[통계학] 1.4 랜덤 변수 Random Variables

많은 경우 사건 자체보다 그 사건을 대표하는 값을 다루는 경우가 많다. 예를 들어, 1000명이 어떤 사안에 찬반 투표를 할 때, 1000명이 각각 찬성, 반대를 표현하는 자체보다 찬성이 몇 명인지로 결정된다. 시험을 보는 경우, 각각의 문제에 대하여 정답을 맞췄는지가 중요한게 아니라 최종 점수가 중요한 경우가 많다. 이렇게 각각의 사건에 대하여, 이를 표현하는 값으로 바꾸는 것을 random variable(랜덤 변수)라고 부른다.

DEFINITION            Random Variables

Sample space에서 실수 집합으로의 함수를 random variable이라고 한다.

$$ X: S \to \mathbb{R} $$

예를 들어 다음과 같은 확률 시스템에서 random variable을 다음과 같이 정의할 수 있다. 보통 random variable은 대문자로 표현하고, random variable의 값은 소문자로 표현한다.

확률 시스템	Random Variable
동전 10번 던지기	\(X=\) 앞면이 나온 횟수
로또 구입	\(X=\) 상금
주사위 3개 던지기	\(X=\) 주사위의 합

Random variable을 꼭 이런식으로 정의할 필요는 없다. 동전 10번 던지기의 random variable을 \(Y=1\)로 정의할 수도 있다. 또는 \(Z=e^{\text{앞면}\times\text{뒷면}}\)와 같이 정의할 수도 있다. 다만 \(Y\)는 대부분의 경우에 쓸모없을 것이고 \(Z\)는 너무 복잡할 것이다. 상황에 맞춰 필요한 random variable을 정의하면 된다.

Random variable이 정의되면, event에 대하여 정의되었던 확률을 random variable을 이용해 다음과 같이 재정의 할 수 있다. Sample space가 countable인 경우

$$ P_X (X=x_i) = P(~\{s_j \in S ~|~ X(s_j) = x_i \}~) $$

로 \(P_X\)로 정의하면,

   ⓐ \(P\)가 non-negative이므로 \(P_X\)는 당연히 non-negative

   ⓑ \(P_X (\text{im }X) = P(S) = 1\)

   ⓒ \(A \cap B =\emptyset\)이면, 

$$ \begin{align*} P_X (X \in A\cap B) &= P(~\{s_j \in S ~|~ X(s_j) \in A \}~ \cap ~\{s_j \in S ~|~ X(s_j) \in B \}~) \\ \\ &= P(~\{s_j \in S ~|~ X(s_j) \in A \}~)+P(~\{s_j \in S ~|~ X(s_j) \in B \}~) \\ \\ &= P_X(X\in A) + P_X(X\in B) \end{align*} $$

이므로 [통계학] 1.2 확률 Probability에서 정의한 probability function의 조건을 모두 만족함을 알 수 있다. Sample space가 uncountable인 경우

$$ P_X(X\in A) = P(~\{ s\in S ~|~ X(s) \in A \}~) $$

로 정의하면 probability function의 조건을 만족한다.

Example

1. 동전 3번 던지기

동전을 3번 던지는 게임에서 random variable \(X\)를 앞면이 나오는 횟수로 정의하자. 각 경우의 수와 \(X\)는 다음 표와 같다.

첫번째	두번째	세번째	X		첫번째	두번째	세번째	X
앞면	앞면	앞면	3		뒤면	앞면	앞면	2
앞면	앞면	뒤면	2		뒤면	앞면	뒤면	1
앞면	뒤면	앞면	2		뒤면	뒤면	앞면	1
앞면	뒤면	뒤면	1		뒤면	뒤면	뒤면	0

따라서 각 경우의 수마다 1/8의 확률을 가지고, \(X\)가 1인 경우는 3이므로 \(P_X(X=1)=3/8\)이다. 마찬가지로 random variable에 대한 확률을 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$ \begin{align*} P(X=0) &= \frac{1}{8} \\ \\ P(X=2) &= \frac{3}{8} \\ \\ P(X=3) &= \frac{1}{8} \end{align*} $$