본문 바로가기

Mathematics113

[통계학] 1.6 확률 질량 함수, 확률 밀도 함수 Probability Mass Function, Probability Density Function Cumulative distribution function \(F_X\)는 random variable \(X\)의 확률에 대한 정보를 담고 있지만, '누적'이라는 이름처럼, 특정값의 확률이 아닌, 특정값보다 작거나 같을 확률이기 때문에 특정값의 확률을 나타내는 probability mass function(확률 질량 함수, 줄여서 pmf), probability density function(확률 밀도 함수, 줄여서 pdf)를 더 많이 사용한다. 이번 페이지에서는 pmf와 pdf에 대하여 살펴본다. #Probability Mass Functionspmf는 불연속적인 random variable이 특정값을 가질 확률을 나타내는 함수이다. 1.2 확률 Probability에서 유한한 sample space.. 2020. 7. 14.
[통계학] 1.5 누적 분포 함수 Cumulative Distribution Functions 랜덤 변수 \(X\)에 대한 확률이 정의되면, cumulative distribution function(누적 분포 함수)을 구할 수 있게 된다. 누적 분포 함수는 랜덤 변수가 특정 값보다 작거나 같을 확률을 나타내는 함수이다. '누적'이라는 이름은 특정 값보다 작은 값들의 확률을 모두 누적해서 구한다는 의미에서 붙여진 이름이다. DEFINITION Cumulative Distribution Functions 랜덤 변수 \(X\)에 대하여 정의된 확률을 \(P_X\)라고 할 때, 다음과 같이 정의되는 함수 \(F_X(x)\)를 \(X\)의 cumulative distribution function이라고 부른다. (간단히 cdf라고 표현하기도 한다.)$$ F_X(x) = P_X (X\le x) $$ 예제를.. 2020. 7. 14.
[통계학] 1.4 랜덤 변수 Random Variables 많은 경우 사건 자체보다 그 사건을 대표하는 값을 다루는 경우가 많다. 예를 들어, 1000명이 어떤 사안에 찬반 투표를 할 때, 1000명이 각각 찬성, 반대를 표현하는 자체보다 찬성이 몇 명인지로 결정된다. 시험을 보는 경우, 각각의 문제에 대하여 정답을 맞췄는지가 중요한게 아니라 최종 점수가 중요한 경우가 많다. 이렇게 각각의 사건에 대하여, 이를 표현하는 값으로 바꾸는 것을 random variable(랜덤 변수)라고 부른다. DEFINITION Random Variables Sample space에서 실수 집합으로의 함수를 random variable이라고 한다.$$ X: S \to \mathbb{R} $$ 예를 들어 다음과 같은 확률 시스템에서 random variable을 다음과 같이 정의할.. 2020. 7. 1.
[통계학] 1.3 조건부 확률, 독립 사건 Conditional Probability, Independent Events 신호의 송수신, 샘플 조사 등에서 응용되는 개념인 conditional probability(조건부 확률)은 통계적 추론에서 새로운 정보가 들어왔을 때 어떻게 처리해야 하는지에 대한 개념을 제공해 준다. 이번 페이지에서는 conditional probability와 Bayes' rule(베이즈 법칙)에 대하여 살펴보고 몇 가지 예를 살펴본다. #Conditional ProbabilityConditional probability는 어떤 사건이 일어났을 때(또는 일어나지 않았을 때) 관심있는 사건이 일어날 확률을 나타내는 개념이다. 예를 들어, 주사위 2개를 굴린 결과, 합이 10일 때 두 주사위 모두 짝수일 확률을 구하는 문제에서 사용될 수 있다. 더 복잡한 경우로는, 전파 송신탑으로부터 \(A\)라는 신.. 2020. 6. 29.
[통계학] 1.2 확률 Probability 어떤 사건들에 대한 확률을 정의할 때, 각 개별 원소마다 나올 수 있는 확률이 똑같다는 성질로부터 시작하는 경우가 많다. 그러나 6면체 주사위라도 정육면체가 아니라면 각 숫자가 나올 확률을 1/6으로 할 수 없다. 우리의 목표는 확률을 부여하는 물리적, 상황적 타당성과 무관하게, 확률 시스템이라면 공통적으로 만족해야 하는 성질들을 파악하는 것이다. #Axioms of Probability Functions확률은 수학적으로 다음과 같이 정의한다. DEFINITION Probability Functions Sample space \(S\)의 부분 집합(즉, event) \(A\)를 받아 0부터 1 사이의 값을 내놓는 함수 \(P\)가 ⓐ Non-negativity$$ P(A) \ge 0 $$ⓑ Probabi.. 2020. 6. 29.
[미적분학] PRE. 구간 Intervals 이번 페이지에서는 앞으로 자주 사용할 구간 표현에 대하여 리뷰한다. 구간 표현에 대한 내용도 고등학교 수학에 나와있으니 참고하자. #Expressions of Intervals미적분학에서는 하나의 수를 다루기보다는 어떤 범위 전체를 다루는 경우가 많다. 특히 자주 쓰는 범위는 말 대신 기호로 약속되어 있으니 익숙해지도록 하자. SUPPLEMENT ① \(a\)보다 크고 \(b\)보다 작은 범위 : \((a,b)\) ② \(a\)보다 크고 \(b\)보다 작거나 같은 범위 : \((a,b]\) ③ \(a\)보다 크거나 같고 \(b\)보다 작은 범위 : \([a,b)\) ④ \(a\)보다 크거나 같고 \(b\)보다 작거나 같은 범위 : \([a,b]\) ⑤ \(a\)보다 큰 범위 : \((a,\infty)\).. 2020. 6. 27.
[미적분학] PRE. 실수 체계 Real Number System 미적분학을 공부하기 위해서는 실수 체계, 함수, 좌표 등에 대하여 충분한 이해가 필요하다. 본격적인 내용에 앞서 자주 사용할 개념들을 리뷰하는 시간을 가지자. 만약 여기에 나온 내용들이 익숙하지 않거나 이해되지 않는다면 고등학교 수학 내용을 다시 한번 보도록 하자. #Real Numbers미적분학은 real number(실수)의 특징을 기초로 세워진 학문이므로 real number에서 어떤 것들이 가능한지 알아보는 것이 시작이 된다. 일단 real number들에는 어떤 것들이 있는지 살펴보자. ① Natural numbers(자연수) : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .... ② Integers(정수) : ... , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... ③ Rationa.. 2020. 6. 26.
[통계학] 1.1 표본 공간, 사건 Sample Space, Event 중학교와 고등학교에서 수학시간에 배우게 되는 확률은 "일어날 수 있는 모든 경우에 대하여 원하는 사건이 일어날 가능성"으로 정의하고 여러 가지 상황에서 경우의 수를 구하는 연습을 한다. 예를 들어, 정육면체 주사위 2개를 던졌을 때, 합이 7이 나올 확률을 구하기 위해서는 ① 정육면체 주사위 2개를 던졌을 때 나오는 모든 경우의 수를 구하고, (모든 경우의 수: 36) ② 합이 7이 되는 주사위 짝의 경우의 수를 구하여, (사건의 경우의 수: 6) ③ 2번을 1번으로 나누어서 확률을 구한다. (확률: \(\frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)) \(n\)명의 사람을 일렬로 세우는 방법의 수, \(n\)명의 사람들 가운데서 \(m\)명을 뽑아 일렬로 세우는 방법의 수, \(n\)명의 사람들 가.. 2020. 5. 26.

티스토리툴바