함수의 극한, \(\epsilon\)-\(\delta\) 정의 이해

*미적분학 카테고리에 맞춰 수정될 페이지입니다.

고등학교에서 함수의 극한을 배울 때는 함수의 그래프를 이용하여 극한을 정의한다. 간단한 형태의 함수의 경우에는 이러한 방법으로 극한을 찾을 수 있지만, 복잡한 함수의 경우에는 이러한 방식으로 극한이나 연속을 판단할 수 없다. 미분과 적분의 의미와 연산 정리들을 깊게 이해하기 위해서는 먼저 함수의 극한에 대하여 엄밀히 정의해야 한다. 이번 페이지에서는 함수의 극한의 정의를 살펴보고 그 의미를 이해해보자.

#Limits of Functions

DEFINITION

함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(c\)를 고정된 한 실수값이라고 하자. 임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여, 다음을 만족하는 양수 \(\delta\) 가 항상 존재할 때, \(\lim_{x\to c} f(x) = L\) 이라고 한다.

\(0<|x-c|<\delta\) 를 만족하는 모든 점 \(x\)에 대하여, \(|f(x) - L| < \epsilon\)

#Example

함수 \(f(x)=2x+1\) 일 때,

\[ \lim _{x\to 1} f(x) = 3 \]

을 하나씩 증명해 나가면서 위의 정의를 이해해보자.

먼저 정의를 살펴보면, "임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여" 라고 되어 있으니 \(\epsilon\) 으로 아무 양수나 선택해보자.

① 예를 들어, \(\epsilon = 2\) 로 선택해보자. 이제 조건을 뒤쪽 부분을 보자. "\(|f(x) - L| < \epsilon\)" 이 있는데, 이 문제에서 L은 3이므로

\[ |f(x) - 3| < 2 \]

가 된다. 절대값의 의미는 두 수 사이의 거리이므로, \(f(x)\) 와 3 사이의 거리가 2 이내라는 것을 말하고 있다. 이제 조건 앞쪽 부분을 보자. "\(|x-c| < \delta\)" 에서^[각주:1] c는 1이므로, 절대값의 의미를 생각하면 \(x\) 와 1 사이의 거리가 \(\delta\) 이내라는 것을 말하고 있다. 그래서 조건

\(|x-1|<\delta\) 를 만족하는 모든 점 \(x\)에 대하여, \(|f(x) - 3| < 2\)

은 풀어서 이야기하면,

1로부터 거리가 \(\delta\) 이내에 있는 모든 \(x\) 에서 함수값^[각주:2] \(f(x)\) 를 구하면,

3으로부터 거리가 2 이내에 들어와야 한다

는 조건이 된다. 1로부터 어느정도 가까우면, 함수값(y값)이 항상 3으로부터 거리가 2보다 가까울까? 즉, 함수값이 1부터 5 사이가 될까? 먼저 \(f(x)=1\) 이려면 \(x=0\), \(f(x)=5\) 이려면 \(x=2\) 가 되어야 한다. 즉, \(x\) 가 0부터 2 사이에 있는 경우 위의 조건을 만족하게 된다. 0이나 2 모두 1로부터 거리가 1이므로,

1로부터 거리가 1 이내에 있는 모든 \(x\) 에서 함수값 \(f(x)\) 를 구하면 3으로부터 거리가 2 이내

가 된다. 따라서 \(\delta=1\) 로 설정하면 정의의 조건을 만족하게 된다.

② 이제 \(\epsilon=1\) 로 선택해보자. 정의의 조건은

1로부터 거리가 \(\delta\) 이내에 있는 모든 \(x\) 에서 함수값 \(f(x)\) 를 구하면,

3으로부터 거리가 1 이내에 들어와야 한다

는 조건이 된다. 즉, \(f(x)\) 가 2부터 4 사이가 되어야 한다. 그러면 1로부터 거리가 어느정도 가까우면 함수값이 모두 이 안에 들어갈까? 먼저 \(f(x)=2\) 가 되려면 \(x=\frac{1}{2}\), \(f(x)=4\) 가 되려면 \(x=1\frac{1}{2}\) 가 되어야 한다. 즉, \(x\) 가 \(\frac{1}{2}\) 부터 \(1\frac{1}{2}\) 사이에 있는 경우 항상 조건을 만족하게 된다. 두 수 모두 1로부터 거리가 \(\frac{1}{2}\) 이므로 \(\delta=\frac{1}{2}\) 로 설정하면 정의의 조건을 만족하게 된다.

