Physics66 [양자역학] 1.5-(1) 슈뢰딩거 묘사, 하이젠베르크 묘사, 상호작용 묘사 Schrödinger, Heisenberg, Interaction Picture Hamiltonian operator \(H\) 가 시간에 independent한 경우, 시간 \(t=0\) 에서 state vector가$$ \left| \psi(0) \right\rangle = \sum_j a_j(0)~\left| E_j \right\rangle $$로 주어지면 state vector는 시간에 따라$$ \left| \psi(t) \right\rangle = \sum_j a_j(0)~e^{-\frac{i}{\hbar}E_jt} ~\left| E_j \right\rangle $$로 변화한다. Exponential 함수는 무한급수$$ e^x = \sum_{k=0} ^\infty \frac{x^k}{k!} $$로부터$$ \begin{eqnarray*} e^{-\frac{i}{\hbar}E_.. 2018. 10. 27. [양자역학] 1.5 슈뢰딩거 방정식 Schrödinger Equation (공백)4. State vector \(\left| \psi \right\rangle\) 은 시간에 대하여 Schrödinger equation을 따른다. ( \(H\) 는 시스템의 Hamiltonian operator)$$ i\hbar \frac{d}{dt} \left| \psi \right\rangle = H \left| \psi \right\rangle $$ 물리학의 궁극적인 목표는 시간 \(t_0\) 에서 어떤 물리적 시스템이 주어져 있을 때, 이 시스템이 시간에 따라서 어떻게 변하는지 구하는 것이다. 고전역학에서는 \(t_0\) 에서 phase space의 좌표 \((x_0,p_0)\) 와 Hamiltonian \(\mathcal{H}(x,p)\)가 주어졌을 때, 그 시스템은 Hamilton e.. 2018. 10. 27. [양자역학] 1.4-(3) Example: 하이젠베르크의 불확정성 원리 Heisenberg's Uncertainty Principle 양자역학에서 가장 유명한 결론 중 하나는 하이젠베르크의 불확정성 원리일 것이다. 입자의 위치와 운동량을 동시에 측정할 때, 둘 사이의 정확도에는 물리적 한계가 존재한다. 불확정성 원리는 수식으로 다음과 같이 표현된다.$$ \left( \Delta X \right) \left( \Delta P \right) \ge \frac{\hbar}{2} $$ #General Uncertainty Principle이를 일반화하면 다음과 같이 정리된다. THEOREM Heisenberg's Uncertainty Principle 두 개의 observable \(A\) , \(B\) 가 다음과 같이 commute하지 않다고 하자.$$ \left[ A,B \right] = iC $$( \(C\) 는 non-zero Herm.. 2018. 10. 27. [양자역학] 1.4-(2) 측정의 기대값 Expectations of Measurements 양자역학에서 측정 결과는 확률적으로 나오기 때문에, 확률론에 따라 expectation(기대값)과 variance(분산)을 계산할 수 있다. #Expectations of ObservablesObservable \(L\)에 대하여, eigenvalue가 \(l_1\) , \(l_2\) , ... , \(l_n\) 이 가능하고, 각각의 orthonormal eigenvector를 \(\left| l_i \right\rangle\) 로 표현하자. 임의의 normalized state vector \(\left| \psi \right\rangle\)이$$ \left| \psi \right\rangle = \sum_{j=1} ^n ~a_j ~\left| l_j \right\rangle $$과 같이 표현된다고 하.. 2018. 10. 27. [양자역학] 1.4-(1) Example: 슈테른-게를라흐 실험 Stern-Gerlach Experiment 양자역학에서 측정은 고전역학에서 측정에서 기대되는 것과는 전혀 다른 현상이 도출된다. 대표적인 예로 Stern-Gerlach 실험이 있다. #Stern-Gerlach ExperimentStern-Gerlach 실험은 아래 그림과 같이 균일하지 않은 magnetic field에 은 원자빔을 통과시켜서 은 원자의 스핀을 구분하는 실험이다. By Tatoute [CC BY-SA 4.0 ], from Wikimedia Commons 스핀은 입자에 주어지는 angular momentum의 일종으로 고전역학적으로는 기술되지 않는 현상이다. 고전역학에서 angular momentum은 임의의 모든 값이 가능하기 때문에 그림에서 4번과 같은 결과가 기대되지만, 실제 실험에서는 5번과 같이 2개의 값만이 검출된다. 스핀.. 2018. 10. 27. [양자역학] 1.4 측정, 확률 Measures, Probabilities (공백)3. State vector \(\left|\psi\right\rangle\) 가 observable \(L\) 에 대한 측정이 eigenvalue \(l\) (그리고 이에 대한 eigenvector를 \(\left| l \right\rangle\) ) 이 될 확률은 \(\left| \left\langle l | \psi \right\rangle \right|^2\) 에 비례한다. 측정의 결과로 state vector는 \(\left|\psi\right\rangle\) 에서 \(\left|l\right\rangle\) 로 변한다.(공백) 이번 가정에서 살펴볼 것은 측정 결과와 측정 행위에 대한 것이다. #Eigenvectors #Probabilities학부 양자역학 대부분은 \(L^2\) spac.. 2018. 10. 26. [양자역학] 1.3 측정 가능한 물리량, 파동함수 Observables, Wave Functions (공백) 2. 물리적인 값의 측정은 hermitian operator로 표현되며, 측정값은 이 operator에 대한 eigenvalue만 가능하다. (공백) Hermitian operator는 inner product를 이용하여 정의되는 linear operator이다. Hermitian operator의 eigenvalue는 항상 실수값을 갖는다. 따라서 두번째 공리는 물리적 측정값은 항상 실수값으로 나온다는 뜻이 된다. Hermitian operator의 또 다른 특징은 eigenvector들이 vector space의 basis를 이룬다는 것이다. 즉, Hermitian operator는 diagonalizable하다. 양자역학에서는 Hamiltonian operator나 momentum oper.. 2018. 10. 10. [양자역학] 1.2 상태 벡터 State Vectors (공백)1. 물리적 시스템은 inner producr가 정의된 complex vector space의 원소인 vector \(\left| \psi \right\rangle\)로 표현된다. 이 vector를 state vector라고 부른다.(공백) 선형대수학에서 vector space는 몇가지 공리들을 만족하는 집합을 말한다. 고전역학이나 전자기학에서 vector를 \(\vec{r}\) 또는 \(\mathbf{r}\) 처럼 표현했던 것과는 다르게 양자역학에서는 이 state vector를 \(\left| f \right\rangle\) 와 같이 표현한다. Inner product는 vector space에 정의되는 연산이다. State vector의 inner product를 \(\left\langle .. 2018. 10. 10. 이전 1 ··· 5 6 7 8 9 다음