Mathematics/통계학39 [통계학] 4.6 다변량 분포 Multivariate Distributions 보호되어 있는 글 입니다. 2021. 8. 10. [통계학] 4.5-(2) Example: 이변량 정규 분포 Bivariate Normal Distribution Random variable \(X\) 와 \(Y\) 가 각각 정규 분포를 따를 때, 지금까지는 \(X\) 와 \(Y\) 가 독립인 경우만 살펴보았다. 그러나 \(X\), \(Y\) 가 각각 정규 분포라고 하더라도 반드시 두 random variable이 독립일 필요는 없다. 이번 페이지에서는 2-변량 정규 분포에 대하여 정의하고 기본 특징에 대하여 살펴보자. #Bivariate Normal Distribution DEFINITION 상수 \(-\infty < \mu_X < \infty\), \(-\infty < \mu_Y < \infty\), \(0 < \sigma_X\), \(0 < \sigma_Y\), \(-1 < \rho < 1\) 에 대하여, 다음과 같은 joint pdf를 가지는 분포를 biv.. 2021. 8. 9. [통계학] 4.5-(1) Example: 랜덤 변수 덧셈의 분산 Variance of the Addition of Random Variables 2.3 분산, 모멘트 생성 함수 Variance, Moment Generating Functions에서 다음과 같은 분산의 성질에 대하여 살펴보았다. \[ \text{Var}(aX+b) = a^2 \text{Var}(X) \] 이번 페이지에서는 위 식의 더 일반적인 형태로 다음의 정리를 살펴본다. THEOREM Random variable \(X\), \(Y\), 상수 \(a\), \(b\) 에 대하여, \[ \begin{equation} \text{Var}(aX+bY) = a^2 \text{Var}(X) + b^2 \text{Var}(Y) + 2ab \text{Cov}(X,Y) \label{varadd} \end{equation} \] 만약 \(X\) 와 \(Y\) 가 서로 독립이면, 다음이 성립한다... 2021. 8. 9. [통계학] 4.5 공분산, 상관계수 Covariance, Correlation 4.3 서로 독립인 두 개의 랜덤 변수 Bivariate Independent Random Variables 페이지에서 두 랜덤 변수가 독립인 경우를 다루었다. 하지만 현실에서 측정치나 통계치들은 서로 연관되어 있는 경우가 훨씬 많다. 예를 들어, 한라산에서 각 지점의 고도와 온도를 측정하는 경우, 고도가 높을 수록 온도가 낮게 측정될 것이다. 또 다른 예로 종이의 크기와 무게를 측정하는 경우에도 이 두 값은 서로 연관되어 있다. 이 페이지에서는 이렇게 서로 연관되어 있는 랜덤 변수들이 얼마나 하게 연결되어 있는지를 보여주는 여러 지표 중 공분산과 상관계수에 대하여 살펴볼 것이다. #Relation Between Random Variables? 먼저 랜덤 변수들이 강한 연관 관계에 있다는 것이 어떤 의미.. 2021. 8. 9. [통계학] 4.4-(2) Example: 서로 독립인 정규 분포의 덧셈과 차 서로 독립인 랜덤 변수 \(X\) 와 \(Y\) 가 각각 다음과 같은 정규 분포를 따른다고 하자. \[ X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) ~~~,~~~ Y \sim \mathcal{N}(\gamma,\sigma^2) \] \(X\) 와 \(Y\) 를 이용하여 새로운 랜덤 변수 \(U=X+Y\) 와 \(V=X-Y\) 를 정의하면, 이 두 랜덤 변수는 서로 독립일까? 이를 확인하기 위하여, \(X\) 와 \(Y\) 의 joint pdf를 \(U\) 와 \(V\) 로 변환해보자. 먼저 \(X\) 와 \(Y\) 는 서로 독립이므로, joint pdf는 \[ f_{X,Y} (x,y) = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{1}{2\sig.. 2021. 8. 7. [통계학] 4.4-(1) Example: 계층적 확률 모델링 다음과 같은 질문을 생각해보자. 한 꿀벌 집단에서 하나 밖에 없는 여왕벌은 한번 산란할 때 약 100~5000개의 알을 낳는다. 정상적으로 부화하는 경우에는 산란된지 약 21일 쯤에 벌이 성장하여 알을 뚫고 나오게 된다. 그러나 어떤 알들은 부화되지 못하고 그냥 썩게된다. 그렇다면 여왕벌이 한번 산란할 때 평균적으로 얼마나 많은 알들이 부화할까? 이 질문을 확률론적으로 생각해보면, 여왕벌이 산란한 알의 개수도 100~5000개 사이에 있는 랜덤 변수가 되고, 부화한 알의 개수도 랜덤 변수가 된다. 따라서 이 질문을 다음과 같이 확률 모델로 바꿀 수 있다. 랜덤 변수 \(X\)를 부화한 알의 개수, \(Y\)를 산란한 알의 개수라고 하자. \(Y\)가 \(f_Y(y)\) 분포를 따르고, 주어진 \(Y\)에.. 2021. 7. 4. [통계학] 4.4 랜덤 변수의 변환 (2) Transformations of Random Variables (2) 2.1 랜덤 변수의 변환 (1) Transformations of Random Variables (1)에서 랜덤 변수 1개에 대한 확률 분포의 변환에 대하여 살펴보았다. 이번 페이지에서는 랜덤 변수 2개에 대한 확률 분포의 변환에 대하여 살펴보자. #Basic Idea 2차원 랜덤 벡터 \((X,Y)\) 에 대하여, 다음과 같이 정의되는 새로운 2차원 랜덤 벡터 \((U,V)\) 를 생각해보자. \[ \begin{align*} U &= g_1(X,Y) \\ \\ V &= g_2(X,Y) \end{align*} \] 우리가 원하는 것은 관심이 있는 \((U,V)\) 의 사건 \(B\) 의 확률을 기존에 알고 있는 랜덤 벡터 \((X,Y)\) 의 확률로 표현하는 것이다. \((U,V)\) 가 사건 \(B\).. 2021. 3. 2. [통계학] 4.3-(1) 서로 독립인 두 개의 정규 분포의 덧셈 서로 독립인 랜덤 변수 \(X\) 와 \(Y\) 가 각각 정규 분포를 따른다고 하자. 새로운 랜덤 변수 \(Z=X+Y\) 를 정의했을 때 \(Z\) 는 어떤 분포를 따르게 될까? 예를 들어 평균적으로 전류 2A가 흐르는 전자기기 A와 전류 3A가 흐르는 전자기기 B를 하나의 멀티탭에 연결하면, 멀티탭에 평균적으로 흐르는 전류는 5A로 예측할 수 있다. 하지만 더 구체적으로, 전류가 4.9A~5.0A 사이에 있을 확률은? 7A 이상으로 전류가 흐를 확률은? 이런 질문에 대답하기 위해서는 총 전류의 확률 분포, 즉, [A기기의 전류 + B기기의 전류]의 확률 분포에 대하여 이야기 할 수 있어야 한다. 이번 페이지에서는 독립적인 2개의 정규 분포를 따르는 랜덤 변수의 덧셈으로 정의되는 랜덤 변수의 확률 분포에.. 2021. 2. 27. 이전 1 2 3 4 5 다음
