[일반물리] 1.PRE 방정식과 해

일반물리에 나오는 예제와 연습문제를 푸는 것을 수학적인 언어로 표현하자면,

 

① 상황을 설명하는 방정식을 세우고

(공백)

② 세워진 방정식을 풀어 답을 구하는 것

 

입니다. 이번 페이지에서는 일반물리 전반에 사용되는 방정식의 일반 개념과 예제를 살펴보겠습니다.

 

#방정식과 해

방정식이란

 

'미지수를 포함하는 식'

 

을 말합니다. 미지수란 '값을 알지 못하는 수'를 말하는데요, 수학에서는 이런 미지수를 보통

 

\(x\), \(y\), \(a\), \(b\), \(\alpha\), \(\beta\)

 

와 같은 문자로 표현해요. 예를 들어, 다음과 같은 방정식

$$ (2\times x)+(y\times\alpha+3) = 5 $$

에서 미지수는 \(x\), \(y\), \(\alpha\)가 됩니다.

 

보통 방정식에서 미지수와의 곱셈은 곱셈기호 \(\times\)를 생략하여 표현합니다. 즉, 위의 방정식 대신

$$ (2x)+(y\alpha+3)=5 $$

와 같이 표현합니다.

 

방정식은 미지수의 값이 무엇이냐에 따라서 '참'일 수도 있고 '거짓'일 수도 있는데, 방정식이 참이 되는 미지수의 값을 방정식의 해 또는 방정식의 근 이라고 부릅니다. 예를 들어,

$$ x+4 = 5 $$

은 \(x\)값이 1일 때는 \(1+4=5\)가 되어서 참이지만, 다른 값인 경우에는 거짓입니다. 그래서 1을 이 방정식의 해라고 부릅니다. "방정식의 해는 1"이라는 말을 수식으로

$$ x=1 $$

이렇게 표현합니다. 방정식을 푼다는 것은 방정식의 해를 구한다는 뜻입니다.

#방정식의 차수

\( 4\times 4 \times 4 \) 와 같이 똑같은 숫자를 여러번 곱한 것을 수식으로

$$ 4^3 $$

과 같이 표현합니다. 마찬가지로, 같은 미지수를 여러번 곱한 것을 똑같은 방식으로 표현할 수 있습니다. 예를 들어, \(x \times x \times x \times x\) 또는 \(xxxx\)는 미지수 \(x\)가 4번 곱해졌으므로 간략하게

$$ x^4 $$

와 같이 표현합니다. 그래서, 방정식

$$ 2xyyxy + xxxy + 4 =1 $$

도

$$ 2x^2 y^3 + x^3y +4 =1 $$

로 간략하게 표현하죠.

 

이때 미지수끼리 곱해진 숫자 중에서 가장 큰 숫자를 방정식의 차수라고 부릅니다. 위의 방정식은 미지수 \(x\)와 \(y\)가 다해서 5개 곱해져 있으므로 방정식의 차수가 5가 됩니다. 그래서 이 방정식을 5차 방정식이라고 부릅니다.

 

#미지수의 연산

미지수도 어차피 값을 모르는 수이기 때문에 숫자처럼 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 가능합니다. 일단 덧셈부터 시작해보죠.

 

같은 숫자를 여러번 더하는 것은 곱셈으로 표현할 수 있는데, 같은식으로 같은 미지수를 여러번 더하는 것도 곱셈으로 표현할 수 있습니다. 예를 들어, \(3+3+3+3+3\)은

$$ 5 \times 3 $$

으로 표현하듯이, \(x+x+x+x+x\)는

$$ 5 \times x $$

또는

$$ 5x $$

가 됩니다. 그래서 \(2x+3x\)에서 \(2x\)는 \(x+x\)이고 \(3x\)는 \(x+x+x\)이므로

$$ 2x+3x=x+x+x+x+x = 5x $$

가 됩니다. 이것을 잘 살펴보면, 미지수의 덧셈은 같은 미지수 앞에 곱해진 숫자를 모두 더하여 미지수에 곱해준 것과 똑같다는 것을 알 수 있습니다.

 

그러나 같은 미지수라도 다른 차수이면 위와 같은 방식으로 더해서는 안됩니다. 예를 들어,

$$ 1.5x+2x+x^2+2x^2+x^2 $$

에서 \(x\)는 \(x\)끼리, \(x^2\)은 \(x^2\)끼리 더해야 합니다. \(x\) 앞의 숫자를 모두 더하면 3.5이고 \(x^2\) 앞의 숫자를 모두 더하면 4이므로

$$ 3.5x+4x^2 $$

처럼 표현할 수 있습니다.

 

미지수의 뺄셈은 덧셈과 같은 방식으로 같은 미지수 앞에 곱해진 숫자를 빼서 미지수에 곱해줍니다. 이를 종합하면,

$$ 1.5x-2x+3x^2+0.3x+1.3x^2 $$

은

$$ -0.2x+4.3x^2 $$

이 됩니다.

 

미지수의 곱셈과 나눗셈은 미지수는 미지수끼리, 숫자는 숫자끼리 곱셈과 나눗셈을 해주면 됩니다. 예를 들어,

$$ 3x \times 10x^2y \div 4xy^2 $$

은

$$ \frac{15}{2}\frac{x^2}{y} $$

가 됩니다.

