Algebra: Chapter 0, Aluffi, Exercise III.1.2

#문제

\(S\) 를 고정된 집합이라고 하자. \(S\) 의 power set(모든 부분집합들의 집합) \(\mathcal{P}(S)\) 에 다음과 같은 연산을 정의하자. \(A,~B \in \mathcal{P}(S)\) 에 대하여, 

\[ \begin{align*} A+B &:= (A \cup B) ~\backslash~ (A \cap B) & A \cdot B := A \cap B \end{align*} \]

\((\mathcal{P}(S),+,\cdot)\) 이 commutative ring임을 증명하라.

 

#풀이

\(A+B = (A\cup B) ~\backslash~ (A\cap B) = (A\backslash B)~\cup~(B\backslash A)\) 라는 것과, \(\cap\), \(\cup\) 연산이 commutative하다는 사실로부터 자연스럽게 \(+\) 와 \(\cdot\) 이 commutative하다는 것이 얻어진다.

 

또한 모든 \(A \in \mathcal{P}(S)\) 에 대하여, \(A\cdot S = S\cdot A = A\) 라는 것으로부터 multiplicative identity는 \(S\) 라는 것을 알 수 있다.

 

마지막으로 남은 것은 distribution law가 성립하는지 살펴보는 것이다. \(A \cap (B\backslash C) = (A\cap B) \backslash(A\cap C)\) 와 \(\cap\), \(\cup\) 연산의 distribution law를 이용하여,

\[ \begin{align*} A \cdot (B+C) &= A \cap \left[ (B\backslash C ) \cup (C\backslash B) \right] \\ \\ &= \left[ A \cap (B\backslash C) \right] \cup \left[ A \cap (C\backslash B) \right] \\ \\ &= \left[ (A\cap B) \backslash (A\cap C) \right] \cup \left[ (A\cap C) \backslash (A\cap B) \right] \\ \\ &= (A\cap B ) + (A \cap C) \\ \\ &= (A\cdot B) + (A \cdot C) \end{align*} \]

같은 방식으로 \((A+B)\cdot C = (A\cdot C) + (B\cdot C)\) 임을 보일 수 있다.

 

따라서 \((\mathcal{P}(S),+,\cdot)\) 은 commutative ring이다.