[양자역학] 3.5 생성자, 소멸자 Creation and Annihilation Operators

Harmonic oscillator의 energy level을 구하기 위해 3.1 조화진동자 Harmonic Oscillator에서 Schrödinger equation

$$(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2)\psi (x)=E\psi (x)$$

의 해를 구했다. 그러나 미분방정식이 아닌 linear operator를 통해 energy level과 eigenvector 구조를 구할 수 있다. 이번 페이지에서는 linear operator를 통해 Harmonic oscillator를 풀어보자.

#Creation Operators #Annihilation Operators

고전적 Harmonic oscillator의 Hamiltonian은

$$\mathcal{H}=\frac{1}{2m}{p}^2+\frac{m{\omega }^2}{2}{x}^2$$

을 변형하여

$$\mathcal{H}=\hslash \omega (\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}x+i\sqrt{\frac{1}{2m\hslash \omega }}p)(\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}x-i\sqrt{\frac{1}{2m\hslash \omega }}p)$$

이제 새로운 변수

$$a=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}x+i\sqrt{\frac{1}{2m\hslash \omega }}p$$

로 정의하면, $a$의 complex conjugate는

$$a^{\ast }=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}x-i\sqrt{\frac{1}{2m\hslash \omega }}p$$

이므로

$$\mathcal{H}=\hslash \omega a{a}^{\ast }$$

를 얻는다. 양자역학의 Hamiltonian operator도 이와 같은 방식으로 정의할 수 있다. 고전역학의 변수 $x$, $p$가 양자역학에서는 linear operator $X$, $P$가 된 것처럼, 변수 $a$도 linear operator가 된다.

$$a=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}X+i\sqrt{\frac{1}{2m\hslash \omega }}P$$

그리고 complex conjugate는 operator에서는 Hermitian adjoint가 된다.

$$a^{†}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}X-i\sqrt{\frac{1}{2m\hslash \omega }}P$$

그러나 고전역학의 표현을 양자역학의 operator로 바꿀 때, 변수의 덧셈과 뺄셈은 문제가 없으나, 변수의 곱셈과 나눗셈이 문제가 된다. 예를 들어 고전역학의 표현 $xp$를 양자역학의 operator로 바꿀 때는 $XP$로 바꿔야 하는지, 아니면 $PX$나 $\frac{PX}{2}+\frac{XP}{2}$로 바꿔야 하는지 정해져 있지 않다. 분명히 $XP$와 $PX$ 등은 다른 값을 가진다. 그러므로 operator의 곱셈이 있는 경우에는 주의해야 한다.

$a$와 $a^{†}$의 곱은 다음과 같다. 

$$\begin{array}{rl}{a}^{†}a& =(\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}X-i\sqrt{\frac{1}{2m\hslash \omega }}P)(\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}X+i\sqrt{\frac{1}{2m\hslash \omega }}P)\\ & =\frac{m\omega }{2\hslash }{X}^2+\frac{1}{2m\hslash \omega }{P}^2+i\frac{1}{2\hslash }(XP-PX)\\ & =\frac{m\omega }{2\hslash }{X}^2+\frac{1}{2m\hslash \omega }{P}^2+i\frac{1}{2\hslash }[X,P]\\ & =\frac{m\omega }{2\hslash }{X}^2+\frac{1}{2m\hslash \omega }{P}^2-\frac{1}{2}\end{array}$$

따라서 Hamiltonian operator는 $a$와 $a^{†}$를 이용해 표현될 수 있다.

$$H=\hslash \omega (a^{†}a+\frac{1}{2})$$

$a$와 $a^{†}$ 그리고 $H$는 다음과 같은 관계에 있다.

$$\begin{array}{rl}[a^{†},H]& =-\hslash \omega a^{†}\\ [a,H]& =\hslash \omega a\\ [a,a^{†}]& =1\end{array}$$

이제 $H$의 eigenvalue $E$에 대한 eigenvector를 $|E⟩$라고 하자.

$$H|E⟩=E|E⟩$$

이 vector에 $a$를 작용하면 어떤 vector가 되는지 살펴보기 위하여

$$\begin{array}{rl}Ha|E⟩& =(aH-[a,H])|E⟩\\ & =aH|E⟩-[a,H]|E⟩\\ & =E(a|E⟩)-\hslash \omega (a|E⟩)\\ & =(E-\hslash \omega )(a|E⟩)\end{array}$$

