manifold13 [다양체,텐서] 2.5 Integrations on Manifolds 이 페이지에서는 n-dimensional smooth manifold에서 n-form의 적분을 살펴본다. Integration on Euclidean Space 일반적인 manifold에서의 적분을 살펴보기 이전에 Euclidean space Rn에서 n-form의 적분을 정의하자. DEFINITION Support (Euclidean Space) Rn에 정의된 함수 f:Rn→R 에 대하여, f(x)가 0이 아닌 x들의 집합의 closuresupp f={ x∈Rn | f(x)≠0 }―를 .. 2018. 9. 8. [다양체,텐서] 2.3 Tensor Fields Manifold의 기하학에 등장하는 curvature와 같은 오브젝트를 다루기 위해서는 tensor field를 정의해야 한다. 이 페이지에서는 manifold에서의 tensor field와 tensor의 coordinate change에 대하여 살펴본다. Cotangent Space n-dimentional differentiable manifold M에 정의 되는 real-valued differentiable function f:M→R 에 대하여, M의 point p에서의 differential (df)p 를 생각해보자. 1.4 Derivatives of Differentiable maps에서 정의한 것과 같이 (df)p.. 2018. 9. 8. [다양체,텐서] 1.7 Submanifold Spherical shell S2나 torus T2와 같은 manifold는 3차원 Euclidean space R3에서 manifold의 모양을 완전히 표현할 수 있다. By MarinaVladivostok [CC0 or Public domain] , from Wikimedia Commons By LucasVB [Public domain], from Wikimedia Commons 그러나 2-dimensional differentiable manifold인 Klein bottle은 3차원 Euclidean space에서 표현하게 되면 아래 그림처럼 manifold가 정상적으로 표현되지 않는다. By Tttrung [GFDL, CC-BY-SA-3.0 or CC .. 2018. 8. 18. [다양체, 텐서] 1.6 Integral Curve 전자기학에서 가장 중요한 방정식 중 하나인 Gauss 법칙을 이해하는데 선속이라는 개념이 등장한다. 전기장을 전하 원천에서 시작해서 뻗어나오는 선으로 인식하고 그 선이 어떤 면을 통과하는 것으로 선속을 시각화 할 수 있다. 이때, 전하 원천에서 뻗어나와 전기장을 시각화한 직선을 수학적으로 integral curve라고 한다. Integral Curve, Local Flow DEFINITION Integral Curve Smooth manifold M에 주어진 smooth vector field X에 대하여, smooth curve γ:I→M가 $$ \dot{\gamma}(t) = X_{\gamma(t)} \mathrm{~~~for~}t\in (-\epsilon,\.. 2018. 8. 18. [다양체,텐서] 1.1 Differentiable Manifolds Newton 역학에서 다루는 천체의 운동, 고전 전자기학에서 등장하는 전기장과 자기장의 변화 등은 미적분학에서 배운 Euclidean space, 특히 3차원 Euclidean space R3 벡터의 미분과 적분으로 표현된다. 예를 들어, 사람이 비스듬하게 공을 던졌을 때, 시간t에 대한 공의 위치를 r→(t)라고 하면, newton의 방정식 F→gravity=mg→=md2r→dt2 , r→(t0)=r→0 , dr→dt(t0)=v→0 와 같이 표현된다. 이렇게 물리적 현상이 벡터의 미분과 적분으로 표현 가.. 2018. 8. 6. 이전 1 2 다음
