[통계학] 4.4-(2) Example: 서로 독립인 정규 분포의 덧셈과 차

서로 독립인 랜덤 변수 $X$ 와 $Y$ 가 각각 다음과 같은 정규 분포를 따른다고 하자.

$$X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2),Y\sim \mathcal{N}(\gamma ,{\sigma }^2)$$

$X$ 와 $Y$ 를 이용하여 새로운 랜덤 변수 $U=X+Y$ 와 $V=X-Y$ 를 정의하면, 이 두 랜덤 변수는 서로 독립일까? 이를 확인하기 위하여, $X$ 와 $Y$ 의 joint pdf를 $U$ 와 $V$ 로 변환해보자. 먼저 $X$ 와 $Y$ 는 서로 독립이므로, joint pdf는

$$f_{X,Y}(x,y)=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}(x-\mu {)}^2}\right\}\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}(y-\gamma {)}^2}\right\}=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}{e}^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}(x-\mu {)}^2}{e}^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}(y-\gamma {)}^2}$$

가 되고, inverse transform $X=\frac{1}{2}(U+V)$ 와 $Y=\frac{1}{2}(U-V)$ 의 inverse Jacobian matrix

$$\begin{array}{rl}|J|& =\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|\\ \\ & =\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right|\\ \\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$

따라서 변환된 pdf는

$$f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(\frac{1}{2}(U+V),\frac{1}{2}(U-V))|J|=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}{e}^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}{(\frac{u+v}{2}-\mu )}^2}{e}^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}{(\frac{u-v}{2}-\gamma )}^2}\times \frac{1}{2}$$

이 때,

$${(\frac{u+v}{2}-\mu )}^2+{(\frac{u-v}{2}-\gamma )}^2=\frac{1}{2}{(u-(\mu +\gamma ))}^2+\frac{1}{2}{(v-(\mu -\gamma ))}^2$$

으로 정리되므로,

$$f_{U,V}(u,v)=\left\{\frac{1}{2\pi (2{\sigma }^2)}{e}^{-\frac{1}{2(2{\sigma }^2)}{(u-(\mu +\gamma ))}^2}\right\}\left\{\frac{1}{2\pi (2{\sigma }^2)}{e}^{-\frac{1}{2(2{\sigma }^2)}{(v-(\mu -\gamma ))}^2}\right\}$$

따라서, $U$ 와 $V$ 는 서로 독립이 된다. 또한 각각의 marginal pdf

$$f_U(u)=\frac{1}{2\pi (2{\sigma }^2)}{e}^{-\frac{1}{2(2{\sigma }^2)}{(u-(\mu +\gamma ))}^2}$$

$$f_V(v)=\frac{1}{2\pi (2{\sigma }^2)}{e}^{-\frac{1}{2(2{\sigma }^2)}{(v-(\mu -\gamma ))}^2}$$

로부터

$$U\sim \mathcal{N}(\mu +\gamma ,2{\sigma }^2),V\sim \mathcal{N}(\mu -\gamma ,2{\sigma }^2)$$

임을 알 수 있다.