tensor11 [다양체,텐서] 2.1 Tensor Product 잠시 manifold에 대한 설명을 접어두고 일단 대수학적인 개념들에 대해 살펴보자. 두개의 vector space로 새로운 vector space를 얻을 수 있는 방법 중 하나가 tensor product를 이용하는 방법이 있다. 기하학에서는 tangent space와 dual space가 사용될 것이지만, tensor product는 일반적인 vector space들에서 정의된다. Tensor Product DEFINITION Tensor Product Vector space \(V\), \(W\)의 tensor product는 bilinear인 $$ (\vec{v}, \vec{w})~~~,~~\vec{v} \in V ~~,~~ \vec{w} \in W $$ 로 구성된 vector space이다. 즉.. 2018. 9. 8. [다양체,텐서] 1.4 Derivatives of Differentiable maps 미적분학에서 '미분'이라는 개념은 linear approximation이라는 개념으로 설명된다.(--calculus, differential-- 참고) $$ \Delta f = f(x+\Delta x) - f(x) = df_x (\Delta x) + \epsilon \mathrm{~~where~} \frac{\epsilon}{\Delta x} \to 0 \mathrm{~as~}\Delta x \to 0 $$ \(\Delta x\)는 \(\mathbb{R}\)에서의 tangent vector라고 할 수 있으므로, differential \(df_x\)는 tangent space에서 tangent space로의 linear transformation이라고 볼 수 있다.([선형대수학] 2.1 Linear Tr.. 2018. 8. 11. [다양체,텐서] 1.1 Differentiable Manifolds Newton 역학에서 다루는 천체의 운동, 고전 전자기학에서 등장하는 전기장과 자기장의 변화 등은 미적분학에서 배운 Euclidean space, 특히 3차원 Euclidean space \(\mathbb{R}^3\) 벡터의 미분과 적분으로 표현된다. 예를 들어, 사람이 비스듬하게 공을 던졌을 때, 시간\(t\)에 대한 공의 위치를 \(\vec{r}(t)\)라고 하면, newton의 방정식 $$ \vec{F}_{\text{gravity}}=m\vec{g}=m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} ~~,~~ \vec{r}(t_0) = \vec{r}_0 ~~,~~ \frac{d\vec{r}}{dt}(t_0)= \vec{v}_0 $$ 와 같이 표현된다. 이렇게 물리적 현상이 벡터의 미분과 적분으로 표현 가.. 2018. 8. 6. 이전 1 2 다음
