Mathematics/선형대수41 (선형대수학) 3.2 Diagonalizable Operators Property of Eigenspaces Finite dimensional vector space \(V\)의 linear operator \(T\)의 (값이 다른) eigenvalue들을 \(c_1\), \(c_2\), ..., \(c_k\)라고 하자.(즉, \(i\ne j\)이면, \(c_i\ne c_j\)) Vector \(\mathbf{v}_i\)와 \(\mathbf{v}_j\)를 각각 eigenvalue \(c_i\)와 \(c_j\)에 대한 eigenvector라고 하면, 이 vector들은 linearly independent하다. 이를 증명하기 위해서, $$ f_i(x)=\frac{x-c_j}{c_i-c_j} $$ $$ f_j(x)=\frac{x-c_i}{c_j-c_i} $$ 라고 하자. .. 2018. 7. 29. (선형대수학) 3.1 Eigenvalue, Eigenvector, Eigenspace (선형대수학) 2.5 Representations of Linear Transformations에서 보았듯이, Linear operator는 vector space의 basis가 주어지면 matrix로 표현될 수 있다. Basis를 어떻게 선택하느냐에 따라서 계산에 편리한 matrix 표현을 얻을 수도 있고 복잡한 표현을 얻을 수도 있다. 가장 간단한 matrix 형태는 $$ \begin{bmatrix} c_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c_n \end{bmatrix} $$ 일 것이다. 모든 linear operator는 위와 같은 형태의 matrix로 표현.. 2018. 7. 22. (선형대수학) 2.6 Kernel of Linear Transformation 물리에서 자주 사용하는 방정식들, Newton's 2nd law, Maxwell's equations, Schrödinger's equation 등은 differential equation이다. 따라서 주어진 물리적 조건에 맞는 differential equation의 해를 찾는 방법에 대한 기초적인 것들이 물리학과 학부과정 전반에서 쓰인다. 경우에 따라 differential equation이 선형대수학에서 다루는 구조를 가지는 경우도 있다. 예를 들어, $$ \frac{d^2}{dx^2}f(x)=0 $$ 에서 미분 연산자는 미분의 성질 $$ \frac{d}{dx}(cf(x)+g(x))=c\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x) $$ 로부터 linear operator임을 알 수 있.. 2018. 7. 22. (선형대수학) 2.5-(2) Example: Rotation 물리에서 가장 쉽게 볼 수 있는 linear transformation은 rotation(회전)이다. Rotation은 한 선을 중심으로 모든 점들을 기준선과의 거리는 유지한 채 일정한 각도만큼 이동시키는 것을 말한다. 기준이 되는 한 선은 아무렇게나 잡아도 되지만 계산의 편의상 원점을 지나는 선 또는 좌표축으로 설정하는 것이 일반적이다. Rotation이 linear transformation임을 보이는 것은 해석적으로도 가능하지만, 기하학적으로 간단히 확인할 수 있다.(vector addition은 삼각형으로 그려지고, scalar multiplication은 길이를 늘려주는 것으로 생각한다면, 회전을 vector addition과 scalar multiplication보다 먼저 한 것과 나중에 한 .. 2018. 7. 21. (선형대수학) 2.5-(1) Example: Projection 일반물리의 초반에 나오는 포물선 운동에서 물체의 속도를 x축 방향과 y축 방향으로 분리하여 분석하는데, 이 때 2차원 벡터인 속도를 이용해 1차원 벡터인 x방향 속도 또는 y방향 속도를 얻는 방법을 projection이하고 한다. 경사면에서 물체에 작용하는 힘으로부터 경사면에 수평인 방향의 성분만 얻어내는 것도 역시 projection이다. 이번 페이지에서는 projection에 대해서 살펴본다. The transformation P is the projection onto the line m. By No machine-readable author provided. Jitse Niesen assumed (based on copyright claims). [Public domain], via Wikimed.. 2018. 7. 21. (선형대수학) 2.5 Representations of Linear Transformations Linear transformation의 집합 역시 vector space이므로 (선형대수학) 1.4 Coordinate Representation에서와 같이 basis를 이용하여 행렬로 표현할 수 있다. 그러나 단순하게 일렬로 된 행렬보다는 vector에 작용하는 연산자로써의 기능이 드러나도록 representation을 만들 수 있다. 이 페이지에서는 linear transformation의 행렬 표현에 대하여 살펴보자. Matrix Representation of Linear Transformation \(n\)-dimensional vector space \(V\)의 ordered basis를 \(\mathcal{B}=\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots,\mathbf{a.. 2018. 7. 21. (선형대수학) 2.4 Dual Space Linear Functionals 여기에서는 linear transformation 중에서 공역이 실수 집합(계속 이야기 하지만 여기에서는 field를 실수 집합으로 가정했다. 만약 field가 다른 것이라면 그 field가 공역)인 것들에 대하여 살펴볼 것이다. 이러한 linear transformation들을 특별히 linear functional이라고 부른다. Lagrangian mechanics나 calculus of variations에서 $$ S[L]=\int _a ^b L(x,\dot{x};t) ~dt $$ 처럼 함수 자체를 독립변수처럼 받아 적분값을 주는 형태의 함수를 functional이라고 하는데, 함수의 집합도 vector space이고 적분도 linear transformation이.. 2018. 7. 21. (선형대수학) 2.3 Isomorphism 선형대수학을 비롯한 대수학(algebra)이 의미 있도록 해주는 가장 중요한 개념들 중 하나인 isomorphism에 대하여 살펴보기 이전에 필요한 집합과 함수에 관한 개념을 몇 가지 살펴보자. 전사, 단사, 일대일대응 함수 개념을 정확히 정의해보자. Injective, Surjective, Bijective DEFINITION Injective Function 집합 \(X\)(정의역)으로부터 집합 \(Y\)(공역)으로의 함수 \(f:X\to Y\)가 \(X\)의 원소 \(x_1\), \(x_2\)에 대하여 $$ f(x_1)=f(x_2) $$ 이면 항상 $$ x_1=x_2 $$일 경우 함수 \(f\)를 injective function (또는injection, one-to-one function)이라고 .. 2018. 7. 21. 이전 1 2 3 4 5 6 다음