즉, $a|E⟩$는 $H$의 eigenvector가 되고 이 때의 eigenvalue는 $E-\hslash \omega$가 된다.

$$a|E⟩=c_E|E-\hslash \omega ⟩$$

이 때, $c_E$는 계수만큼의 차이가 있을 수 있다는 의미이다. (계수 값만 다른 vector는 물리적으로 같은 state를 표현한다.) 같은 방식으로 $a^{†}|E⟩$는

$$a^{†}|E⟩=c_E^{\prime }|E+\hslash \omega ⟩$$

이런식으로 계속 해나가면

$$\cdots \rightleftarrows |E-2\hslash \omega ⟩\stackrel{a^{†}}{\underset{a}{\rightleftarrows }}|E-\hslash \omega ⟩\stackrel{a^{†}}{\underset{a}{\rightleftarrows }}|E⟩\stackrel{a^{†}}{\underset{a}{\rightleftarrows }}|E+\hslash \omega ⟩\stackrel{a^{†}}{\underset{a}{\rightleftarrows }}|E+2\hslash \omega ⟩\rightleftarrows \cdots$$

즉, $a^{†}$는 energy가 $\hslash \omega$ 씩 늘어나고 $a$는 energy가 $\hslash \omega$씩 없어지는 operator라고 할 수 있다. 그래서 $a^{†}$를 creation operator, $a$를 annihilation operator라고 부른다. 이를 $\hslash \omega$의 energy를 기본 입자로 생각하고 입자가 생기고 없어진다고 생각할 수도 있다.

#Energy Level of Harmonic Oscillator

$H$는 $X$의 제곱과 $P$의 제곱으로 이루어져 있기 때문에, eigenvalue는 음수가 될 수 없다. ($E[P^2]$는 wave function이 $|E⟩$일 때 $P^2$의 기대값, $E[X^2]$는 $X^2$의 기대값)

$$E=⟨E|H|E⟩=⟨E|\frac{P^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{X}^2|E⟩=\frac{1}{2m}E[P^2]+\frac{m{\omega }^2}{2}E[X^2]\ge 0$$

따라서 eigenvalue는 최소값이 존재한다. 이 최소값을 $E_0$라고 하자. 이 최소값에 대한 eigenvector $|E_0⟩$에 $a$를 작용하면, eigenvalue가 더 낮아질 수 없기 때문에, zero vector가 된다.

$$a|E_0⟩=0$$

따라서

$$a^{†}a|E_0⟩=0$$

이다. 이 때 $a^{†}a=\frac{1}{\hslash \omega }H-\frac{1}{2}$이므로

$$(\frac{1}{\hslash \omega }H-\frac{1}{2})|E_0⟩=0$$

따라서

$$H|E_0⟩=\frac{1}{2}\hslash \omega |E_0⟩$$

즉, energy의 최소값은 $\frac{1}{2}\hslash \omega$이다. 그리고 여기에 $a^{†}$를 $n$번 작용하여 harmonic oscillator의 모든 energy level을 얻을 수 있다.

$$E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega ,n=0,1,2,\cdots$$

이 결과는 Schrodinger equation을 풀어서 나온 결과와 동일하다. 이제 eigenvalue $E_n$에 대한 eigenvector를 $|E_n⟩$ 대신 quantum number를 이용하여 $|n⟩$으로 표현하도록 하겠다.

#Orthonormal Property of Eigenvectors

임의의 Hermitian operator $T$에 대하여, eigenvalue가 다른 eigenvector들은 서로 orthogonal하다. 따라서 $H$의 경우도 마찬가지이다. 각 eigenvector에 적당한 상수를 곱하면, 자기 자신과의 inner product를 1로 만들 수 있다.

$$⟨n|m⟩={\delta }_{nm}$$

#Complete $a$ and $a^{†}$

$a|n⟩=c_n|n-1⟩$에서 $c_n$을 구하기 위해

$$⟨a(n)|a(n)⟩=c_n^{\ast }{c}_n⟨n-1|n-1⟩$$

으로부터,

$$⟨a(n)|a(n)⟩=⟨n|a^{†}a|n⟩=⟨n|\frac{1}{\hslash \omega }H-\frac{1}{2}|n⟩=n$$

이므로

$$c_n^{\ast }{c}_n=n$$

을 얻는다. 이를 만족하는 $c_n$은 무수히 많지만, 보통 real number로 택한다. 따라서,

$$a|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$$

같은 방식으로

$$a^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$$

임을 구할 수 있다.