Algebra: Chapter 0, Aluffi, Exercise III.1.2

#문제

$S$ 를 고정된 집합이라고 하자. $S$ 의 power set(모든 부분집합들의 집합) $\mathcal{P}(S)$ 에 다음과 같은 연산을 정의하자. $A,B\in \mathcal{P}(S)$ 에 대하여, 

$$\begin{array}{rlr}A+B& :=(A\cup B)\mathrm{\setminus }(A\cap B)& A\cdot B:=A\cap B\end{array}$$

$(\mathcal{P}(S),+,\cdot )$ 이 commutative ring임을 증명하라.

 

#풀이

$A+B=(A\cup B)\mathrm{\setminus }(A\cap B)=(A\mathrm{\setminus }B)\cup (B\mathrm{\setminus }A)$ 라는 것과, $\cap$, $\cup$ 연산이 commutative하다는 사실로부터 자연스럽게 $+$ 와 $\cdot$ 이 commutative하다는 것이 얻어진다.

 

또한 모든 $A\in \mathcal{P}(S)$ 에 대하여, $A\cdot S=S\cdot A=A$ 라는 것으로부터 multiplicative identity는 $S$ 라는 것을 알 수 있다.

 

마지막으로 남은 것은 distribution law가 성립하는지 살펴보는 것이다. $A\cap (B\mathrm{\setminus }C)=(A\cap B)\mathrm{\setminus }(A\cap C)$ 와 $\cap$, $\cup$ 연산의 distribution law를 이용하여,

$$\begin{array}{rl}A\cdot (B+C)& =A\cap [(B\mathrm{\setminus }C)\cup (C\mathrm{\setminus }B)]\\ \\ & =[A\cap (B\mathrm{\setminus }C)]\cup [A\cap (C\mathrm{\setminus }B)]\\ \\ & =[(A\cap B)\mathrm{\setminus }(A\cap C)]\cup [(A\cap C)\mathrm{\setminus }(A\cap B)]\\ \\ & =(A\cap B)+(A\cap C)\\ \\ & =(A\cdot B)+(A\cdot C)\end{array}$$

같은 방식으로 $(A+B)\cdot C=(A\cdot C)+(B\cdot C)$ 임을 보일 수 있다.

 

따라서 $(\mathcal{P}(S),+,\cdot )$ 은 commutative ring이다.