③ \(\epsilon=0.01\) 로 선택하는 경우에는 어떨까? \(\delta=0.0001\) 로 설정하면, \(x\) 가 0.9999부터 1.0001 사이에 있게 되어, \(f(x)\) 는 2.9998부터 3.0002 사이에 있게 되므로 함수값들이 모두 3으로부터의 거리가 0.01 이내에 있으므로 정의의 조건을 만족하게 된다.^[각주:3] 더 작게 \(\epsilon=0.00001\) 로 선택하는 경우에는 \(\delta=0.000005\) 로 설정하면 조건을 만족하게 된다.

④ 이제 \(\epsilon\) 을 그대로 미지수로 놓고 \(\delta\) 를 선택해보자. 이 경우 함수값 \(f(x)\) 는 \(3-\epsilon\) 부터 \(3+\epsilon\) 사이에 있어야 한다. \(f(x)=3-\epsilon\) 이 되는 경우는 \(x=1-\frac{\epsilon}{2}\), \(f(x)=3+\epsilon\) 이 되는 경우는 \(x=1+\frac{\epsilon}{2}\) 가 되어야 한다. 즉, \(x\) 가 1로부터 \(\frac{\epsilon}{2}\) 이내로 거리가 떨어져 있는 경우에는 항상 함수값들이 모두 \(3-\epsilon\) 부터 \(3+\epsilon\) 사이에 있어 조건을 만족한다고 할 수 있다. 따라서 \(\delta=\frac{\epsilon}{2}\) 로 설정하면 조건을 만족하게 된다.

종합하면, 어떤 값으로 \(\epsilon\) 을 가져오더라도 조건을 만족하는 \(\delta\) 를 선택할 수 있다.

임의의 \(\epsilon\)	조건을 만족하는 \(\delta\) 존재?
2인 경우	1 선택
1인 경우	\(\frac{1}{2}\) 선택
0.01인 경우	0.0001 선택
0.00001인 경우	0.000005 선택
미지수 \(\epsilon\) 인 경우	\(\frac{\epsilon}{2}\) 선택

그렇다면 왜 이러한 정의가 함수의 극한을 표현하는 것일까? 이를 이해하기 위해서는 접근한다는 것이 어떤 상황인지 좀더 명확히 이해해야 한다. "함수값이 3에 접근한다"는 것은 "함수값이 3이다"와는 다른 것이다. "함수값이 3에 접근한다"는 것은 정확히 3이라는 뜻은 아니기 때문에, 3에서 어느정도 거리 안에 있는 것은 3에 충분히 접근했다고 할 수 있다. 문제는 어느정도 거리를 얼마로 볼것이냐이다. 어떤 사람은 거리가 2 정도 안에 있으면 충분히 접근했다고 할 것이고, 0.00001 정도 안에 있으면 충분히 접근했다고 할 것이다. 더 엄밀한 사람은 0.00000001로 설정할 수도 있다.

함수의 극한의 정의는 함수값이 3에 충분히 접근했다고 말할 수 있는 거리를 어떤 값으로 설정하던지, 함수값이 모두 그 안에 들어오게 되는 1의 아주 가까운 주변을 가져올 수 있음을 의미한다.

만약 충분한 접근 거리를

2로 보겠다고 한다면,             함수값이 모두 그 안에 들어오게 되는      x=1로부터 1만큼 떨어진 주변을 가져올 수 있다.

