Algebra: Chapter 0, Aluffi, Exercise III.1.4

#문제

각 엔트리가 ring $R$ 의 원소인 $n \times n$ 행렬의 집합을 $M_{n} (R)$ 로 표기한다. $M_{n} (R)$ 에서 행렬합, 행렬곱을 정의하면 $M_{n} (R)$ 이 ring이 됨을 증명하시오.

#풀이

1. $(M_{n} (R), +)$ 는 abelian group이다:

$R$ 이 associative, commutative이므로 행렬합 역시 associative, commutative임을 쉽게 보일 수 있다. 또한 $O \in M_{n} (R)$ 을

$O = [\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{matrix}]$

으로 정의하면 행렬합에 대한 identity가 됨을 확인할 수 있다. 그리고

$A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}]$

에 대하여, $(- A) \in M_{n} (R)$ 을

$(- A) = [\begin{matrix} - a_{11} & - a_{12} & \dots & - a_{1 n} \\ - a_{21} & - a_{22} & \dots & - a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ - a_{n 1} & - a_{n 2} & \dots & - a_{n n} \end{matrix}]$

로 정의하면, $(- A)$ 는 $A$ 의 additive inverse가 된다.

2. $\cdot$ 이 associative하다:

$\begin{aligned} {[\begin{array}{c} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{array}] & [\begin{array}{c} b_{11} & \dots & b_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ b_{n 1} & \dots & b_{n n} \end{array}]} [\begin{array}{c} c_{11} & \dots & c_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ c_{n 1} & \dots & c_{n n} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} \sum_{i} a_{1 i} b_{i 1} & \dots & \sum_{i} a_{1 i} b_{i n} \\ ⋮ & ⋮ \\ \sum_{i} a_{n i} b_{i 1} & \dots & \sum_{i} a_{n i} b_{i n} \end{array}] [\begin{array}{c} c_{11} & \dots & c_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ c_{n 1} & \dots & c_{n n} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} \sum_{j} (\sum_{i} a_{1 i} b_{i j}) c_{j 1} & \dots & \sum_{j} (\sum_{i} a_{1 i} b_{i j}) c_{j n} \\ ⋮ & ⋮ \\ \sum_{j} (\sum_{i} a_{n i} b_{i j}) c_{j 1} & \dots & \sum_{j} (\sum_{i} a_{n i} b_{i j}) c_{j n} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} \sum_{i} a_{1 i} (\sum_{j} b_{i j} c_{j 1}) & \dots & \sum_{i} a_{1 i} (\sum_{j} b_{i j} c_{j n}) \\ ⋮ & ⋮ \\ \sum_{i} a_{n i} (\sum_{j} b_{i j} c_{j 1}) & \dots & \sum_{i} a_{n i} (\sum_{j} b_{i j} c_{j n}) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{array}] [\begin{array}{c} \sum_{j} b_{1 j} c_{j 1} & \dots & \sum_{j} b_{1 j} c_{j n} \\ ⋮ & ⋮ \\ \sum_{j} b_{n j} c_{j 1} & \dots & \sum_{j} b_{n j} c_{j n} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{array}] {[\begin{array}{c} b_{11} & \dots & b_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ b_{n 1} & \dots & b_{n n} \end{array}] [\begin{array}{c} c_{11} & \dots & c_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ c_{n 1} & \dots & c_{n n} \end{array}]} \end{aligned}$

3. multiplicative identity $I$ :

$I = [\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix}]$

4. distribution law:

$\begin{aligned} {[\begin{array}{c} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{array}] & + [\begin{array}{c} b_{11} & \dots & b_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ b_{n 1} & \dots & b_{n n} \end{array}]} [\begin{array}{c} c_{11} & \dots & c_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ c_{n 1} & \dots & c_{n n} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} a_{11} + b_{11} & \dots & a_{1 n} + b_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} + b_{n 1} & \dots & a_{n n} + b_{n n} \end{array}] [\begin{array}{c} c_{11} & \dots & c_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ c_{n 1} & \dots & c_{n n} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} \sum_{j} (a_{1 j} + b_{1 j}) c_{j 1} & \dots & \sum_{j} (a_{1 j} + b_{1 j}) c_{j n} \\ ⋮ & ⋮ \\ \sum_{j} (a_{n j} + b_{n j}) c_{j 1} & \dots & \sum_{j} (a_{n j} + b_{n j}) c_{j n} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} \sum_{j} a_{1 j} c_{j 1} + \sum_{j} b_{1 j} c_{j 1} & \dots & \sum_{j} a_{1 j} c_{j n} + \sum_{j} b_{1 j} c_{j n} \\ ⋮ & ⋮ \\ \sum_{j} a_{n j} c_{j 1} + \sum_{j} b_{n j} c_{j 1} & \dots & \sum_{j} a_{n j} c_{j n} + \sum_{j} b_{n j} c_{j n} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} \sum_{j} a_{1 j} c_{j 1} & \dots & \sum_{j} a_{1 j} c_{j n} \\ ⋮ & ⋮ \\ \sum_{j} a_{n j} c_{j 1} & \dots & \sum_{j} a_{n j} c_{j n} \end{array}] + [\begin{array}{c} \sum_{j} b_{1 j} c_{j 1} & \dots & \sum_{j} b_{1 j} c_{j n} \\ ⋮ & ⋮ \\ \sum_{j} b_{n j} c_{j 1} & \dots & \sum_{j} b_{n j} c_{j n} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{array}] [\begin{array}{c} c_{11} & \dots & c_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ c_{n 1} & \dots & c_{n n} \end{array}] + [\begin{array}{c} b_{11} & \dots & b_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ b_{n 1} & \dots & b_{n n} \end{array}] [\begin{array}{c} c_{11} & \dots & c_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ c_{n 1} & \dots & c_{n n} \end{array}] \end{aligned}$

같은 방식으로 $A \cdot (B + C) = A B + A C$ 임을 보일 수 있다.

따라서 $M_{n} (R)$ 은 ring이다.

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