본문 바로가기

Mathematics113

(선형대수학) 2.2 The Set of Linear Transformations The Space of Linear Trnasformations Linear Transformation도 함수의 일종이므로 함수의 addition과 scalar multiplication을 정의한 것과 같이 linear transformation의 addition과 scalar multiplication을 정의할 수 있다. Vector space \(V\), \(W\)에 대하여, 함수 \(T\)와 \(U\)를 linear transformation이라고 하자. 이제 두 linear transformation의 addition \(T+U\)와 scalar multiplication \(cT\)를 다음과 같이 정의 한다. $$ (T+U)\mathbf{v}=T\mathbf{v}+U\mathbf{v} $$ $$.. 2018. 7. 20.
(선형대수학) 2.1 Linear Transformation Linear Transformation 수학에서는 한 종류의 집합 개념이 소개되면 그 다음에는 항상 그들 사이의 함수를 살펴보고 이들 중 특별한 특성을 가진 것들을 찾는 작업을 한다. 이제 vector space를 살펴봤으니 vector space간의 함수들 중 특별한 특성을 가진 함수인 linear transformation에 대하여 알아보자. (이후부터 vector는 \( \vec{a} \) 대신 \( \mathbf{a} \)와 같이 bold체로 표기하고 scalar는 \(a\)와 같이 보통글씨로 표기함) DEFINITION Linear Transformation 집합 \(V\)와 \(W\)를 vector space라고 하자. vector space \(V\)로부터 vector space \(W\)로.. 2018. 7. 20.
(선형대수학) 1.4-(2) Example: Spin 양자역학에서 물리적 시스템은 Hilbert space라고 부르는 특정한 vector space의 vector로 (좀더 자세히는 ray라고 불리는 equivalent class로) 표현된다. 여기에서는 물리적 시스템의 양자역학적 특징보다는 하나의 시스템이 vector의 언어로 어떻게 표현되는가를 확인한다. 이러한 시스템 중 가장 간단한 시스템인 하나의 입자에 대하여 스핀만 고려되는 경우를 살펴보자. Quantum field theory에 의하면 하나의 spin \(n\) 입자는 \((2n+1)\)-dimensional vector space로 표현된다. 만약 basis가 주어진다면, vector addition과 scalar multiplication이 실제 물리적으로 어떤 의미를 가지는 연산인지 알지 못.. 2018. 7. 20.
(선형대수학) 1.4-(1) Example: Rotations in Plane 2차원 평면 \( \mathbb{R}^2 \)에 대하여 standar basis는 $$ \mathcal{B} = \{ ~(1,0)~,~(0,1)~\} $$ 이다. 첫번째 basis vector는 x축 단위 벡터, 2번째는 y축 단위 벡터이다. 이제, 다음 그림과 같이 basis를 standard basis에서 \(\theta\)만큼 회전한 vector들로 구성하자. 그림에서 보는 바와 같이 삼각함수의 정의로부터, $$ \vec{e}_1 = ( \cos{\theta} , \sin{\theta} ) $$ $$ \vec{e}_2 = ( -\sin{\theta} , \cos{\theta} ) $$ 임을 알 수 있다. 이제 representation의 변환행렬을 구하기 위해 standard basis vector.. 2018. 7. 20.
(선형대수학) 1.4 Coordinate Representation Representations of Vectors Basis의 정의로부터 vector space의 임의의 vector는 basis vector들의 linear combination으로 표현될 수 있다. 예를 들어, 3차원 공간 \( \mathbb{R}^3 \)에 대하여 basis를 $$ \mathcal{B} = \{~(1,0,0)~,~(1,1,0)~,~(0,0,1)~\} $$ 로 구성하면, 임의의 vector \( (a,b,c) \)는 $$ (a,b,c) = [a-b] (1,0,0) + b(1,1,0) + c(0,0,1) $$ 과 같이 basis vector들의 linear combination으로 표현된다. 이 때 linear combination의 계수는 주어진 vector와 basis에 의해 유일하게.. 2018. 7. 20.
(선형대수학) 1.3 Basis, Dimension Vector \( \vec{v}_1 \), \( \vec{v}_2 \), ... , \( \vec{v}_r \)의 linear combination으로 만들 수 있는 모든 vector들의 집합을 set spanned by \( \vec{v}_1 \), \( \vec{v}_2 \), ... , \( \vec{v}_r \)이라고 부르고 \(\mathrm{span}(\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_r\})\)이라고 표현한다.(이 집합은 기존 vector space의 부분 집합이면서 동시에 그 자신이 vector space가 되는데 이러한 경우, 이 집합을 기존 vector space의 subspace라고 부른다.) Basis of Vector Space 거의 대부분 vecto.. 2018. 7. 19.
(선형대수학) 1.2 Linearly Independent Linear Combination 고등학교 물리나 일반물리 과정에서 포물선 운동하는 물체의 속도를 x축, y축 성분으로 나눠서 분석한다. 또한 x축 단위 벡터와 y축 단위 벡터를 적절히 늘리고 더하여, 2차원 공간의 어떤 벡터라도 만들어 낸다. 이렇게 여러개의 vector에 적절한 scalar multiplication과 vector addition을 하여 새로운 vector를 만들어 내는 과정을 linear combination이라고 한다. DEFINITION Linear Combination Vector space \(V\)의 원소 \( \vec{v}_1 \), \( \vec{v}_2 \), ... , \( \vec{v}_n \)에 대하여, $$ \vec{v} = \sum ^n _{i=1} c_i \.. 2018. 7. 19.
(선형대수학) 1.1 Vector Space 고등학교 교과과정의 '물리2'나 '기하와 벡터', 대학 학부과정의 '대학물리'에서 힘, 속도, 전기장 등과 같이 방향과 크기가 있는 것을 '벡터'라고 부르고 속력, 일, 열량 등과 같이 방향은 없이 크기만 있는 것을 '스칼라'라고 부른다. 벡터에 방향이라는 기하학적인 개념이 들어가 있기 때문에 힘과 같은 벡터들 간의 연산은 기하학적으로 표현된다. 예를 들어 물체에 작용하는 두 힘의 합은 사다리꼴 형태의 연산을 거쳐서 이뤄진다. 고등학교 수학 교과과정의 '기하와 벡터'에서는 이를 좌표공간 상의 한 점인 \( (1,2,3) \)과 같은 형태로 대응시켜서 기하학적인 연산이 아닌 (해석적) 계산이 가능하도록 한다. 이 페이지에서는 이러한 벡터의 개념을 확장시켜 일반적인 벡터에 대해서 알아보도록 하겠다. Vect.. 2018. 7. 19.

티스토리툴바