[통계학] PRE. Basic Set Thoery

과학 이론에 있어서, 이론과 더불어 실제 실험을 통해 이론이 예측하는 현상들을 확인하는 것은 과학적 방법론의 핵심이다. 그렇다면 실험에서 측정한 값들을 어떻게 수학적 모델의 변수와 연결할 수 있을까? 이러한 주제의 중심에 통계학이 있다고 할 수 있다. 그리고 통계학을 공부하기 위해서는 확률론을 알아야 한다. 이번 페이지에서는 통계학을 시작하기에 앞서, 확률론에 필요한 집합론에 대하여 살펴본다. 여기에서는 집합론은 고등학교 수학 교과과정은 알고 있다고 생각하고, 앞으로 확률론을 이야기하는데 필요한 내용들을 위주로 다룰 것이다. 집합론의 자세한 내용은 집합론 카테고리를 참고하길 바란다.

#Countable #Uncountable

수학에서 집합은 '명확한 기준에 의하여 구별되는 대상들을 모아놓은 것'을 말한다. 예를 들어, 동전을 던졌을 때 나올 수 있는 모든 경우의 집합은 앞면(H)과 뒷면(T)으로 이루어져 있을 것이다.

$$ A = \left\{ H, T \right\} $$

이 때, 집합의 구성요소인 \(H\)와 \(T\)를 집합 \(A\)의 element(원소)라고 부른다. 수학에서 많이 사용하는 집합으로 자연수들의 집합, 실수들의 집합이 있다. 이들 집합은 수학에서 특별히 취급하여 \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{R}\)과 같이 표기한다.

$$ \begin{array}{ccl} \mathbb{N} &=& \left\{ 1,2,3,\cdots \right\} \\ \mathbb{R} &=& \left\{ x ~:~ x \text{ is real} \right\} \end{array} $$

집합의 원소의 개수에 따라 집합을 크게 2종류로 나누는데, \(A\)와 같이 집합의 원소의 개수가 유한한 경우 그 집합을 finite set(유한집합)이라고 부르고 \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{R}\)과 같이 무한한 경우 infinite set(무한집합)이라고 부른다. 무한집합의 경우 다시 2종류로 나누게 되는데, \(\mathbb{N}\)과 같이 순서를 붙여서 셀 수 있는 경우를 countable set(가산집합)이라고 부르고, \(\mathbb{R}\)과 같이 셀 수 없는 경우를 uncountable set(불가산집합)이라고 부른다.^[각주:1]

#Basic Operations on Sets

집합들 사이의 기본 연산에는 union(합집합), intersection(교집합), complement(여집합)가 있다. 기본적인 내용은 고등학교 교과 과정에서 배운 내용이다.

THEOREM            

 

집합 \(A\), \(B\), \(C\)에 대하여 다음이 성립한다.

1. Commutativity:

$$ A \cup B = B \cup A $$

$$ A \cap B = B \cap A $$

2. Associativity:

$$ A \cup ( B \cup C ) = ( A \cup B ) \cup C $$

$$ A \cap ( B \cap C ) = ( A \cap B ) \cap C $$

3. Distribution laws:

$$ A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C ) $$

$$ A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C ) $$

4. DeMorgan's laws:

$$ (A \cup B ) ^c = A^c \cap B ^c $$

$$ (A \cap B ) ^c = A^c \cup B ^c $$

여기에서는 고등학교 교과 과정에 나오지 않는 무한한 개수의 집합들의 union과 intersection들의 표기법에 대하여 소개한다.

DEFINITION            

 

집합 \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), ... 에 대하여 이들의 union, intersection을 다음과 같이 표현한다.

$$ \bigcup _{i=1} ^\infty A_i = \left\{ x ~:~ x \in A_i \text{ for some } i \right\} $$

$$ \bigcap _{i=1} ^\infty A_i = \left\{ x ~:~ x \in A_i \text{ for all } i \right\} $$

예를 들어, \(A_1 = [ \frac{1}{1} , 1 ]\), \(A_2 = [ \frac{1}{2},1 ]\), \(A_3=[ \frac{1}{3},1]\), ...이라고 하면,

$$ \bigcup _{i=1} ^\infty A_i ~=~ [\frac{1}{1} , 1] \cup [ \frac{1}{2} , 1] \cup \cdots ~=~ (0,1] $$

$$ \bigcap _{i=1} ^\infty A_i ~=~ [\frac{1}{1} , 1] \cap [ \frac{1}{2} , 1] \cap \cdots ~=~ \{ 1 \} $$

가 된다. 여기에서 index도 uncountable인 경우 다음처럼 표기한다.

DEFINITION           

 

uncountable set \(X\)에 대하여, \(X\)의 원소를 index로 하는 집합들 \(A_i\)의 union, intersection을 다음과 같이 표현한다.

$$ \bigcup _{i \in X} A_i = \left\{ x ~:~ x \in A_i \text{ for some } i \right\} $$

$$ \bigcap _{i \in X} A_i = \left\{ x ~:~ x \in A_i \text{ for all } i \right\} $$

#Pairwise Disjoint #Partition

마지막으로 앞으로 자주 사용하게 될 개념들에 대하여 정의한다.

DEFINITION            Pairwise Disjoint

 

두 집합 \(A\)와 \(B\)가 \(A \cap B = \emptyset\)인 경우 \(A\)와 \(B\)는 disjoint하다고 부른다. 만약 여러 집합 \(A_1\), \(A_2\), ...가 \(A_i \cap A_j = \emptyset\)인 경우 이 집합들을 pairwise disjoint하다고 부른다.

DEFINITION            Partition

 

집합 \(A\)에 대하여, 집합 \(P_1\), \(P_2\), ... 들이 pairwise disjoint하고

$$ \bigcup _{i=1} ^\infty P_i = A $$

인 경우 이 집합들을 \(A\)의 partition이라고 부른다.

Partition은 결국 집합을 겹치지 않게 나누는 것을 의미한다고 생각할 수 있다.

1. countable과 uncountable의 자세한 내용은 --Set, countable and uncountable-- 참 [본문으로]