manifold13 [다양체,텐서] 2.5 Integrations on Manifolds 이 페이지에서는 \(n\)-dimensional smooth manifold에서 \(n\)-form의 적분을 살펴본다. Integration on Euclidean Space 일반적인 manifold에서의 적분을 살펴보기 이전에 Euclidean space \(\mathbb{R}^n\)에서 \(n\)-form의 적분을 정의하자. DEFINITION Support (Euclidean Space) \(\mathbb{R}^n\)에 정의된 함수 \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 에 대하여, \(f(x)\)가 0이 아닌 \(x\)들의 집합의 closure$$ \mathrm{supp~}f = \overline{\{~ x\in \mathbb{R}^n ~|~f(x)\ne 0 ~\}} $$를 .. 2018. 9. 8. [다양체,텐서] 2.3 Tensor Fields Manifold의 기하학에 등장하는 curvature와 같은 오브젝트를 다루기 위해서는 tensor field를 정의해야 한다. 이 페이지에서는 manifold에서의 tensor field와 tensor의 coordinate change에 대하여 살펴본다. Cotangent Space \(n\)-dimentional differentiable manifold \(M\)에 정의 되는 real-valued differentiable function \(f:M \to \mathbb{R} \) 에 대하여, \(M\)의 point \(p\)에서의 differential \((df)_p\) 를 생각해보자. 1.4 Derivatives of Differentiable maps에서 정의한 것과 같이 \((df)_p\).. 2018. 9. 8. [다양체,텐서] 1.7 Submanifold Spherical shell \(S^2\)나 torus \(T^2\)와 같은 manifold는 3차원 Euclidean space \(\mathbb{R}^3\)에서 manifold의 모양을 완전히 표현할 수 있다. By MarinaVladivostok [CC0 or Public domain] , from Wikimedia Commons By LucasVB [Public domain], from Wikimedia Commons 그러나 2-dimensional differentiable manifold인 Klein bottle은 3차원 Euclidean space에서 표현하게 되면 아래 그림처럼 manifold가 정상적으로 표현되지 않는다. By Tttrung [GFDL, CC-BY-SA-3.0 or CC .. 2018. 8. 18. [다양체, 텐서] 1.6 Integral Curve 전자기학에서 가장 중요한 방정식 중 하나인 Gauss 법칙을 이해하는데 선속이라는 개념이 등장한다. 전기장을 전하 원천에서 시작해서 뻗어나오는 선으로 인식하고 그 선이 어떤 면을 통과하는 것으로 선속을 시각화 할 수 있다. 이때, 전하 원천에서 뻗어나와 전기장을 시각화한 직선을 수학적으로 integral curve라고 한다. Integral Curve, Local Flow DEFINITION Integral Curve Smooth manifold \(M\)에 주어진 smooth vector field \(X\)에 대하여, smooth curve \(\gamma : I \to M\)가 $$ \dot{\gamma}(t) = X_{\gamma(t)} \mathrm{~~~for~}t\in (-\epsilon,\.. 2018. 8. 18. [다양체,텐서] 1.1 Differentiable Manifolds Newton 역학에서 다루는 천체의 운동, 고전 전자기학에서 등장하는 전기장과 자기장의 변화 등은 미적분학에서 배운 Euclidean space, 특히 3차원 Euclidean space \(\mathbb{R}^3\) 벡터의 미분과 적분으로 표현된다. 예를 들어, 사람이 비스듬하게 공을 던졌을 때, 시간\(t\)에 대한 공의 위치를 \(\vec{r}(t)\)라고 하면, newton의 방정식 $$ \vec{F}_{\text{gravity}}=m\vec{g}=m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} ~~,~~ \vec{r}(t_0) = \vec{r}_0 ~~,~~ \frac{d\vec{r}}{dt}(t_0)= \vec{v}_0 $$ 와 같이 표현된다. 이렇게 물리적 현상이 벡터의 미분과 적분으로 표현 가.. 2018. 8. 6. 이전 1 2 다음
