[양자역학] 1.4-(2) 측정의 기대값 Expectations of Measurements

양자역학에서 측정 결과는 확률적으로 나오기 때문에, 확률론에 따라 expectation(기대값)과 variance(분산)을 계산할 수 있다.

#Expectations of Observables

Observable $L$에 대하여, eigenvalue가 $l_1$ , $l_2$ , ... , $l_n$ 이 가능하고, 각각의 orthonormal eigenvector를 $|l_i⟩$ 로 표현하자.

임의의 normalized state vector $|\psi ⟩$이

$$|\psi ⟩=\sum _{j=1}^n{a}_j|l_j⟩$$

과 같이 표현된다고 하면, $L$ 을 측정했을 때 측정값이 $l_i$가 될 확률은 ${\left|a_i\right|}^2$ 이므로, 확률론의 expected value의 정의^[각주:1]

$$E[L]=\sum _{i=1}^n{l}_i\times P(l_i)$$

으로부터

$$E[L]=\sum _{i=1}^n{l}_i{\left|a_i\right|}^2$$

가 된다. 이 때, 계수 $a_i$ 는 eigenvector의 orthonormality로부터

$$a_i=⟨l_i|\psi ⟩$$

이므로

$$\begin{array}{rcl}E[L]& =& \sum _{i=1}^n{a}_i{a}_i^{\ast }=\sum _{i=1}^n{l}_i{a}_i⟨\psi |l_i⟩\\ \\ & =& ⟨\psi \left|\sum _{i=1}^n{a}_i{l}_i\right|l_i⟩=⟨\psi \left|\sum _{i=1}^n{a}_{i}L\right|l_i⟩\\ \\ & =& ⟨\psi |L\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right|l_i⟩)\\ \\ & =& ⟨\psi |L|\psi ⟩\end{array}$$

를 얻을 수 있다. 보통 양자역학에서는 expectation을 $E[L]$ 대신 $⟨L⟩$ 로 표현한다.

THEOREM            Expectation of Observable

Normalized state vector $|\psi ⟩$ 에서 observable $L$ 을 측정하였을 때, 측정값의 expectation은 다음과 같다.

$$⟨L⟩=⟨\psi |L|\psi ⟩$$

#Variances of Observables

같은 방식으로 측정값의 variance를 구할 수 있다. 확률론의 variance의 정의^[각주:2]

$$\mathrm{var}(L)=E[(L-E[L]{)}^2]=E[L^2]-E[L{]}^2$$

으로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.

THEOREM            Variance of Observable

Normalized state vector $⟨\psi ⟩$ 에서 observable $L$ 을 측정하였을 때, 측정값의 variance는 다음과 같다.

$$(\mathrm{\Delta }A{)}^2=⟨\psi |(L-⟨L⟩{)}^2|\psi ⟩=⟨L^2⟩-{⟨L⟩}^2$$

#Comments on Measurements in Experiments

보통 실험에서는 하나의 system에 대하여 한번 측정을 하는 것이 아니라, Abogadro constant(약 $6.022\times {10}^{23}$) 수준의 갯수의 system에 대하여 여러번 측정한 것을 평균으로 하는 것이다. 예를 들어, 1-atom 이상기체의 온도를 측정한다는 것은 모든 입자의 운동에너지를 평균적으로 측정하는 것으로, 수식적으로^[각주:3]

$$T=\frac{2}{3k_B}⟨K⟩$$

로 표현된다. 따라서, 하나의 system은 observable의 eigenvalue만 측정될 수 있는데도 불구하고, 실험에서는 평균값을 측정하는 것이기 때문에 eigenvalue가 아닌 값이 측정될 수 있다. 하지만 단 하나의 systme에 대하여 단 한번 측정을 하는 경우에는 반드시 eigenvalue로만 측정된다.

1. Expected value의 자세한 내용은 [통계학] 2.2 기대값 Expected Values 참고. [본문으로]
2. 확률론의 variance의 자세한 내용은 [통계학] 2.3 분산, 모멘트 생성 함수 Variance, Moment Generating Functions 참고. [본문으로]
3. 이상기체의 에너지와 온도의 관계는 --thermal,ideal gas-- 참고. [본문으로]