Mathematics/선형대수41 (선형대수학) 4.6-(3) Example: Special Relativity, Lorentz Transformation 양자역학과 더불어 현대 물리학의 상대성 이론 중 특수 상대성이론은 Lorentz transformation의 이해가 핵심이 된다. 특수 상대성이론에서 입자는 1개의 시간좌표와 3개의 공간좌표를 가지는 4-dimensional vector space의 vector로 표현된다. 고전역학에서도 1개의 시간과 3개의 공간좌표가 있는 것은 같으나 고전역학에서 시간은 입자의 운동을 공간좌표의 선으로 나타내기 위한 매개변수로 입자는 3-dimensional vector space의 vector로 표현된다. 예를 들어, 각도 \(\theta\), 초기 속력 \(v_0\)로 쏜 포탄의 움직임은 \(l:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^3\) $$ l(t)=(v_0t\cos\theta,v_0t\sin\theta.. 2018. 8. 2. (선형대수학) 4.6-(2) Some Spaces Isomorphic to 3-dimensional Euclidean Space 다음과 같은 서로 linearly indepedent한 3x3 행렬 $$ P=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$ $$ Q=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ $$ R=\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ 의 linear combination (\(x_1\), \(x_2\), \(x_3\)는 real number) $$ X=x_1P+x_2Q+x_3R=\begin{bmatrix} 0 & -x_3 & x_2 \\ x_3 & 0 & -x_1 \\ -.. 2018. 8. 2. (선형대수학) 4.6-(1) Orthogonal Operators 지금까지 inner product를 정의하면서 complex vector space를 가정하였는데 여기에서는 real vector space로 가정한다. 그러면 inner product를 보존하는 unitary operator \(U\)의 성질 $$ U^*U=UU^*=I $$ 가 \(U^*=U^T\)이므로 $$ U^TU=UU^T=I $$ 를 만족하는 linear operator가 된다. 이 조건을 만족하는 operator를 orthogonal operator라고 한다. DEFINITION Orthogonal Operators Vector space \(V\)의 linear operator \(A\)가 $$ A^TA=AA^T=I $$ 를 만족하는 경우 이를 orthogonal operator라고 부른다. .. 2018. 8. 2. (선형대수학) 4.6 Isometry, Unitary Operator Isomorphism은 vector space \(V\)와 \(W\)가 vector의 기본 연산인 vector addition과 scalar multiplication의 결과가 그대로 유지되도록 연결시켜주는 linear transformation이다. \(T\)가 \(V\)에서 \(W\)로의 isomorphism이라고 하면, 모든 \(V\)의 vector \(\mathbf{v}_1\), \(\mathbf{v}_2\)와 scalar \(c\)에 대하여 $$ T(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=T\mathbf{v}_1+T\mathbf{v}_2 $$ $$ T(c\mathbf{v}_1)=c(T\mathbf{v}_1) $$ 즉, \(T\)로 변환 전 \(V\)에서의 연산과 변환 후의 (\(W\)에.. 2018. 8. 2. (선형대수학) 4.5 Self-adjoint Operators(Hermitian Operators) Inner product space \(V\)의 Linear operator \(T\)의 adjoint가 다시 \(T\)일 때 이 linear operator를 self-adjoint operator 또는 Hermitian operator라고 부른다. DEFINITION Self-adjoint Operators Finite-dimensional inner product space \(V\)의 linear operator \(T\)가 임의의 vector \(\mathbf{a}\)와 \(\mathbf{b}\)에 대하여 $$ \left\langle T\mathbf{a} , \mathbf{b} \right\rangle = \left\langle \mathbf{a} , T\mathbf{b} \right\rangl.. 2018. 8. 2. (선형대수학) 4.4 Hermitian Adjoint of Operators Inner product는 2개의 vector를 이용하여 scalar를 얻는다. 이 때 inner product에 사용되는 2번째 vector(양자역학에서는 bra vector)는 linear functional과 관련이 있다. Linear Functional - Inner Product Finite-dimensional inner product space \(V\)의 고정된 원소 \(\mathbf{v}\)에 대하여 inner product \(\left\langle \mathbf{a} , \mathbf{v} \right\rangle\)을 $$ f(\mathbf{a})=\left\langle \mathbf{a} , \mathbf{v} \right\rangle $$ 라고 하면 inner product의 l.. 2018. 8. 2. (선형대수학) 4.3 Orthogonality, Gram-Schmidt Process 공간벡터의 내적과 길이, 각도의 관계 $$ \vec{x}\cdot \vec{y} = \left| \vec{x} \right| \left| \vec{y} \right| \cos\theta $$ 로부터 inner product space에서 두 vector 사이의 각도를 정의할 수 있다. $$ \theta = \cos^{-1}{\frac{\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \right\rangle}{\sqrt{\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \right\rangle}\sqrt{\left\langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \right\rangle}}} $$ 공간벡터의 내적에서 두 공간 벡터 사이의 각도가 \(\frac{\pi}{2.. 2018. 8. 1. (선형대수학) 4.2 Norm 공간벡터의 내적은 기하학적으로 벡터의 길이와 벡터 사이의 각도와 관련이 있다. $$ \vec{x}\cdot\vec{y}=\left|\vec{x}\right| \left|\vec{y}\right|\cos\theta $$ 그러나 일반적인 vector space에서는 직접 vector의 길이라는 것을 생각하기 어렵다. 예를 들어, \(n\)차 이하의 polynomial space의 vector $$ f(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_nx^n $$ 에서 길이라는 것을 상상하기 힘들다. 만약 vector space에 inner product가 정의된 경우 공간벡터에서 내적과 길이의 관계를 이용하여 길이에 대응하는 개념을 정의할 수 있을 것이다. Norm DEFINITION Induced Nor.. 2018. 8. 1. 이전 1 2 3 4 5 6 다음
