고 부르고, 3의 조건까지 만족하는 묶음을 maximal atlas 또는 differentiable structure라고 부른다.

 

2의 조건이 \(k\)번 미분가능으로 바뀔 경우 \(M\)을 \(C^k\)-manifold라고 부른다. 만약, 무한히 미분 가능일 경우 \(C^\infty\)-manifold 또는 smooth manifold라고 부른다.(같은 방식으로 \(C^1\)-manifold를 differentiable manifold, \(C^0\)-manifold를 topological manifold라고 할 수 있다.)

 

2의 조건에서 정의되는 transitition map이 복잡해 보이지만, 정의역과 공역을 잘 보면,

$$ \varphi_\alpha ^{-1}(W) \subset \mathbb{R}^n $$

임을 알 수 있다. 즉, \(\varphi _\alpha ^{-1} \circ \varphi_\beta\)는 미적분학에서 공부한 다변수 함수임을 알 수 있다.

$$ (\varphi _\alpha ^{-1} \circ \varphi_\beta) (x^1, x^2, \cdots, x^n) = (y^1,y^2, \cdots, y^n) $$

따라서 \(\varphi _\alpha ^{-1} \circ \varphi_\beta\)의 미분가능성은 문제없이 정의된다.

 

 

By Stomatapoll [CC BY-SA 3.0 ], from Wikimedia Commons

 

이후부터는, 논의의 편의성을 위해 differentiable manifold를 smooth manifold로 이해하고, 필요한 경우에만 \(C^k\)-manifold로 표현한다.

 

 

Eamples

 

이하의 예제에서 differentiable manifold의 일부가 차원에 맞는 Euclidean space의 부분집합으로 연결되는 것을 주목할 것. 또한 vector space가 아닌 differentiable manifold는 전체를 찢어짐 없이 Euclidean space의 부분집합에 대응시키는 것이 불가능하다는 점도 유의하며 살펴볼 것.

 

1. Circle \(S^1\) with Radius 1

 

원점을 중심으로하는 반지름 1의 원

$$ S^1 = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 ~|~ x^2+y^2=1 \} $$

은 1-dimensional differentiable manifold이다. 위에서 정의한 것들을 하나씩 확인해보자.

 

우선, coordinate patch를 다음과 같이 잡는다.

$$ U_1 = S^1 - \{(1,0)\} $$

$$ U_2 = S^1 - \{(-1,0)\} $$

 

 

그림에서와 같이 이 coordinate patch들은 원을 전부 커버한다. 그리고 각 coordinate patch에 대하여 parametrized function을

$$ \phi_1 (\theta) = (\cos\theta ,\sin\theta) $$

$$ \phi_2 (\varphi) = (\cos{(\varphi+\pi)},\sin{(\varphi+\pi)}) $$

로 잡으면, transition map은

$$ (\phi_2^{-1} \circ \phi_1) (\theta)= \left\{ \begin{array}{ccl} \theta+\pi & , & 0<\theta < \pi \\ \theta - \pi & , & \pi < \theta < 2\pi \end{array} \right. $$

으로 주어지며 1차 함수이므로 미분가능임을 쉽게 확인할 수 있다.

 

 

2. Spherical Shell \(S^2\) with Radius 1

 

반지름 1인 구면

$$ S^2 = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2+y^2+z^2=1\} $$

은 2-dimensional differentiable manifold이다. 생각하기 가장 쉬운 방법으로 구를 반구로 나눈 후에 각 점을 반구로 나눈 평면에 대응시키는 것이다. 이 때 반구는 open set이므로 boundary를 포함하지 않기때문에 구면 전체를 표함하기 위해서는 6개의 coordiante patch가 필요하다.

 

여기에서는 이 방법보다는 stereographic projection을 소개하겠다. Stereographic projection은 구면 위의 한점을 2차원 평면위의 점에 대응시키는 방법으로, 북극과 나타내고자하는 점을 연결하는 직선을 그리고, 그 직선이 xy평면에서 만나는 점에 대응시키는 방법이다. 

 

 

By Jean-Christophe BENOIST [GFDL, CC-BY-SA-3.0 or CC BY-SA 2.5 ], via Wikimedia Commons

 

북극은 이 방법으로 표현할 수 없기 때문에 북극을 표현하기 위해서는 남극을 이용한 stereographic projection으로 표현해야 한다. 그러므로 coordinate patch는

$$ U_N = S^2 - \{(0,0,1)\} $$

$$ U_S = S^2 - \{(0,0,-1)\} $$

로 잡고 parametrization을 각각 stereogaphic projection으로 잡으면 구면이 2-dimensional differentiable manifold임을 확인할 수 있다.

 

 

3. Non-equivalent Atlases

 

\(\mathbb{R}\)은 differentiable manifold의 개념상 1-dimensional differentiable manifold임을 쉽게 알수 있다. Coordinate patch를 \(\mathbb{R}\) 전체로 잡고, parametrization을 identity map \(\varphi _1(x)=x\)로 잡으면 된다.

