[다양체,텐서]1.2 Differentiable Maps, Diffeomorphism

수학에서는 한 종류의 space 개념이 소개되면, 그 다음에는 항상 그 종류의 space들 사이의 함수를 살펴보고 특별한 특성을 가진 작업을 한다. Differentiable manifold가 Euclidean space 사이의 함수의 미분을 일반적인 space로 확장하기 위한 것이므로 여기에서는 differentiable manifold 사이의 함수에 대한 미분 가능성을 살펴본다.

 

 

Differentiable Map

 

DEFINITION            Differentiable Map 

 

\(m\)-dimensional differentiable manifold \(M\)과 \(n\)-dimensional differentiable manifold \(N\)에 대하여, 함수 \(f:M\to N\)이

$$ \psi ^{-1} \circ f \circ \varphi ~:~ U\subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n $$

을 만족하는 \(M\)의 atlas \((U,\varphi)\), \(N\)의 atlas \((V,\psi)\)가 존재하는 경우, \(f\)를 differentiable map이라고 부른다.

 

\(M\)에서 \(N\)으로의 differentiable map들의 집합을 \(C^1(M,N)\)으로 표현한다. 같은 방식으로 \(C^2(M,N)\), \(C^3(M,N)\), ..., \(C^\infty(M,N)\), 그리고 countinuous map들의 집합 \(C^0(M,N)\)으로 정의할 수 있다.

 

By Stomatapoll [CC BY-SA 3.0 ], from Wikimedia Commons, (modified)

 

 

 

Examples

 

1.

 

\(S^1\)에서 \(S^2\)로의 함수

$$ f(x,y) = (x,y\sqrt{1-x^2},xy) $$

의 미분가능성을 확인해 보자.

 

Differentiable structure는 1.1 Differentiable Manifolds에서 논의했던 것과 동일하게 한다. differentiable map의 정의상 모든 coordinate patch에 대하여 적용해봐야 하지만, 여기에서는 그중에 하나만 택해서 확인해본다.

 

\(S^1\)의 chart \(0<\theta < 2\pi\)에 대하여 parametrization \(\phi_1(\theta) = (\cos\theta,\sin\theta)\)로, \(S^2\)의 stereographic projection \(\mu^{-1} (x,y,z) = ( \frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z} )\)로부터

$$ \mu^{-1} \circ f \circ \phi_1 (\theta) = \left( \frac{\cos\theta}{1-\sin\theta \cos\theta} , \frac{\sin^2 \theta}{1-\sin\theta \cos\theta} \right) $$

을 얻는다. 이 함수는 \(0<\theta<2\pi\)에서 미분가능임을 쉽게 확인할 수 있다.

 

 

2.

 

Euclidean space는 그 자체로 diffeentiable manifold의 구조를 가지기 때문에, 다음과 같이 2가지 종류의 differentiable function을 생각할 수 있다.

 

① real-valued function \(f:M\to \mathbb{R}\)

 

② differentiable curve \(g:(-\epsilon,\epsilon)\subset \mathbb{R} \to M \)

 

이 함수들은 manifold에서의 연산 표현이 Euclidean space에서의 연산 표현과 일관되도록 해준다. \(M\)의 chart \(\varphi\)는 다음과 같이 \(m\)개의 differentiable real-valued functiond으로 표현할 수 있다.

$$ \varphi (p) = (x^1(p),x^2(p),\cdots,x^m(p)) $$

이를 이용하여 임의의 real-valued function에 대하여 점 \(p\) 위에서의 partial derivative를

$$ \frac{\partial f}{\partial x^i} := \left. \frac{\partial}{\partial x^i}(f\circ \varphi ^{-1}) \right| _{\varphi(p)} $$

과 같이 표현할 수 있다.

 

 

Diffeomorphism

 

 

[선형대수학] 2.3 Isomorphism에서 두개의 vector space이 서로 isomorphic이면 vector space 관점에서 동일하다는 것을 보았다. (--topology, homeomorphism--)에서 두개의 topological space가 서로 homeomorphic이면 topological space 관점에서 동일하다. 같은 방식으로 동일한 differentiable structure는 differentialbe map으로부터 정의되는데, 이를 diffeomorphism이라고 부른다.

 

DEFINITION            Diffeomorphism

 

두 개의 differentiable manifold \(M\), \(N\) 사이에, 함수 \(f:M\to N\)이 differentiable이고, bijevtive이고, \(f^{-1}\)가 differentiable이면, \(M\)과 \(N\)을 서로 diffeomorphic하다고 부르고 함수 \(f\)를 diffeomorphism이라고 부른다.

 

많은 경우 bijective를 만족하지 못하여 전체적으로는 동일한 구조는 아니지만, 부분적으로 동일한 구조가 되는 경우가 많은데 이를 locally diffeomorphic으로 정의한다.

 

DEFINITION            Local Diffeomophism

 

\(M\), \(N\)을 differentiable manifold라고 하자. 함수 \(f:M\to N\)가 \(M\)의 point \(x\)와 \(x\)의 neighborhood \(V\), \(V\)의 \(f\) 이미지 \(W=f(V)\)에 대하여 restriction \(\left. f \right|_{V} :V\to W\)가 diffeomorphism인 경우 \(f\)를 \(x\)에서의 local diffeomorphism이라고 한다.