[통계학] 4.4-(2) Example: 서로 독립인 정규 분포의 덧셈과 차

서로 독립인 랜덤 변수 \(X\) 와 \(Y\) 가 각각 다음과 같은 정규 분포를 따른다고 하자.

\[ X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) ~~~,~~~ Y \sim \mathcal{N}(\gamma,\sigma^2) \]

\(X\) 와 \(Y\) 를 이용하여 새로운 랜덤 변수 \(U=X+Y\) 와 \(V=X-Y\) 를 정의하면, 이 두 랜덤 변수는 서로 독립일까? 이를 확인하기 위하여, \(X\) 와 \(Y\) 의 joint pdf를 \(U\) 와 \(V\) 로 변환해보자. 먼저 \(X\) 와 \(Y\) 는 서로 독립이므로, joint pdf는

\[ f_{X,Y} (x,y) = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2} \right\} \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(y-\gamma)^2} \right\} = \frac{1}{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(y-\gamma)^2} \]

가 되고, inverse transform \(X=\frac{1}{2}(U+V)\) 와 \(Y=\frac{1}{2}(U-V)\) 의 inverse Jacobian matrix

\[ \begin{align*} |J| &= \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right| \\ \\ &= \left| \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| \\ \\ &= \frac{1}{2} \end{align*} \]

따라서 변환된 pdf는

\[ f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}\left( \frac{1}{2}(U+V), \frac{1}{2}(U-V) \right) |J| = \frac{1}{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{1}{2\sigma^2} \left( \frac{u+v}{2} - \mu \right)^2}e^{-\frac{1}{2\sigma^2} \left( \frac{u-v}{2} - \gamma \right)^2} \times \frac{1}{2} \]

이 때,

\[ \left( \frac{u+v}{2} - \mu \right)^2 + \left( \frac{u-v}{2} - \gamma \right)^2 = \frac{1}{2}\left( u - (\mu+\gamma) \right)^2 + \frac{1}{2} \left( v - (\mu-\gamma) \right)^2 \]

으로 정리되므로,

\[ f_{U,V}(u,v) = \left\{ \frac{1}{2\pi(2\sigma^2)} e^{-\frac{1}{2(2\sigma^2)}\left( u - (\mu+\gamma) \right)^2} \right\} \left\{ \frac{1}{2\pi(2\sigma^2)} e^{-\frac{1}{2(2\sigma^2)}\left( v - (\mu-\gamma) \right)^2} \right\} \]

따라서, \(U\) 와 \(V\) 는 서로 독립이 된다. 또한 각각의 marginal pdf

\[ f_{U}(u) = \frac{1}{2\pi(2\sigma^2)} e^{-\frac{1}{2(2\sigma^2)}\left( u - (\mu+\gamma) \right)^2} \]

\[ f_{V}(v) = \frac{1}{2\pi(2\sigma^2)} e^{-\frac{1}{2(2\sigma^2)}\left( v - (\mu-\gamma) \right)^2} \]

로부터

\[ U \sim \mathcal{N}(\mu+\gamma, 2\sigma^2) ~~~,~~~ V \sim \mathcal{N}(\mu-\gamma, 2\sigma^2) \]

임을 알 수 있다.