Mathematics/선형대수41 (선형대수학) 4.1 Inner Product Space 공간 벡터의 기본 연산으로 벡터 사이의 덧셈과 숫자와의 곱셈 외에도 벡터와 벡터의 곱도 있다. 벡터와 벡터를 연산하여 숫자를 얻는 내적과 벡터와 벡터의 연산으로 다른 벡터를 얻는 외적이 그것이다. 이 페이지에서는 내적에 대하여 살펴볼 것이다. Inner Product 공간 벡터 $$ \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) $$ $$ \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) $$ 의 내적은 $$ \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 $$ 로 정의된다. 공간 벡터의 내적은 다음과 같은 성질을 가진다. 1. \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\) 2. \((\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot.. 2018. 8. 1. (선형대수학) 3.8 Jordan Normal Form (선형대수학) 3.7 Primary Decomposition Theorem에 의하면, scalar가 complex number인 finite dimensional vector space \(V\)의 linear operator \(T\)는 ① block matrix로 표현될 수 있고 ② diagonalizable operator \(D\)와 nilpotent operator \(N\)의 합으로 표현된다. Theorem의 증명 과정에서 사용한 projection operator를 이용하여 \(D\)와 \(N\)을 정의하였으므로 \(T\)가 block matrix로 표현되는 basis에서 \(D\)는 diagonal matrix로 표현되고 \(N\)은 block matrix로 표현된다. 이 페이지에서는 \(.. 2018. 8. 1. (선형대수학) 3.7 Primary Decomposition Theorem \(n\)-dimensional vector space \(V\)의 linear operator \(T\)가 diagonalizable하다면, \(T\)의 minimal polynomial \(p(x)\)는 \(T\)의 eigenvalue들이 해가되는 1차 다항식들의 곱이 되고 $$ p(x)=(x-c_1)\cdots(x-c_k) $$ \(V\)는 eigenvalue \(c_i\)에 대한 eigenspace $$ W_i = \{\mathbf{v}\in V~|~T\mathbf{v}=c_i\mathbf{v}\} $$ 의 direct sum이 된다. $$ V=W_1\oplus \cdots \oplus W_k $$ \(W_i\)의 vector \(\mathbf{v}\)는 \(T\mathbf{v}=c_i\mathb.. 2018. 8. 1. (선형대수학) 3.6 Triangular Form Finite-dimensional vector space \(V\)의 linear operator \(D\)가 diagonalizable하면 \(D\)의 matrix 표현이 $$ [D]=\begin{bmatrix} a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c \end{bmatrix} $$ 가 되는 \(V\)의 basis \(\mathcal{B}\)가 존재한다. 그러나 linear operator가 diagonalizable하지 않을 경우 위와 같은 형태로 표현할 수 없다. 그렇다면 일반적인 linear operator의 경우 어느정도로 심플한 matrix 표현이 가능한지 .. 2018. 7. 30. (선형대수학) 3.5 Simultaneously Diagonalizable, Commutator Simultaneously Diagonalizable 2개의 diagonalizable linear operator가 주어졌을 경우, 두 linear operator의 matrix 표현이 동시에 diagonal matrix가 되도록 basis를 선택할 수 있는지가 문제가 된다. DEFINITION Simultaneously Diagonalizable Operators Finite vector space \(V\)의 diagonalizable linear operator \(A\)와 \(B\)가 matrix representation이 모두 diagonal matrix인 basis가 존재하는 경우 \(A\)와 \(B\)는 simultaneously diagonalizable하다고 부른다. 선형대수학 정리에.. 2018. 7. 30. (선형대수학) 3.4-(1) Example: Diagonalization of Matrices \(n\times n\) matrix는 \(n\)-dimensional vector space의 linear operator를 특정 basis에서 표현하는 것이므로 지금까지 했던 linear operator에 대한 논의는 matrix에도 그대로 적용된다. 예제를 통해 행렬이 어떻게 대각화가 되는지 살펴보자. 다음과 같은 \(3\times 3\) matrix $$ A=\begin{bmatrix} -1 & 3 & -1 \\ -3 & 5 & -1 \\ -3 & 3 & 1 \end{bmatrix} $$ 를 생각해보자. 이 matrix의 eigenvalue를 구하기 위해, characteristic polynomial((선형대수학) 3.1 Eigenvalue, Eigenvector, Eigenspace 참고) \.. 2018. 7. 30. (선형대수학) 3.4 Minimal Polynomial Finite vector space \(V\)의 linear operator \(T\)가 diagonalizable하고 구별되는 eigenvalue \(c_1\), \(c_2\), ..., \(c_k\)를 가지는 경우 matrix 표현이, 예를 들어 \(c_1\)에 대한 eigenspace의 dimension이 2인 경우, $$ \begin{bmatrix} c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & c_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & c_k \end{bmatrix} $$ 가 되는 basis가 존재한다. 이 basis.. 2018. 7. 30. (선형대수학) 3.3 Direct Sum Decomposition Direct Sum Diagonalizable 페이지에서 구별되는 eigenvalue에 대한 eigenspace는 서로 linearly independent하다는 것을 보았다. 서로 linearly independent한 subspace \(W_1\), \(W_2\), ..., \(W_k\)는 $$ W_i \cap \mathrm{span}(W_1,\cdots,W_{i-1},W_{i+1},\cdots,W_k)=\{\mathbf{0}\} $$ 을 만족한다. 반대로 위를 만족하는 경우 subspace들은 서로 linearly independent하다. 따라서 linearly independent한 subspace들로 span한 새로운 vector space \(W\)는 $$ \dim{(W)}=\dim{(W_1.. 2018. 7. 30. 이전 1 2 3 4 5 6 다음