 

#1차 방정식의 풀이

가장 풀기 쉽고 기초가 되는 방정식은 미지수가 1개 있는 1차 방정식이에요. 보통 다음과 같이 표현됩니다.

$$ 2x+3=5 $$

미지수가 1개 있는 1차 방정식은 처음에는 복잡한 식이더라도 미지수의 연산을 통해서 위의 식처럼 만들수 있습니다. 이제 하나하나 살펴보죠.

 

일단 방정식 이전에 참이 되는 숫자들의 식에서 시작해 보겠습니다.

$$ 2+3=1+4 $$

수식에서 등호 \(=\)를 중심으로 왼쪽에 있는 \(2+3\)을 좌변, 오른쪽에 있는 \(1+4\)를 우변이라고 부릅니다.

 

이제 좌변과 우변에 똑같이 숫자 5를 더해보겠습니다. 그러면 식은

$$ 2+3+5 = 1+4+5 $$

가 됩니다. 좌변을 계산해보면 10, 우변을 계산해보면 10이므로 계속 이 식은 참이 됩니다.

 

1. 참인 등식의 좌변과 우변에 똑같은 숫자를 더해도 등식은 참이 된다.

 

이번에 원래 식에서 좌변과 우변에 똑같이 숫자 5를 빼보겠습니다.

$$ 2+3-5 =1+4-5 $$

좌변을 계산해보면 0, 우변을 계산해보면 0이므로 역시 이 식은 참이 됩니다.

 

2. 참인 등식의 좌변과 우변에 똑같은 숫자를 빼도 등식은 참이 된다.

 

다음에는 원래 식에서 좌우변에 숫자 3을 곱해보면

$$ (2+3)\times 3 = (1+4)\times 3 $$

좌변은 15, 우변은 15가 되어 이 식은 참입니다.

 

3. 참인 등식의 좌변과 우변에 똑같은 숫자를 곱해도 등식은 참이 된다.

 

마지막으로 원래 식에서 좌우변에 숫자 5를 나눠보면

$$ (2+3) \div 5 = (1+4) \div 5 $$

좌변은 1, 우변도 1이 되어 계속 참입니다.

 

4. 참인 등식의 좌변과 우변에, 0을 제외한, 똑같은 숫자를 나누어도 등식은 참이 된다.

 

 

이제 방정식을 생각해봅시다. 미지수도 값을 모르지만 결국 어떤 수이므로 위에서 1, 2, 3, 4처럼 좌변과 우변에 더하고 빼고 곱하고 나누어도 됩니다. 결국 방정식을 푼다는 것은 이 규칙들을 이용해서

$$ x=\mathrm{숫자} $$

의 식을 얻는 것을 말합니다. 이제 방정식

$$ 4x+6 = 2+ 2x + 6 $$

을 풀어봅시다.

 

우리가 최종적으로 얻고 싶은 식을 잘 살펴보면 미지수는 모두 좌변에 있고 숫자는 모두 우변에 있으므로 위의 규칙들을 이용하여 우변에 있는 미지수는 제거하고, 좌변에 있는 숫자를 제거하면 방정식을 푸는 것이 됩니다.

 

일단 우변에 있는 미지수를 제거하기 위해, 좌우변에 \(2x\)를 빼면

$$ 4x+6-2x = 2+ 2x +6 - 2x $$

미지수 연산을 이용해 정리하면,

$$ 2x+6 = 8 $$

이제 좌변에 있는 숫자를 제거하기 위해, 좌우변에 6을 빼겠습니다.

$$ 2x+6-6 = 8-6 $$

정리하면,

$$ 2x=2 $$

이제 마지막으로 좌우변에 2를 나누면

$$ x=1 $$

을 얻게 됩니다.

 

1이 방정식의 해가 되는지 확인볼까요?

$$ 4x+6=2+2x+6 $$

에 \(x\)대신 1을 넣으면

$$ 4\times 1 + 6 = 2 + 2 \times 1 +6 $$

이므로 계산해보면

$$ 10 = 10 $$

이 되어 등식이 참이 됩니다. 즉, 1이 방정식 \( 4x+6=2+2x+6 \)의 해가 됩니다.

 

#고차 방정식의 풀이

2차 방정식의 경우 근의 공식을 이용해서 해를 구할 수 있습니다. 2차 방정식의 일반적인 형태

$$ ax^2+bx+c=0 $$

의 해는 아래와 같은 근의 공식이 됩니다.

$$ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

그러나 5차 방정식 이상의 경우 해를 구하는 일반적인 방법이 없습니다. 하지만 우리는 방정식이 특별한 경우 해를 구할 수 있습니다.

 

다시 숫자에서 시작해보겠습니다. 만약 많은 숫자들을 곱했을 때 0이 나온다면 그 숫자들 중에는 반드시 0이 한번은 들어있어야 합니다. 0이 아닌 다른 숫자들은 아무리 곱해도 0을 만들수 없습니다.

 

이제 방정식으로 돌아와 보겠습니다. 만약 방정식이

$$ (x-1)(x-3)(x+4) = 0 $$

과 같이 정리된다고 한다면, 곱해진 숫자들 중에는 반드시 0이 있어야 하므로 \(x-1\)이 0이거나 \(x-3\), 아니면 \(x+4\)가 0이어야 합니다. 따라서 이 방정식의 해는 1 또는 3 또는 -4가 됩니다.

 

미지수가 들어간 식을 좌변과 같이 곱셈의 형태로 만드는 방법을 '인수분해'라고 합니다. 인수분해는 고등학교 수학 교과과정에 자세히 다뤄져 있으므로 여기에서는 다루지 않겠습니다.