 

\(\mathbb{R}\)에 정의되는 다른 atlas로는 \(\{(\mathbb{R},\varphi _2(x)=2x)\}\)도 가능하다. Differentiable manifold의 3번 조건에서 볼때,

$$ \varphi _1 ^{-1} \circ \varphi _2 (x) = 2x $$

$$ \varphi _2 ^{-1} \circ \varphi _1 (x) = \frac{x}{2} $$

이므로 사실 atlas \(\{(\mathbb{R},\varphi_1)\}\)과 \(\{(\mathbb{R},\varphi_2)\}\)는 같은 maximal atlas에 속해 있다. 즉, 두 atlas는 같은 differentiable structure를 표현하고 있다. 이렇게 같은 maximal atlas에 속하는 atlas들을 서로 equivalent 하다고 부른다.

 

이제 또다른 atlas \(\{(\mathbb{R},\varphi _3(x)=x^3 )\}\)를 정의해보자. 3번 조건에서

$$ \varphi _3 ^{-1} \circ \varphi _1(x) = x^{1/3} $$

이므로 \(x=0\)에서 미분가능하지 않다. 따라서 \(\{(\mathbb{R},\varphi_3)\}\)은 \(\{(\mathbb{R},\varphi_1)\}\)과 같은 maximal atlas에 속해 있지 않는다. 즉, 두 atlas는 다른 differentiable structure를 표현하고 있다.

 

 

4. Open Subset of a Differentiable Manifold

 

\(n\)-dimensional differentiable Manifold \(M\)의 open subset \(V\)도 \(n\)-dimensional differentiable manifold가 된다. \(M\)의 atlas가 \(\{(U_\alpha , \varphi _\alpha)\}\)라고 한다면, \(V\)의 coordinate patch를 \(U_\alpha ' = U_\alpha \cap V \)로, parametrization \(\varphi _{\alpha} ' = \varphi _{\alpha} |_{U _{\alpha} '}\)(restriction on \(U_\alpha\))으로 정의하면 atlas가 된다.

 

 

5. The Space of Matrices

 

\(M_{nn}\)을 \(n \times n\) matrix들의 집합이라고 하면, [선형대수학] 1.1 Vector Space에서 본 것과 같이 \(n^2\)-dimensional vector space이므로 \(\mathbb{R}^{n^2}\)와 같다.(행렬 값들을 일렬로 그냥 나열한 것과 같음) 따라서 \(M_{nn}\)은 \(n^2\)-dimensional differentiable manifold이다.

 

이제 invertible matix들의 집합

$$ \mathrm{GL}(n) =\{ A\in M_{nn} ~|~ \det{A}\ne 0 \} $$

은 determinant가 countinuous map이고 \(\mathbb{R}-{0}\)가 open set이므로, \(\mathrm{GL}(n)\)은 \(M_{nn}\)의 open subset이 된다. 따라서 \(\mathrm{GL}(n)\)은 \(n^2\)-dimensional differentiable manifold이다. (\(\mathrm{GL}(n)\)은 \(M_{nn}\)과 다르게 vector space가 아니다.)

 

 

6. The Real Projective Space \(P^n(\mathbb{R})\)

 

Euclidean space \(\mathbb{R}^{n+1}\)에서 원점 \((0,0,\cdots,0)\)을 지나는 직선들의 집합

$$ P^n(\mathbb{R}) = \{~ l:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^{n+1} ~|~ l(t)=t\mathbf{v} ~,~\mathbf{v}=(x^1,x^2,\cdots,x^{n+1})\ne \mathbf{0} ~\} $$

은 \(n\)-dimensional differentiable manifold가 된다. \(\mathbf{v}\)를 이용한 직선 \(l(t)\)를

$$ l(t)=t\mathbf{v} ~~\longrightarrow~~ [x^1,x^2,\cdots,x^{n+1}] $$

로 표현하자. (\(\mathbf{v}\)와 \(\lambda\mathbf{v}\)는 같은 직선을 표현하므로 \([x^1,x^2,\cdots,x^{n+1}]=\lambda \cdot [x^1,x^2,\cdots,x^{n+1}]\)이다.)

 

\(P^n(\mathbb{R})\)의 Hyperplane

$$ V_i = \{ [x^1,x^2,\cdots,x^{n+1}] ~|~ x_i \ne 0 \} $$

그리고 \(V_i\)의 parametrization을

$$ \varphi_i (x^1,\cdots,x^n) = [x^1,\cdots,x^{i-1},1,x^{i+1},\cdots,x^n] $$

로 잡으면,

$$ W_{ij} = V_i \cap V_j = \{ [ x^1,\cdots,x^{n+1}] ~|~ x_i , x_j \ne 0\} ~~\mathrm{for}~i< j$$

에 대하여, transition map

$$ \varphi_i ^{-1} \circ \varphi_j (x^1, \cdots,x^n) = (\frac{x^1}{x^i}, \cdots , \frac{x^{i-1}}{x^i},\frac{x^{i+1}}{x^i},\cdots,\frac{x^{j-1}}{x^i} ,\frac{1}{x^i},\frac{x^j}{x^i},\cdots,\frac{x^n}{x^i}) $$

이므로 \(\{(\varphi _i ^{-1}(V_i),\varphi_i)\}\)는 atlas가 된다.