1로 보겠다고 한다면,             함수값이 모두 그 안에 들어오게 되는      x=1로부터 1/2만큼 떨어진 주변을 가져올 수 있다.

0.01로 보겠다고 한다면,         함수값이 모두 그 안에 들어오게 되는      x=1로부터 0.0001만큼 떨어진 주변을 가져올 수 있다.

0.00001로 보겠다고 한다면,     함수값이 모두 그 안에 들어오게 되는      x=1로부터 0.000005만큼 떨어진 주변을 가져올 수 있다.

즉, 어떤 작은 값(\(\epsilon\))으로 가져오더라도 함수값이 모두 그 안에 들어오게 되는, x=1로부터 아주 조금(\(\delta\)) 떨어진 주변을 가져올 수 있음을 말하고 있다.

#Example

좀더 의미를 명확히 하기 위해서 \(\lim _{x\to 1} f(x)\) 가 3.1이 될 수 없음을 살펴보자.

마찬가지로 \(\epsilon=1\) 로 선택해보자. 함수값이 3.1로부터 거리가 1 이내에 있어야 하므로, 2.1부터 4.1 사이에 있어야 한다. \(f(x)=2.1\) 이 되려면 \(x=0.55\), \(f(x)=4.1\) 이 되려면 \(x=1.55\) 가 되어야 한다. \(x=0.55\) 는 1로부터 0.45 떨어져 있고, \(x=1.55\) 는 1로부터 0.55 떨어져 있으므로, \(x\)가 1로부터 0.45 안에 떨어져 있는 경우에는 (왼쪽으로 떨어져 있던, 오른쪽으로 떨어져 있던 상관없이) 항상 함수값이 3.1로부터 거리가 1 이내가 된다.

이제 \(\epsilon=0.01\) 로 선택해보자. 함수값이 3.1로부터 거리가 0.01 이내에 있어야 하므로, 3.09부터 3.11 사이에 있어야 한다. \(f(x)=3.09\) 가 되려면 \(x=1.045\), \(f(x)=3.11\) 이 되려면 \(x=1.055\) 가 되어야 한다. 이제 1로부터 어느정도 떨어져 있는 모든 값들이 이 안에 들어가도록 거리를 정해보자. 가능한가?

즉, 접근하는 정도를 대충 판단하여, 3.1로부터 1정도 거리에 들어오면 접근했다고 하는 사람에게는, 함수값이 모두 그 안에 들어오게 되는 1의 아주 가까운 주변을 가져올 수 있다. 그러나 3.1로부터 0.01정도 거리에 들어와야 접근했다고 판단하는 신중한 사람에게는, 함수값이 모두 그 안에 들어오게 되는 1의 아주 가까운 주변을 가져올 수 없다!

이 사실을 위의 예제와 비교해보자. 극한은 어떠한 접근 거리 \(\epsilon\) 을 가져와도 1의 아주 가까운 주변 \(\delta\) 를 가져올 수 있다. 그러나 극한이 아닌 값에서는 아주 작은 접근 거리에서는 조건을 만족하는 1의 주변부를 가져오는 것이 불가능하다.

#Comments

1. 함수의 극한 정의에서 조건에 "\(0<|x-c|<\delta\)" 부분에서 "\(0<\)" 부분은 극한을 생각할 때, \(x=c\) 가 되는 경우는 생각하지 않는다는 의미이다. 극한은 "접근한다"이지 "같아진다"가 아니라는 점을 생각하면 이해할 수 있을 것이다. 만약 "\(0<\)" 부분이 없다면 \(x=c\) 가 되는 경우까지 포함해야 하기 때문에 "접근한다"의 의미에서 조금 벗어나게 된다.

1. "0<"은 마지막에 설명. [본문으로]
2. 그래프에서는 y값 [본문으로]
3. 꼭 3과의 거리를 0.01로 맞출 필요는 없다. 중요한 것은 0.01 안에 들어온다는 것이다. 지금은 함수값과 3 사이의 거리가 0.0001 안에 들어오므로 당연히 0.01 안에 들어온다. [본문으로]