gradient2 [다양체,텐서] 3.1-(2) Gradient of Function 2.4-(1) Example: Gradient, Divergence, Curl에서 vector calculus에서 정의된 미분이 exterior derivative와 연관되어 있다는 것을 확인했었다. 이 페이지와 다음 페이지에 걸쳐서 manifold에서 gradient와 divergence를 정식으로 정의하고 local coordinates에서의 표현을 살펴본다. (Curl은 3차원에서만 정의되고 다른 차원에서는 일반화되지 못한다.) Raising and Lowering Index isomorphism \(n\)-dimensional smooth manifold \(M\)에 대하여, \(T_pM\)과 \(T_p ^* M\)은 isomorphic하므로, Riemannian metric \(\left\lan.. 2018. 9. 13. [다양체,텐서] 2.4-(1) Example: Gradient, Divergence, Curl 3차원 공간에서 real-valued function에 대한 미분인 gradient, vector field에 대한 미분인 divergence와 curl은 전자기학 이론을 이해하는데 매우 중요하다. 3차원 공간에서 standard basis를 $$\{\vec{e}_x , \vec{e}_y, \vec{e}_z \}$$ 라고 하면, real-valued function \(f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) 의 gradient는 vector-valued fuction $$ \mathrm{grad}(f) = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{e}_x + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{e}_y + \frac{\partial f}{.. 2018. 9. 8. 이전 1 다음