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Mathematics113

[다양체,텐서] 1.8 Orientability 3차원 Euclidean space에 있는 surface \(S\)에 대하여 vector field \(\mathbf{F}\)의 surface integration은 surface의 normal vector \(\mathbf{n}_1\)을 이용하여$$ \iint _S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_1 ~d\Sigma $$으로 정의한다. 그러나 surface의 normal vector를 잡는 방법은 두가지가 있다. See page for author [Public domain], via Wikimedia Commons 만약 normal vector를 \(\mathbf{n}_1\) 대신 \(\mathbf{n}_2\)를 이용하면,$$ \mathbf{n}_2 = -\mathbf{n}_1 $$.. 2018. 9. 8.
[다양체,텐서] 1.7 Submanifold Spherical shell \(S^2\)나 torus \(T^2\)와 같은 manifold는 3차원 Euclidean space \(\mathbb{R}^3\)에서 manifold의 모양을 완전히 표현할 수 있다. By MarinaVladivostok [CC0 or Public domain] , from Wikimedia Commons By LucasVB [Public domain], from Wikimedia Commons 그러나 2-dimensional differentiable manifold인 Klein bottle은 3차원 Euclidean space에서 표현하게 되면 아래 그림처럼 manifold가 정상적으로 표현되지 않는다. By Tttrung [GFDL, CC-BY-SA-3.0 or CC .. 2018. 8. 18.
[다양체, 텐서] 1.6 Integral Curve 전자기학에서 가장 중요한 방정식 중 하나인 Gauss 법칙을 이해하는데 선속이라는 개념이 등장한다. 전기장을 전하 원천에서 시작해서 뻗어나오는 선으로 인식하고 그 선이 어떤 면을 통과하는 것으로 선속을 시각화 할 수 있다. 이때, 전하 원천에서 뻗어나와 전기장을 시각화한 직선을 수학적으로 integral curve라고 한다. Integral Curve, Local Flow DEFINITION Integral Curve Smooth manifold \(M\)에 주어진 smooth vector field \(X\)에 대하여, smooth curve \(\gamma : I \to M\)가 $$ \dot{\gamma}(t) = X_{\gamma(t)} \mathrm{~~~for~}t\in (-\epsilon,\.. 2018. 8. 18.
(선형대수학) 5.7 Gâteaux Derivative, Fréchet Derivative, Euler-Lagrange Equation 이번 포스팅에서는 Hilbert space에 정의되는 미분을 간략히 소개할 것이다. 이하에서 정의되는 미분은 norm이 정의된 Banach space에서 정의되지만, Hilbert space는 Banach space의 일종이므로 여기에서 등장하는 norm은 inner product로부터 유도된 norm으로 해석하면 된다. Gâteaux Derivative 미적분학에서 다변수 함수 \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) $$ f(\mathbf{x})=f(x_1,x_2,\cdots,x_n) = (y_1,y_2,\cdots,y_m) $$ 에 대하여, 방향 \(\mathbf{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)\)으로의 \(f\)의 directional derivative \(\n.. 2018. 8. 13.
[다양체,텐서] 1.5 Vector Fields, Lie Bracket 고전역학에서 사용하는 천체의 위치 벡터나 운동량 벡터는 입자가 차지하고 있는 한 점에 정의된 벡터라는 점으로부터 앞에서 설명한 tangent vector라고 할 수 있다. 이와는 다르게 전자기학에서 사용하는 전기장, 자기장과 같은 개념들은 공간의 각 점마다 vector가 정의된 vector field의 개념이다. 본 포스팅에서는 manifold에서 vector field를 정의한다. Vector Field Vector field를 엄밀히 정의하기 위해서는 위상수학의 fiber bundle의 개념을 사용하여 정의해야 하지만, differentiable manifold의 개념들이 이미 정의되어 있으므로 이들을 이용하여 더 쉽게 정의할 수 있다. DEFINITION Vector Field Differentia.. 2018. 8. 12.
[다양체,텐서] 1.4 Derivatives of Differentiable maps 미적분학에서 '미분'이라는 개념은 linear approximation이라는 개념으로 설명된다.(--calculus, differential-- 참고) $$ \Delta f = f(x+\Delta x) - f(x) = df_x (\Delta x) + \epsilon \mathrm{~~where~} \frac{\epsilon}{\Delta x} \to 0 \mathrm{~as~}\Delta x \to 0 $$ \(\Delta x\)는 \(\mathbb{R}\)에서의 tangent vector라고 할 수 있으므로, differential \(df_x\)는 tangent space에서 tangent space로의 linear transformation이라고 볼 수 있다.([선형대수학] 2.1 Linear Tr.. 2018. 8. 11.
[다양체,텐서] 1.3 Tangent Space, Tangent Bundle 미적분학에서 3차원 Euclidean space \(\mathbb{R}^3\)에서 surface의 한 점에 접하는 평면을 tangent plane이라고 부른다. By Alexwright at English Wikipedia [Public domain], via Wikimedia Commons 이 페이지에서는 한 점에 대한 tangent plane이 differentiable manifold에서 일반화된 개념에 대하여 살펴본다. Tangent Space 미적분학에서 plane을 표현하는 방법에는 여러가지 방식이 있다. 가장 익숙한 방식으로는 1차 2-변수 함수를 이용하여 $$ s(x,y)=x+y $$ 와 같이 표현할 수 있다. 그러나 이러한 방식은 tangent plane이 3차원 Euclidean spa.. 2018. 8. 7.
[다양체,텐서]1.2 Differentiable Maps, Diffeomorphism 수학에서는 한 종류의 space 개념이 소개되면, 그 다음에는 항상 그 종류의 space들 사이의 함수를 살펴보고 특별한 특성을 가진 작업을 한다. Differentiable manifold가 Euclidean space 사이의 함수의 미분을 일반적인 space로 확장하기 위한 것이므로 여기에서는 differentiable manifold 사이의 함수에 대한 미분 가능성을 살펴본다. Differentiable Map DEFINITION Differentiable Map \(m\)-dimensional differentiable manifold \(M\)과 \(n\)-dimensional differentiable manifold \(N\)에 대하여, 함수 \(f:M\to N\)이 $$ \psi ^{-1}.. 2018. 8. 7.

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