[미적분학] PRE. 실수 체계 Real Number System

미적분학을 공부하기 위해서는 실수 체계, 함수, 좌표 등에 대하여 충분한 이해가 필요하다. 본격적인 내용에 앞서 자주 사용할 개념들을 리뷰하는 시간을 가지자. 만약 여기에 나온 내용들이 익숙하지 않거나 이해되지 않는다면 고등학교 수학 내용을 다시 한번 보도록 하자.

#Real Numbers

미적분학은 real number(실수)의 특징을 기초로 세워진 학문이므로 real number에서 어떤 것들이 가능한지 알아보는 것이 시작이 된다. 일단 real number들에는 어떤 것들이 있는지 살펴보자.

     ① Natural numbers(자연수) : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ....

     ② Integers(정수) : ... , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

     ③ Rational numbers(유리수)  (예) \(\frac{1}{2}\), \(-3\frac{5}{7}\), ...

     ④ Irrational numbers(무리수)  (예) \(\sqrt{2}\), \(\frac{3}{\sqrt{2}}\), ...

     ⑤ Real numbers(실수) : 유리수와 무리수를 모두 포함

수학에서는 집합으로 표현하는 경우가 많다. 특히 위와 같은 수들의 집합은 자주 쓰이기 때문에 특별한 기호로 쓰는 것이 약속되어 있다.

     \(\mathbb{N}\) : 모든 자연수들의 집합

     \(\mathbb{Z}\) : 모든 정수들의 집합

     \(\mathbb{Q}\) : 모든 유리수들의 집합

     \(\mathbb{R}\) : 모든 실수들의 집합

Integers는 natural numbers를 포함하고, rational numbers는 integers를 포함하며, real numbers는 rational numbers를 포함한다. 이를 위의 집합과 집합기호를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \mathbb{N} ~\subset~ \mathbb{Z} ~\subset~ \mathbb{Q} ~\subset~ \mathbb{R} $$

벤 다이어그램을 이용하면 다음 그림처럼 표현할 수 있다.

Mortalmoth / Public domain via WiKimedia

#Basic Properties of Real Numbers

real number의 특징은 3가지로 압축될 수 있다. ① 4칙 연산 ② 대소 관계 ③ completeness(완비성). 하나하나 살펴보자.

1. 4칙 연산

real number에 정의되는 기본 연산 \(+\), \(\times\)는 다음과 같은 성질이 있다.

SUPPLEMENT            

 

① Commutative properties of \(+\) and \(\times\) (덧셈과 곱셈의 교환 법칙)

$$ \begin{align*} a + b &= b + a \\ \\ a \times b &= b \times a \end{align*} $$

② Associative properties of \(+\) and \(\times\) (덧셈과 곱셈의 결합 법칙)

$$ \begin{align*} a + ( b + c ) &= (a + b) + c \\ \\ a \times ( b \times c ) &= (a\times b) \times c \end{align*} $$

③ Distribution laws (분배 법칙)

$$ a\times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) $$

다른 연산 \(-\), \(\div\)는 음수의 덧셈, 역수의 곱셈으로 생각할 수 있다. 단, \(\div 0\) 라는 연산은 없다는 것을 꼭 기억하자.

2. 대소 관계

2개의 real number들은 서로 크기를 비교할 수 있다. 즉, 2개의 real number \(a\)와 \(b\)에 대하여, \(a<b\) 이거나 \(a>b\) 아니면 \(a=b\) 이렇게 3가지 경우 중 하나이다. 이러한 대소 관계에는 다음과 같은 성질이 있다.

SUPPLEMENT            

  ① 만약 \(a<b\) 이면, \(a + c < b + c\) 이다.

  ② 만약 \(a<b\) 이면, \(a - c < b - c\) 이다.

  ③ 만약 \(a<b\) 이고 \(c>0\) 이면, \(a \times c < b \times c \) 이다.

  ④ 만약 \(a<b\) 이고 \(c<0\) 이면, \(a \times c > b \times c \) 이다.

  ⑤ 만약 \(a>0\) 이면, \(\frac{1}{a} > 0\) 이다.

  ⑥ 만약 \(a \times b > 0\) 즉, \(a\)와 \(b\) 둘다 양수이거나 음수이고, \(a>b\)이면, \(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\) 이다.

  ⑦ 만약 \(a<b\) 이고 \(b<c\) 이면, \(a<c\) 이다.

모든 수들의 크기를 비교할 수 없다는 점에서 real number들끼리 크기를 비교한다는 것은 중요한 특징이다. 크기를 비교할 수 없는 대표적인 수들이 real number에 imaginary number(허수)의 개념을 포함시킨 complex number(복소수)이다.

3. completeness

이름부터 엄청 어려워 보이는 개념이지만, 개념 자체는 크게 어려운 것은 아니다. completeness는 real number들 사이에는 빈공간이 없도록 꽉 채워져 있다는 개념이다. 이와 비슷한 개념으로 서로 다른 2개의 real number 사이에는 real number가 있다는 개념이 있는데 약간 다르다. Rational number도 서로 다른 2개 사이에는 rational number가 있지만, rational number 사이에는 빈공간이 있다.

(좀 더 정확히는 수열의 개념으로 설명된다. 예를 들어,

$$ \begin{gather*} 1 & 1.4 & 1.41 & 1.414 & 1.4142 & 1.41421 & ... \end{gather*} $$

과 같은 수열이 있을 때 이 수열은 \(\sqrt{2}\)로 수렴한다. 수열을 보면, 모든 수열 값들은 rational number이지만, 수렴값은 rational number가 아니다. 즉, rational number는 수렴값들이 비어있다는 뜻이다. 이러한 일이 real number에서는 일어나지 않는다. real number들로 이루어진 모든 수렴하는 수열은 수렴값도 real number이다. 이를 completeness라고 한다. 자세한 내용은 --diff, cauchy sequence-- 참고)

#Etc.

1. Absolute Value(절대값)

4칙 연산 외에 자주 사용되는 연산으로 absolute value가 있다. 보통 \(a\)의 absolute value \(|a|\)는 0에서 \(a\)까지의 거리로 정의하고, 단순히 부호를 제거하는 거나 양수로 만들어 주는 것으로 계산한다. absolute value는 다음과 같은 특징이 있다.

SUPPLEMENT            

  ① \(|a| = |-a|\)

  ② \(|a\times b| = |a| \times |b| \)

  ③ Triangle inequality : \(|a+b| \le |a| + |b|\)

\(\sqrt{a^2}\)는 \(a\)가 아니라 \(|a|\)이다. 제곱근 안이 수로 되어있을 때는 실수하지 않지만, 문자로 되어있을 때는 자주 일어나는 실수이니 주의하자. 

2. Archimedean Property(아르키메데스 특징)

자주 사용하는 real number의 특징이지만 눈치채지 못하고 넘어가는 특징이다. Archimedean property는 다음과 같다. 2개의 positive real number \(x\), \(y\)가 \(x<y\) 이면, \(n \times x > y\) 인 자연수 \(n\)이 존재한다. 즉, \(x\)를 계속 더하다 보면 언젠가는 \(y\)보다 커진다는 뜻이다.