[통계역학] 1.4-(2) Example: 이상기체 Ideal Gas
이번 페이지에서는 이상기체에서 canonical ensemble를 이용하여 열역학적 결과들을 살펴보자. #Ideal Gas부피 \(V\), 기체입자의 개수 \(N\), 온도 \(T\) 로 고정된 이상기체를 생각해보자. 이상기체의 Hamiltonian은\[ H(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots, \mathbf{x}_N, \mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, \cdots, \mathbf{p}_N) = \sum_{i=1} ^N \frac{\left| \mathbf{p}_i \right|^2}{2m} \]이므로 partition function은\[ \begin{align*} Z_N(V,T) &= \frac{1}{N!h^{3N}} \int e^{-\beta H(\math..
2020. 8. 7.
[통계역학] 1.3 소정준 앙상블 Microcanonical Ensemble
주어진 macrostate \((N,V,E)\) 에 대하여, microstate \((x_1,x_2,\cdots,x_{3N}, p_1,p_2,\cdots,p_{3N})\) 가 \(H(x,p) = E\) 를 만족하는 점들에 대하여 density function \(\rho(x,p)\) 를 상수값, 다른 점들에 대해서는 \(\rho(x,p)\) 를 0으로 정의한 ensemble을 microcanonical ensemble이라고 한다. 이번 페이지에서는 microcanonical ensemble에 대하여 살펴본다. #Fundamental Volume ElementMacrostate quantity와 microstate를 연결해주는 것은 microstate 개수 \(\Omega\) 이다. 그러나 phase sp..
2020. 8. 1.
[통계역학] 1.1-(1) Example: 이상 기체, 기브스 역설 Ideal Gas, Gibbs Paradox
이번 페이지에서는 이상 기체에서 microstate 개수를 구하고 이를 이용하여 열역학의 몇몇 결과들을 도출해보자. #Microstate Multiplicity of Ideal Gas한 변의 길이가 \(L\)인 정육면체 상자에 입자간 상호작용이 없는 단일원자 \(N\) 개의 기체가 총 에너지 \(E\) 를 가지고 있다고 하자. i번째 입자에 허용된 에너지 레벨은\[ \varepsilon_i = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2} (n_{i,x} ^2 + n_{i,y} ^2 + n_{i,z} ^2) ~~~~~~ \text{where } n_{i,x}, n_{i,y}, n_{i,z} = 1,2,\cdots \]이므로 \(L=V^{1/3}\)을 이용하면,\[ n_{i,x} ^2+ n_{i,y} ..
2020. 7. 28.
[통계역학] 1.1 거시상태, 미시상태, 볼츠만 상수 Macrostate, Microstate, Boltzmann Constant
고전역학과 양자역학의 이론은 입자 1개 또는 몇 개의 입자에 관한 위치, 운동량, 에너지의 변화에 대하여 기술하지만, 현실의 실험에서는 각 입자의 위치, 운동량, 에너지 대신, 전체 시스템의 압력, 부피, 질량, 온도 등을 알 수 있을 뿐이다. 따라서 전체 시스템의 압력, 부피, 질량, 온도 등을 이용하여 각 입자의 위치, 운동량, 에너지 등을 유추하고 이를 기존 이론으로 재기술해야 하는 것이 필요한데 이 작업의 기초가 통계역학이다. 이번 페이지에서는 현실에서 측정하는 값들과 물리 이론의 변수들을 정리하고 이들을 연결하는 개념으로 등장한 볼츠만 상수를 살펴본다. #Macrostate #Microstate #Equal a Priori Probabilities부피 \(V\) 의 상자에 갇혀있는 \(N\) 개..
2020. 7. 28.
