[통계학] 1.1 표본 공간, 사건 Sample Space, Event

중학교와 고등학교에서 수학시간에 배우게 되는 확률은 "일어날 수 있는 모든 경우에 대하여 원하는 사건이 일어날 가능성"으로 정의하고 여러 가지 상황에서 경우의 수를 구하는 연습을 한다. 예를 들어, 정육면체 주사위 2개를 던졌을 때, 합이 7이 나올 확률을 구하기 위해서는

① 정육면체 주사위 2개를 던졌을 때 나오는 모든 경우의 수를 구하고, (모든 경우의 수: 36)

② 합이 7이 되는 주사위 짝의 경우의 수를 구하여, (사건의 경우의 수: 6)

③ 2번을 1번으로 나누어서 확률을 구한다. (확률: \(\frac{6}{36} = \frac{1}{6}\))

\(n\)명의 사람을 일렬로 세우는 방법의 수, \(n\)명의 사람들 가운데서 \(m\)명을 뽑아 일렬로 세우는 방법의 수, \(n\)명의 사람들 가운데 \(m\)명의 대표를 뽑는 방법의 수들이 각각 factorial, permutation, combination이라는 것은 수없이 많은 문제를 풀어보며 익혔을 것이다.

그러나 꼭 주사위를 던졌을 때, 모든 값들의 확률이 똑같을 이유는 없다. 예를 들어, 1은 다른 값들에 비하여 5배 더 높은 비율로 나오는 것도 가능하다. 이러한 경우 주사위를 던졌을 때 1이 나올 확률은 \(\frac{5}{10}\)이고, 다른 값들은 각각 \(\frac{1}{10}\)의 확률을 가질 것이다. 이처럼 수학에서는, 어떤 값들이 "가능성"을 나타낸다고 할 때 만족할 것 같은 몇 가지 특징을 만족하면, 모두 확률이라고 부른다. 이번 페이지에서는 확률을 정의하기 위해 필요한 개념인 sample space와 event에 대하여 정의하고 몇 가지 예를 살펴보자.

DEFINITION            Sample Space

 

특정한 실험 또는 측정에서 나올 수 있는 모든 결과를 모아놓은 집합을 sample space라고 한다.

1. 동전 던지기

동전을 한번 던졌을 때 앞면과 뒷면 중에 어떤 것이 나올지 맞히는 내기를 했을 때, sample space는

$$ A = \left\{ \text{앞면} , \text{뒷면} \right\} $$

가 된다. 만약 동전을 두번 던졌을 때는,

$$ (\text{첫번째 나온 면} , \text{두번째 나온 면}) $$

처럼 써서 sample space가

$$ B = \left\{ (\text{앞면},\text{앞면}), (\text{앞면},\text{뒷면}), (\text{뒷면},\text{앞면}), (\text{뒷면},\text{뒷면}) \right\} $$

이 될 것이다. 또는 더 간단히

$$ B= \left\{ \text{앞앞}, \text{앞뒤}, \text{뒤앞}, \text{뒤뒤} \right\} $$

처럼 표현할 수도 있다.

2. 대표뽑기

a, b, c, d, e 5인로 구성된 팀에서 대표 2명을 뽑는 경우 sample space를 생각해보자. a, b가 대표가 되는 것과 b, a가 대표가 되는 것은 같으므로 집합기호를 이용하여 sample space를 표현할 수 있다.

$$ C = \left\{~\{a,b\} ~,~ \{a,c\} ~,~ \{a,d\} ~,~\{a,e\}~,~\{b,c\}~,~\{b,d\}~,~\{b,e\}~,~\{c,d\}~,~\{c,e\}~,~\{d,e\}~\right\} $$

3. 반응시간

어떤 시각적 자극이 가해졌을 때, 인간이 반응하는데 걸리는 시간을 측정한다고 생각해보자. 이 경우, 이론상 반응 시간은 0보다 큰 모든 수가 될 수 있다. 이를 interval로 표현하자면,

$$ D = (0,\infty) $$

1번, 2번 예와 같이 sample space는 불연속적이거나 3번 예와 같이 연속적일 수 있다. 물론 실제 실험에서는 측정의 한계때문에 sample space는 유한한 집합이겠지만, 이론상 3번과 같이 무한한 집합도 포함한다.

DEFINITION            Event

 

특정한 실험 또는 측정에서 나올수 있는 결과들의 모임을 event라고 한다. 즉, event는 sample space의 부분 집합이다.

대표뽑기 예제에서 a가 대표가 되는 모든 모임

$$ C' = \left\{~\{a,b\} ~,~ \{a,c\} ~,~ \{a,d\} ~,~\{a,e\}~\right\} $$

는 대표뽑기의 event가 된다. event에 어떤 규칙이 꼭 있어야 하는 것은 아니다. 예를 들어

$$ C'' = \left\{~\{a,b\} ~,~ \{b,c\}~,~\{d,e\}~\right\} $$

역시 event가 된다. 실험이나 측정의 결과가 event의 원소가 되는 경우 event가 일어났다고 표현한다. 예를 들어, 대표뽑기에서 a와 d가 대표가 되었다면, C'이 일어났다고 표현한다.