Algebra: Chapter 0, Aluffi, Exercise III.1.3

#문제

\(R\) 을 ring, \(S\) 를 집합이라고 하자. \(S \to R\) 인 모든 함수들의 집합 \(R^S\) 에 적절한 \(+\), \(\cdot\) 을 정의함으로써 \(R^S\) 가 ring(특히, \(S\) 가 singleton(원소가 1개) 일 때 \(R^S\) 는 \(R\) 의 복사본이 되는)이 됨을 설명하시오.

 

#풀이

\(S\to R\) 인 함수 \(f\), \(g\) 에 대하여, \(f+g\) 와 \(f\cdot g\) 를 다음과 같이 정의하자. (단, 좌변의 \(+\), \(\cdot\)은 \(R^S\) 에서의 연산, 우변의 경우는 \(R\) 에서의 연산임을 주의할 것)

\[ \begin{align*} (f+g)(s) &= f(s) + g(s) & (f\cdot g)(s) &= f(s) \cdot g(s) \end{align*} \]

 

1. \((R^S,+)\) 는 abelian group이다:

 

\(R\) 에서의 \(+\) 가 associative, commutative이므로 위의 정의에서 \(R^S\) 에서도 associative, commutative임을 바로 알 수 있다.

또한 additive identity는 모든 \(s \in S\)에 대하여 \(O(s) = 0_R\), 즉 항상 \(0_R\) 을 함수값으로 가지는 함수이다.

각각의 \(f \in R^S\) 에 대하여, \((-f)(s) = -f(s)\) 로 정의되는 additive inverse \((-f) \in R^S\) 가 존재한다.

 

2. multiplicative identity \(I:S \to R\) 이 존재한다:

 

모든 \(s \in S\)에 대하여 \(I(s) = 1_R\), 즉 항상 \(1_R\) 을 함수값으로 가지는 함수를 정의하면,

\[ (I \cdot f)(s) = I(s) \cdot f(s) = 1_R \cdot f(s) = f(s) = f(s) \cdot 1_R = f(s) \cdot I(s) = (f \cdot I)(s) \]

따라서

\[ I\cdot f = f\cdot I = f \]

를 만족한다.

 

3. \(\cdot\) 이 associative하다:

 

\(R\) 에서 \(\cdot\) 이 associative이므로 \(R^S\) 에서 associative임이 바로 얻어진다.

 

4. distribution law:

 

\[ \begin{align*} [f\cdot (g+h)](s) &= f(s) \cdot (g+h)(s) \\ \\ &= f(s) \cdot (g(s) + h(s)) \\ \\ &= f(s) \cdot g(s) + f(s) \cdot h(s) \\ \\ &= (f\cdot g)(s) + (f\cdot h)(s) \\ \\ &= [ (f\cdot g) + (f\cdot h) ] (s) \end{align*} \]

2번째 줄에서 3번째 줄로 넘어갈 때, \(R\)의 distribution law를 사용했다는 것을 참고. 따라서 \(f\cdot (g+h) = (f\cdot g) + (f\cdot h)\) 임을 알 수 있다. 같은 방식으로 \((f+g)\cdot h = (f\cdot h) + (g\cdot h)\) 임을 확인할 수 있다.

 

따라서 \((R^S,+,\cdot)\) 은 ring이다. 만약 \(S\) 가 singleton인 경우, \(f(\ast) = r\) 인 함수 \(f\) 를 단순히 \(r\) 이라고 함으로써 \(R^S\) 는 \(R\) 의 복사본이 된다.